曲线积分曲面积分的对称性

积分的奇偶对称性----定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分.)(2)()()2(;0)()()1(],,[0⎰⎰⎰==-∈--aa a a a dx x f dx x f x f dx x f x f a a C f 为偶函数，则若为奇函数，则若设01 定积分的奇偶对称性.),(2),(),,(),(),()2(;0),(),,(),(),()1(,,,),(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D Ddxdy y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f y D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性.),(2),(),,(),(),()4(;0),(),,(),(),()3(,,,),(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D Ddxdy y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f x D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设;),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性04 第一类曲线积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰==-=-=-+=1),(2),(),,(),(),()2(;0),(),,(),(),()1(,,,),(2121L L Lds y x f ds y x f y x f y x f x y x f ds y x f y x f y x f x y x f y L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在平面曲线设04 第一类曲线积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰==-=-=-+=1),(2),(),,(),(),()4(;0),(),,(),(),()3(,,,),(2121L L Lds y x f ds y x f y x f y x f y y x f ds y x f y x f y x f y y x f x L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在平面曲线设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f z z y x f dS z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设。

积分区域关于y=x对称就可以用轮换对称性吗坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。

(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。

比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)d zdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.(3) 将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。

第二类和（2）总结相同。

(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分取间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。

积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。

【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。

这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。

设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。

在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。

对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。

下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。

1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。

结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。

其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。

结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。

结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。

关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。

(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。

(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。

(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。

3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。

对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。

关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。

（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。

（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。

（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。

北方民族大学学士学位论文论文题目:有关曲线积分、曲面积分的对称性研究院(部)名 称: 数学与信息科学学院学 生 姓 名: 陈敏 专 业: 数学与应用数学 学 号: 20110536 指导教师姓名: 杨莉 论文提交时间: 2015.5.18 论文答辩时间: 2015.5.24学位授予时间:北方民族大学教务处制11有关曲线积分、曲面积分的对称性研究摘要积分在微积分学中既是重点又是难点，尤其是在解决积分的计算问题上，方法比较灵活、多样.然而，在很多时候，只要认真地审视题目，就会发现积分区域或被积函数具有某种对称性.倘使我们能将对称性原理巧妙地应用到曲线积分、曲面积分的计算问题中去，不但节省了很多时间，还会起到事半功倍的效果.本文着重讲述了，常见的有关对称性在曲线积分、曲面积分计算中的几个重要结论，并结合实例进一步验证了：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算曲线积分和曲面积分，进而说明对称性在计算曲线积分、曲面积分中的可行性与优越性.关键词：曲线积分，曲面积分，积分区域，对称性，奇偶性The study of symmetry related surface integral、curve integralAbstractIntegral in the calculus is both emphasis and difficulty, especially to deal with the problem of integral calculation, the method is more flexible and diverse. However, in many cases, as long as you carefully look at the title, you will find the integral region have a certain symmetry or integrand. If we can apply symmetry principle of opportunely clever ground to the curvilinear integral and surface integral calculation problem, not only save a lot of time, will get twice the result with half the effort effect.This paper tells the common about symmetry in curvilinear integral and surface integral calculation of several important conclusions, combined with the instance: further verified using the symmetry of integral area of and the parity of integrand to simplify the calculation of curvilinear integral and surface integral, and then explain symmetry in computational feasibility and superiority of curvilinear integral and surface integral.Keywords: curvilinear integral and surface integral, integral area, symmetry, parity目录第一章绪论 (1)1.1研究背景 (1)1.2 研究意义 (1)1.3 研究思路及结构安排 (1)第二章曲线积分与曲面积分的概念 (3)2.1 对弧长的曲线积分 (3)2.2 对面积的曲面积分 (4)2.3 对坐标的曲线积分 (5)2.4 对坐标的曲面积分 (6)2.4.1 双侧曲面与有向曲面 (6)第三章曲线积分与曲面积分的对称性 (9)3.1 曲线积分 (9)3.1.1 第一类曲线积分的对称问题 (9)3.2.1 第一类曲面积分的对称问题 (13)第四章对称性解题总结 (17)4.1 对称性解题的优势 (17)4.2 对称性解题应注意的事项 (17)结束语 (18)致谢 (19)参考文献 (20)第一章绪论1.1研究背景我们都知道，对称在客观物质世界中是普遍存在的，能给人以美的享受.对称性作为人类了解客观物质世界的结晶，与人类的文明同样悠远.对称性几乎涉及到我们生活的方方面面，生活中的好多东西都是按照对称性来构造的.我们的祖先从认识自然界的形象对称开始到现在对称性的实体研究，无不应用到对称性.然而，所谓的对称性便是在某种变换下的不变性或组元的构形在其本身同构变换群下所拥有的不变特性.实际上，对称的概念在众多学科中的应用是很广泛的.高中数学经常涉及到对称问题，既有几何中的轴对称、中心对称，还有代数中的方程和不等式的对称；不仅有物理上的镜面对称，而且有数学上的正弦曲线；不但有化学中的结构对称，还有数学中的方程对称.对称是数学美一种外在表现形式，更为重要的是对称也是一种思想方法，它不光是思考问题的出发点，还是探索解题策略的良好器具.灵活地运用对称性来解决相关数学类问题是当代大学生必须具备的数学素养.以后我们应多注重对称性在数学解题中的应用，在很多时候可以起到事半功倍的效果.1.2 研究意义数学是一个奇幻的科学世界，对称性是数学美的一个重要特征，同时也为数学研究提供了一种很独特的思想方法，还是一个非常重要的艺术要素.在日常生活和科学研究中常会碰到的一类很特别的数学问题，即：对称性问题.它不仅存在于中学函数中，还存在于大学的微积分中，其应用十分广泛.我们都知道，微积分是大学数学中相当重要的内容，而积分计算在其中既是重点又是难点，在此过程中，尤其是有关曲线积分、曲面积分的计算，稍不注意就会出错.不过，在很多时候，我们经常会遇见积分区域或者被积函数具备某种对称性的题目.而要解决此类问题，就必须仔细审题，看是否具有对称性.假如我们能在审题中察觉或者留意到问题的对称性，并灵活地应用到积分的计算过程当中去，不时能够简化计算过程，获得出乎意料的成效.所以，很有必要探究对称性在积分计算中的应用，特别是在曲线积分、曲面积分中的应用.1.3 研究思路及结构安排本文首先指出所要研究的方向，指出其研究意义.其次概括了曲线、曲面积分的背景、定义以及一些简单的性质，而后给出计算曲线、曲面积分的诸多结论，利用这些结论来简化计算曲线积分和曲面积分.最后对本文内容进行分析总结.本文总共四章，其布局筹划如下:第一章绪论，主要讲述有关曲线积分和曲面积分的研究背景、研究意义和研究的方法.第二章，简单介绍曲线曲面积分的背景来源定义以及性质.第三章则着重介绍：使用对称性原理计算曲线积分和曲面积分，先分别讲述与对称性有关定理、性质，继而例举实例加以考证.第四章，剖析对称性在处理积分计算问题上的优势，同时总结使用对称性解题时要注意哪些方面的问题.第二章 曲线积分与曲面积分的概念2.1 对弧长的曲线积分设有一弧形型构件占面上的一段曲线，设构件的质量分布函数为，xOy L ),(y x ρ设定义在上且在上连续，求构件的质量：.),(y x ρL L ∑=→=ni i i i S M 1),(lim ∆ηξρλ定义2.1 设为平面上的一条光滑的简单曲线弧，在上有界，在L xOy ),(y x f L 上任意插入一点列，，…，把分成个小弧段的长度为L 1M 2M 1-n M L n i i i M M L 1-=∆，又是上的任一点，作乘积，，并求和i S ∆),(i i ηξi L ∆i i i S f ∆ηξ),(),,2,1(n i =，记，如果存在，且极限值与的分∑=ni ii iSf 1),(∆ηξ}max{i S ∆λ=∑=→n i i i i S f 1),(lim ∆ηξλL 法及在的取法无关，那么称极限值为在上对弧长的曲线积分，记),(i i ηξi L ∆),(y x f L 为：，即.⎰Ls y x f d ),(⎰Ls y x f d ),(∑=→=ni i i i S f 1),(lim ∆ηξλ其中叫做被积函数，叫做积分曲线.),(y x f L 对弧长曲线积分的存在性：设在光滑曲线上连续，那么一),(y x f L ⎰Ls y x f d ),(定存在.对弧长曲线积分的性质：1、,⎰⎰⎰±=±L LLs y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([2、,⎰⎰=LLs y x f k s k y x kf d ),(d ),(3、设，则.21L L L +=⎰⎰⎰+=21d ),(d ),(d ),(L L Ls y x f s y x f s y x f 这里规定：如果是封闭曲线，那么曲线积分记为.L ⎰Ls y x f d ),(有了上述对弧长的曲线积分的定义，则上面的问题就能够用对弧长的曲线积分表示为：.⎰=Ls y x f M d ),(2.2 对面积的曲面积分设有一构件占空间曲面为，其质量分布密度函数为，求构件的质量.∑),,(z y x ρ处理问题的思想类似于分布在平面区域的质量问题：.∑=→=n i i i i i S M 1),,(lim ∆ζηξρλ定义2.2 设为光滑曲面，函数在上有界，把任意地分成个小∑),,(z y x f ∑∑n 曲面，在每个小曲面上任取一点作乘积，i S ∆),,2,1(n i =i S ∆),,(i i i ζηξi i i i S f ∆ζηξ),,(并求和，记的直径，如果存在，∑=ni i i i i S f 1),,(∆ζηξi ni S ∆λ{max 1≤≤=}∑=→ni i i i i S f 1),,(lim ∆ζηξλ并且其极限值与的任意分法及在上的取法无关，那么称极限值为∑),,(i i i ζηξi S ∆在上对面积的曲面积分，记为：，),,(z y x f ∑⎰⎰∑S z y x f d ),,(即.⎰⎰∑S z y x f d ),,(∑=→=ni i i i i S f 1),,(lim ∆ζηξλ这里称为被积函数，称为积分曲面，称为面积元素.对面积的曲),,(z y x f ∑S d 面积分的存在性：如果为光滑曲面，在上连续，那么一∑),,(z y x f ∑⎰⎰∑S z y x f d ),,(定存在.有了这个定义，分布在上的质量为：.当∑M ⎰⎰=∑S z y x f M d ),,(时，的面积.当为平面上的区域时，即1),,(=z y x f ∑∑=⎰⎰S d ∑xOy D ⎰⎰∑S z y x f d ),,(是上的二重积分，.D ⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=Dy x y x f d d )0,,(性质 对面积的曲面积分是对二重积分的直接推广，因此二重积分的性质均可推广到对面积的曲面积分上去.特别是，则.21∑∑∑+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21d ),,(d ),,(d ),,(∑∑∑S z y x f S z y x f S z y x f 2.3 对坐标的曲线积分变力沿曲线作功问题.设一质点在平面内受到变力作用从A 点沿光滑曲线xOy j y x Q i y x P F ),(),(+=移动到B 点，求变力所作的功.，L ∑=⋅≈n i i i i S F W 1),(∆ηξ.]),(),([lim 1∑=→+=ni i i i i i i y Q x P W ∆ηξ∆ηξλ定义2.3 设是平面上的一条光滑有向曲线弧，、在AB L =xOy ),(y x P ),(y x Q 上有界，用上的点，，…，把分成个小有向L L ),(000y x M ),(111y x M ),(n n n y x M L n 弧段，设，，又是上的任一点，作i i i M M L 1-=∆1--=i i i x x x ∆1--=i i i y y y ∆),(i i ηξi L ∆乘积，，并求和，记，如果i i i x P ∆ηξ),(),,2,1(n i =∑=ni i i i x P 1),(∆ηξ|}{|max 1i ni L ∆λ≤≤=存在，且极限值与的分法及在的取法无关，那么称极∑=→ni i i i x P 1),(lim ∆ηξλL ),(i i ηξi L ∆限值为在上对坐标的曲线积分，记为：，),(y x P L x ⎰Lx y x P d ),(即.⎰Lx y x P d ),(∑=→=ni i i i x P 1),(lim ∆ηξλ同理定义为在上对坐标的曲线积分.⎰Ly y x Q d ),(∑=→=ni i i i y Q 1),(lim ∆ηξλ),(y x Q L y 、称为被积函数，叫做积分曲线.),(y x P ),(y x Q L 上述定义可推广到空间曲线的情形：，，⎰Γx z y x P d ),,(∑=→=ni iiiix P 1),,(lim ∆ζηξλ⎰Γy z y x Q d ),,(∑=→=ni ii i i y Q 1),,(lim ∆ζηξλ.⎰Γz z y x R d ),,(∑=→=ni iiiiz R 1),,(lim ∆ζηξλ应用中常遇到，这时简记为.⎰⎰+LLy y x Q x y x P d ),(d ),(⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(对坐标曲线积分的存在性：设有向曲线光滑，、在上连续，则L ),(y x P ),(y x Q L、一定存在.⎰Lx y x P d ),(⎰Ly y x Q d ),(对坐标曲线积分的性质：,⎰⎰⎰+++=++2121d ),(d ),(d ),(d ),(d ),(d ),(L L L L y y x Q x y x P y y x Q x y x P y y x Q x y x P ,⎰⎰-=-LL x y x P x y x P d ),(d ),(.⎰⎰-=-LL y y x Q y y x Q d ),(d ),(2.4 对坐标的曲面积分2.4.1 双侧曲面与有向曲面能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面，通常碰到的曲面都是双侧曲面，譬如由方程表示的曲面有上下侧之分，由方程表示的曲面有前后侧),(y x z z =),(z y x x =之分，由方程表示的曲面有左右侧之分，封闭曲面有内外侧之分.),(x z y y =一般地：在上任取一点，当该点在上连续运动而不经过边界而回到原来位∑∑置，其法向量也回到原来位置，这个曲面就叫双侧曲面.对坐标的曲面积分需要对曲面规定方向，也叫做指定曲面的侧，而指定曲面的侧一般是规定曲面上法向量的指向.如所表示的曲面，如果取它的法向量),(y x z z =指向向上，即与轴正向夹角，这时候就认定曲面取上侧，如果的指n z 20πθ≤≤n向朝下，就认定曲面取下侧.这种规定了曲面上法向量指向，即选定曲面的侧的曲面叫做有向曲面.2.4.2 有向曲面的投影设为有向曲面，在上取一小块有向曲面，把投影到平面得到一∑∑S ∆S ∆xOy 平面区域，其面积为，假设上各点处的法向量与轴正向夹角的余xy σ∆xy )(σ∆S ∆z γ弦保持确定的符号，即都为正或都为负，规定在平面上的投影γcos γcos S ∆xOy 为：.xy S )(∆⎪⎩⎪⎨⎧=<->=0cos 0cos )(0cos )()(γγσ∆γσ∆∆xyxy xy S 在面上的投影实质上就是在面上的投影区域的面积再附上一S ∆xOy S ∆xOy xy )(σ∆定的符号.类似可定义在、面上的投影.S ∆yOz zOx 2.4.3 流量与积分设稳定流动不可压缩流体的速度场由:表示，为场中的一块有向曲面，函j z y x Q i z y x P z y x V),,(),,(),,(+=k z y x R ),,(+∑数都是是的连续函数，求单位时间内流向指定一侧的流量.R Q P 、、∑∑Φ因区域不是平面区域而是曲面，流速不是常量，所以不能用初等方法，但是，上面引出各类积分概念一再使用过的方法可用来解决目前的问题:分割：任取上的一小块有向曲面，∑i S ∆近似代替：，S n V ii i ∆ζηξ ⋅),,(求和：，∑=⋅ni i i i S n V 1),,(∆ζηξ ，∑=++=ni i i i i i i i i i S R Q P 1]cos ),,(cos ),,(cos ),,([∆γζηξβζηξαζηξ取极限:.∑=→⋅ni i i i S n V 1),,(lim ∆ζηξλ 对坐标曲面积分的定义:设为光滑的有向曲面，函数在上有界，∑),,(z y x R ∑把任意地分成个小曲面，在平面的投影为，在∑n i S ∆),,2,1(n i =i S ∆xOy xy i S )(∆每个小曲面上任取一点作乘积，并求和i S ∆),,(i i i ζηξxy i i i i S R ))(,,(∆ζηξ，记的直径，如果存在，∑=ni xyi iiiS R 1))(,,(∆ζηξi ni S ∆λ{max 1≤≤=}∑=→n i xy i i i i S R 1))(,,(lim ∆ζηξλ并且其极限值与的任意分法及在上的取法无关，那么称极限值为∑),,(i i i ζηξi S ∆在上对坐标的曲面积分，记为，),,(z y x R ∑y x ,⎰⎰∑y x z y x R d d ),,(即.⎰⎰∑y x z y x R d d ),,(∑=→=ni xy i i i i S R 1))(,,(lim ∆ζηξλ其中称为被积函数，称为积分曲面.),,(z y x R ∑同理可定义,⎰⎰∑z y z y x P d d ),,(∑=→=n i yz i i i i S P 1))(,,(lim ∆ζηξλ.⎰⎰∑z x z y x Q d d ),,(∑=→=n i xzi iiiS Q 10))(,,(lim ∆ζηξλ应用上出现较多的是：的情⎰⎰∑z y z y x P d d ),,(⎰⎰+∑z x z y x Q d d ),,(⎰⎰+∑y x z y x R d d ),,(形，一般上式简记为：.⎰⎰++∑y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(如果是封闭曲面，那么在上对坐标的曲面积分记为：∑∑⎰⎰++∑y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(对坐标的曲面积分的存在性：如果光滑，函数、、L ),,(z y x P ),,(z y x Q 在上连续，那么、、在上对坐标的曲面积),,(z y x R ∑),,(z y x P ),,(z y x Q ),,(z y x R ∑分都存在.性质 与对坐标的曲线积分类似.1)若,则21∑∑∑+=⎰⎰++∑yx z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(.⎰⎰⎰⎰+++++=21d d d d d d d d d d d d ∑∑y x R z x Q z y P y x R z x Q z y P 2)设的反侧曲面记为，则：.∑-∑⎰⎰⎰⎰-=-∑∑z y z y x P z y z y x P d d ),,(d d ),,(上面的性质表明：对坐标的曲面积分不单与被积函数有关，与积分曲面有关，还与曲面的方向有关.第三章 曲线积分与曲面积分的对称性3.1 曲线积分3.1.1 第一类曲线积分的对称问题定义3.1 设函数定义在二维光滑曲线上，),(y x f （1）如果满足关系式=或=，那么称),(y x f ),(y x f -),(y x f ),(y x f -),(y x f 为关于的偶函数或关于的偶函数；),(y x f x y （2）如果满足关系式=-或=-，那么称),(y x f ),(y x f -),(y x f ),(y x f -),(y x f 为关于的奇函数或关于的奇函数.),(y x f x y 定义3.2 设函数定义在三维光滑曲线上，),,(z y x f （1）如果满足关系式=或=或),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f =，那么称为关于的或的或的偶函数；),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f x y z （2）如果满足关系式=-或=-或),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f =-，那么称为关于的或的或的奇函数.),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f x y z 定理3.1 设函数定义在二维光滑（或分段光滑）曲线上，且曲线关),(y x f L L 于（或）对称，则ox oy （1）当偶函数时，=2（其中是位于对称轴一侧的部⎰Lds y x f ),(⎰1),(L ds y x f 1L L 分）；（2）当是（或）的奇函数时，=0.),(y x f y x ⎰Lds y x f ),(证 设光滑曲线（其中、分别是曲线位于轴上、下两侧的21L L L +=1L 2L L ox 部分）关于轴对称；则=用曲线上关于轴对称ox ⎰Lds y x f ),(ds y x f L L ),()(21⎰⎰+L ox 的点系分割，在上的小弧段中任取一点（，），在上关于对称于L 1L i ξi η2L i S ∆轴的小弧段中任取一点（，-），构造和式：+ox i ξi η∑i i i f ),(ηξi S ∆∑-ii i f ),(ηξ，令：这些小弧段中最长一段为，由于在上可积且=,于是i S ∆λ),(y x f L i S ∆i S '∆（1）当是关于的偶函数，即=时，),(y x f y ),(i i f ηξ-),(i i f ηξ=[+]⎰Lds y x f ),(0lim→x ∑ii i f ),(ηξi S ∆∑-ii i f ),(ηξi S '∆ =20lim→x ∑ii i f ),(ηξiS ∆ =2⎰1),(L dsy x f （2）当是关于的奇函数，即=-时，),(y x f y ),(i i f ηξ-),(i i f ηξ =[+]⎰Lds y x f ),(0lim→x ∑iii f ),(ηξiS ∆∑-i ii f ),(ηξiS'∆ ={+}0lim→x ∑ii i f ),(ηξi S ∆∑-ii i f )],([ηξi S '∆ ==0 （证毕）.lim→x ∑i0iS ∆定理3.2设函数在三维光滑或（分段光滑）曲线上可积，且曲线),,(z y x f Γ对称于坐标面，则Γ)(zox yoz xoy 或或（1）当为关于的偶函数时，则有),,(z y x f )(y x z 或或=2（其中是位于对称坐标面一侧的部分）；⎰Γds z y x f ),,(⎰Γ1),,(ds z y x f 1ΓΓ（2）当为关于奇函数时，则有.),,(z y x f )(y x z 或或⎰Γds z y x f ),,(0=推论 设函数定义在二维光滑（或分段光滑）曲线上，对称于和),(y x f L L ox 轴，则oy （1）当是关于和的偶函数时，有=4（这里是),(y x f x y ⎰Lds y x f ),(⎰1),(L ds y x f 1L 在第Ⅰ象限中的部分）；L （2）当是关于和中至少某一变量的奇函数时，有=0.),(y x f x y ⎰Lds y x f ),(例3.1 计算ds yx x y x ⎰=++1解 因为积分曲线既对称于轴又对称于轴，且被积函数=是ox oy ),(y x f yx x+的奇函数，故原式===0. x ds yx xy x ⎰=++1⎰=+11y x ds x注 此处除运用对称性之外，还涉及到用积分曲线方程化简被积函数的技巧.例3.2 计算，其中为球面被平面所截得的圆周.ds x L⎰2L 2222a z y x =++0=++z y x 解 注意到关于的对称性，则有L z y x ,,==.ds x L⎰2ds y L⎰2ds z L⎰2因此 =ds x L⎰2dsz y x L)(222++⎰==.⎰Lds a 32332a π对称性和几何意义是化简积分计算的常用技巧，读者应多多留意并且灵活运用.3.1.2 第二类曲线积分的对称问题定理3.3 若为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一L xoy x 双值函数，设为，（）.记,分别为位于轴的上半部分与下)(x y y ±=b x a ≤≤1L 2L L x 半部分，,在轴上的投影的方向相反，函数在上连续，那么1L 2L x ),(y x P L （1）当关于为偶函数时，则),(y x P y =0；⎰Ldx y x P ),(（2）当关于为奇函数时，则),(y x P y =2.⎰Ldx y x P ),(⎰1),(L dx y x P 证明 依定理条件不妨设：，自点变到点；：，自点变到点.而后由对坐1L )(x y y =x a b 2L )(x y y -=x b a 标的曲线积分的计算方法以及性质有=+⎰Ldx y x P ),(⎰1),(L dx y x P ⎰12),(L dxy x P =+=.故（1）当关于⎰badx x y x P )](,[⎰-badx x y x P )](,[⎰--badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{),(y x P 为偶函数时，有===0；（2）当y ⎰Ldx y x P ),(⎰-badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{⎰badx 0关于为奇函数时，有==2),(y x P y ⎰Ldx y x P ),(⎰+badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{⎰badxx y x P )](,[=2.⎰1),(L dx y x P 注 对于有类似定理1的结论.⎰Ldy y x Q ),(例3.3 ，这里为抛物线自点A （1，-1）到点B （1，1）的一⎰=Lxydx I 计算L x y =2段弧.解 经分析可知，此处的曲线积分合乎定理3.3，因而有==2=I ⎰1L xydx 2⎰10dx x x 54这里，：，自点0变到点1.1L x y =x 关于曲线积分还有另一个对称性的结论是:⎰Ldx y x P ),(定理3.4设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为L xoy y ，（），记，分别为处于轴的右半部分与左半部分，)(x y y =a x a ≤≤-1L 2L L y ，在轴上的投影方向相同，函数在上连续，那么1L 2L x ),(y x P L （1）当关于为奇函数时，则=0),(y x P x ⎰Ldx y x P ),(（2）当关于为偶函数时，则=2.),(y x P x ⎰Ldx y x P ),(⎰1),(L dx y x P 证明 依定理条件不妨设：，自点0变到点；1L )(x y y =x a ：，自点-变到点02L )(x y y -=x a 而后由对坐标曲线积分的计算方法以及性质有对右端第2个积分，令⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(L dx y x P +⎰12),(L dx y x P +=⎰--0)](,[adx x y x P ，有=,因此有t x -=⎰--0)](,[adx x y x P ⎰-adt t y t P 0)](,[=+=⎰Ldx y x P ),(⎰adx x y x P 0)](,[⎰-adx x y x P 0)](,[⎰-+adxx y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{故（1）当在上关于为奇函数时，有=),(y x P L x ⎰Ldx y x P ),(⎰-adxx y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{==0.⎰adx 00（2）当在上关于为偶函数时，有=),(y x P L x ⎰Ldx y x P ),(⎰+a dxx y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{=2=2.⎰adx x y x P 0)](,[⎰1),(L dx y x P 注 对于有类似定理3.4的结论.⎰Ldy y x Q ),(例3.4 计算I =，其中为（＞0）按逆⎰+-+Ldy y y x dx y x )sin ()(222L 222a y x =+a 时针方向自点A （，0）到点B （-，0）的上半圆周.a a 解 将原等式拆分为3个曲线积分的和的形式，即I =-2-⎰+Ldx y x )(22⎰Lxydx ⎰+Ldyy y x )sin (22据题目条件分析可知，等式右端三个曲线积分合乎定理3.4，故有I ==2=2=-2.⎰+Ldx y x )(22⎰+1)(22L dx y x ⎰-+0222)(adx x a x 3a 3.2 曲面积分3.2.1 第一类曲面积分的对称问题定理3.5设函数在光滑（或分片光滑）曲面上有定义，且对称于),,(z y x f ∑（或或）坐标面，则xoy yoz zox （1）当是关于的偶函数时，（这里),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(8=⎰⎰∑1),,(ds z y x f 是位于对称坐标面一侧的部分）.1∑∑（2）当是关于的奇函数时，0 .),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(=推论设函数定义在光滑（或分片光滑）曲面上，且关于),,(z y x f ∑∑坐标面均对称，则zox yoz xoy ,,（1）当是关于的偶函数时，=8（这里),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(⎰⎰∑1),,(ds z y x f是在第Ⅰ卦限的部分）.1∑∑（2）当是关于中至少某一变量的奇函数时，=0.),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(例3.5 计算积分，这里：表示平面，与之间的圆柱⎰⎰∑++ds zy x y222∑0=z H z =面.222R y x =+解 由于积分曲面关于坐标面对称，且被积函数是关zox ),,(z y x f =222zy x y++于的奇函数，所以0 .y ⎰⎰∑++ds zy x y222=例3.6 计算，其中：.⎰⎰∑--ds y x a x2226∑2222a z y x =++解令：，，，，则：1∑2222a z y x =++a x ≤≤0a y ≤≤0a z ≤≤01D ≤,,,=.因为22y x +2a a x ≤≤0a y ≤≤0ds dxdy z z y x 221++=dxdy yx a a222--对称于三个坐标面，况被积函数是关于,,的偶函数，∑),,(z y x f =222z y x y++x y z 由对称性88a 8a⎰⎰∑--ds y x a x2226=⎰⎰∑--12226ds y x a x=⎰⎰16D dxdy x =⎰⎰167cos D drd r θ 8a .=⎰⎰adr r 0726cos πθ=9325a π3.2.2 第二类曲面积分的对称问题定理3.6 设是关于平面对称的有向光滑曲面，其方程为一双直函数，设∑xoy 为，∈（这里是在平面的投影区域），记，分),(y x z z ±=),(y x xy D xy D ∑xoy 1∑2∑别位于平面的上半部分与下半部分，与的侧关于平面相反，函数xoy 1∑2∑xoy 在上连续，那么),,(z y x R ∑（1）如果关于为偶函数时，那么=0；),,(z y x R z dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(（2）如果关于为奇函数时，那么=2.),,(z y x R z dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(证明 依定理条件不妨设：，∈，取上侧；1∑),(y x z z =),(y x xy D 1∑：，∈，取下侧.因此由对坐标的曲面积分的性质及计算2∑),(y x z z -=),(y x xy D 2∑方法有+dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(dxdyz y x R ⎰⎰∑2),,( -=dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[dxdyy x z y x R xyD ⎰⎰-)],(,,[ .故=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰--（1）当关于为偶函数时，有),,(z y x R z ===0；dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰-dxdy xyD ⎰⎰0（2）当关于为奇函数时，有),,(z y x R z dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdyy x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰+ .2=dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[2=dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(注 对于，有类似定理3.6的结论.dydz z y x P ⎰⎰∑),,(dzdx z y x Q ⎰⎰∑),,(例3.7 计算，式中为球面的外侧位于≥0，≥0=I ⎰⎰∑xyzdxdy ∑1222=++z y xx y 的部分.解 据题目条件分析知，此曲面积分合乎定理3.6，因此有2=2===I ⎰⎰∑1xyzdxdy ⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221⎰⎰-212312sin πθθdr r r d 152此处：z =，∈={∣≤1，≥0，≥0}.1∑221y x --),(y x xy D ),(y x 22y x +x y 例3.8 .这里为锥面z=1-被=I ⎰⎰∑+-+-zdxdy dzdx zx y dydz yz x2)()(22∑22y x +平面所截得的取上侧的部分.0=z 解 可将原式改写为三个曲面积分之和，即++2=I ⎰⎰∑-dydz yz x )(2⎰⎰∑-dzdx zx y )(2⎰⎰∑zdxdy据题目条件可知右端的第一、第二类曲面积分均合乎定理3.3的结论，所以有2=2=2=.=I ⎰⎰∑zdxdy ⎰⎰+-XY D dxdy y x )1(22⎰⎰-120)1(rdr r d πθπ32其中：={︱≤1}.xy D ),(y x 22y x +第四章 对称性解题总结4.1 对称性解题的优势经过上述分析可以知道:只有当积分域具有某种对称性时,才考虑可否利用对称性原理来化简计算曲线积分与曲面积分；与此同时在应更进一步地确定被积函数在对称域上是否具有奇偶性,当满足以上条件时才可以使用上文定理对各种曲线积分、曲面积分进行简化计算.特别地，针对第二类曲线积分、曲面积分来说,使用此方法就能避免积分路线的方向和积分曲面侧的干扰,此方法的优越性是显而易见的.因此有关对称性原理在曲线积分以及曲面积分中的化简求积的过程是很有用的计算方法之一.4.2 对称性解题应注意的事项有关对称性在曲线积分、曲面积分运用,我们要特别小心，杜绝滥用、套用对称性对称性，在解题时我们需要注意：需要同时考虑积分区域和被积函数两个方面，只有在此两方面内容都具有某种对称性时才可以使用.倘若只是积分区域具有某种对称性，那么应当根据具体情况作具体分析，试图通过把被积函数经过恒等变形使之具有满足某种对称性的条件，进而运用对称性原理很快地解决问题.而对于第二类曲线积分、曲面积分，在使用对称性有关原理时，应格外注意积分路经的方向和曲面侧的情况.结束语通过以上介绍不难看出利用对称性计算曲线积分与曲面积分不仅是可行的，而且有时还可以起到简化计算的作用，在学习中可以充分利用对称性计算曲线积分与曲面积分，提高运算速度和效果，给学习带来很多方便.使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误.致谢大学四年的时间转瞬即逝,而在北方民族大学的美好时光也将成为历史.在这四年里,我认识了很多负责任的老师,结交了很多真心的朋友,得到了很多人的帮助和支持.现谨以此文向所有关心和支持过我的人致以最诚挚的敬意！首先,我要感谢我的论文指导老师、杨老师.杨老师花费了大量的心血对我指导,她思维的方式、思想的深度以及对问题敏锐的洞察使我受益匪浅,她对数学研究的严谨态度深深的影响了我.是她让我知道了毕业论文的写作对于一个合格的大学生来说具有重要的意义,可以为我们以后的工作学习带来很大的帮助.其次,我还要感谢所有的老师们,这四年来在学习上和生活上给予的悉心指导和热心帮助,在许多问题上给我及时的指导和启迪,指引我克服了很多生活和学习中遇到的困难.四年来,老师们渊博的专业知识,严谨的治学态度,谦逊的为人和孜孜不倦的探索精神给我留下了深深的印象,并深深的影响了我,这些必将惠及我将来的学习、工作和生活.最后,要感谢四年里同学们给予我的支持与帮助！参考文献[1]邓东皋,尹小玲.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社,1999年[2]同济大学应用数学系.高等数学(上,下册)[M].第六版.北京：高等教育出版社, 1978年[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京：高等教育出版社，2009[4]华东师范大学数学系.数学分析（第三版北京：高等教育出版社，2001[5]刘洁，戴长城，对称性在积分计算中的应用[J].邵阳学院学报：自然科学版，2008.23-27[6]刘福贵，鲁凯生.利用对称性计算第二类曲线积分和曲面积分的方法[J].武汉理工大学学报，2006.1069-1072[7] 钱吉林，肖新平.高等数学词典.武汉：华中师范大学出版社，1999。