芝罘区数学圆与方程必修2第4章阶段检测

章末检测一、选择题1.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A.3x ＋2y －7＝0 B.2x ＋y －4＝0 C.x －2y －3＝0 D.x －2y ＋3＝0答案 D解析 将圆C 的一般方程化成标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，∴C (2,0).由题意知，过点P (1,2)的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1.由k PC ＝2－01－2＝－2，得k l ＝12.∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.2.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y －9＝0，得(1＋k 2)x 2＋2kx －9＝0.设直线与圆的两交点的横坐标为x 1，x 2.∵x 1，x 2关于y 轴对称，∴x 1＋x 2＝－2k1＋k 2＝0，∴k ＝0.3.空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为( ) A.2 B.－8 C.2或－8 D.8或－2 答案 C解析 由空间中两点的距离公式，得(x ＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝(86)2.解得x ＝2或x ＝－8.4.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案 B解析 由圆的方程，知O 1(1,0)，O 2(0,2)，r 1＝1，r 2＝2. 所以|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝ 5. 又因为|r 1－r 2|＜5＜r 1＋r 2，所以两圆相交.5.已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34C.2 5D.655 答案 D解析 该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.6.若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x ＋y －1＝0 C.x －y －3＝0 D.2x －y －5＝0答案 C解析 设圆心为C ，则C 点坐标为(1,0)且AB ⊥CP ，k CP ＝－1－02－1＝－1，∴k AB ＝1，直线AB 的方程为y ＋1＝x －2即x －y －3＝0.7.过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( ) A.4 B.2 C.85 D.125答案 A解析 P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34，∴k l ＝43.∴a ＝4，∴m ：4x－3y ＝0，l ：4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋(－3)2＝4.8.直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )答案 B解析 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2.∵圆M 过原点(0,0)，∴排除A ，C 选项.选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限，∴a ＞0，b ＜0，∴直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合.9.若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( ) A.5－5 B.5－ 5 C.30－10 5 D.无法确定答案 C解析 设P (x ，y )是圆C 上一点.配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.∵x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，∴要使x 2＋y 2最小，则线段PO 最短.如图，当点P ，O ，C 在同一直线上时，|PO |min ＝|PC |－|OC |＝5－12＋(－2)2＝5－5，即(x 2＋y 2)min ＝30－10 5.10.当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34 D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞答案 C解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0＋4|1＋k 20＝2，k 0＝512. 直线P A 的斜率为k 1＝34.所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34. 二、填空题11.已知M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，则过点M 的最长的弦所在直线方程为________. 答案 x －y －3＝0解析 因为直径是圆的最长的弦，所以圆心(4,1)在所求的直线上. 所以所求的直线方程为y －01－0＝x －34－3，即x －y －3＝0.12.对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________. 答案 相切或相交解析 ∵(3x －y )k ＋2x －2＝0，∴直线恒过点(1,3).又∵点(1,3)在圆上，∴直线与圆相切或相交.13.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2＝25解析 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.14.过点M (3,2)作圆O ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是________________. 答案 y ＝2或5x －12y ＋9＝0解析 由圆的方程可知，圆心为(－2,1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，由|－2k －1－3k ＋2|k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝0或k ＝512，所以所求直线的方程为y ＝2和5x －12y ＋9＝0.三、解答题15.已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点. (1)当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程.解 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，直线l 垂直于PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.16.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R ). (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长. 解 (1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1,1)，又12＋(1－1)2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交. (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0,1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离d ＝|－3|(3)2＋12＝32， 又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎫322＝17. 17.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标.解 (1)将圆C 整理，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6.∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为0时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x－4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 18.如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点. (1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度.解(1)因为点M的坐标为(3，1)，所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径长为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径长为r，连接MA，NC，OM，如图所示，则MA⊥x轴，NC⊥x轴.由题意，知点M，N都在∠COD的平分线上，所以O，M，N三点共线.由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，即23＋r＝1r⇒r＝3.则|OC|＝33，N(33，3)，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝3－133－3(x－3)＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝|33－3×3－3|1＋(3)2＝32，则弦长为2r2－d2＝33.。

第四章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是( )A ．k >2B ．－3<k <2C ．k <－3或k >2D ．以上都不对2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )A ．(－3,4，－10)B ．(－3,2，－4)C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12 D ．(6，－5,11) 3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( )A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( )A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．5－5B ．5－5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是( )A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝2B ．－1<b <1或b ＝－2C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO －A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2．若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．19．(12分)已知A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)为△ABC 的三个顶点，O 、M 、N 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，求△OMN 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l ：(m ＋3)x －(m ＋2)y ＋m ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝9．(1)求证：无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交．(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．第四章 圆与方程(B) 答案1．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k ＋2×2＋k 2－15>0，解得k <－3或k >2．]2．A [设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z 2＝－3， ∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．]3．A [根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43． ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)． 即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0．故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．] 4．A [设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4，x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4．∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．]5．B [由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B 符合．]6．B [圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，所以选B ．]7．B [由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ．]8．A [由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．选A ．]9．C [配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．]10．C [由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．]11．D [l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．]12．D [如图，由数形结合知，选D ．]13．(－1，－2,3)14．－2解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2．15．x ＋y －3＝0，x －y －3＝0解析 点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．(x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．17．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3． 所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．解如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)． 由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2，z )，∴|EC |＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z －1)2＝(z －1)2＋5．故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)， ∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．(1)证明 直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52． 最小值为232－(2)2＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ， ∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1． ∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．(2)∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。

高中数学人教版必修二第四章《圆与方程》检测习题（内含答案解析）一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】 B2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.【答案】 B3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y ＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.【答案】 C4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4 2C ．8D ．8 2【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0. ∴a ＋b ＝10，ab ＝17，∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.∴|C 1C 2|＝2(a －b )2＝32×2＝8.【答案】 C5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，且k AB ＝41－m ＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上， 所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3.【答案】 3三、解答题8．已知点A (－4，－1，－9)，B (－10,1，－6)，C (－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状．【解】 |AB |＝(－4＋10)2＋(－1－1)2＋(－9＋6)2＝49，|BC |＝(－10＋2)2＋(1＋4)2＋(－6＋3)2＝98，|AC |＝(－4＋2)2＋(－1＋4)2＋(－9＋3)2＝49.因为|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，所以△ABC 为等腰直角三角形．9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|BC |＝2，|D 1D |＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图4-3-4所示的空间直角坐标系．图4-3-4(1)写出点D ，N ，M 的坐标；(2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP |的最小值．【解】 (1)D (0,0,0)，N (2,1,0)，M (1,2,3)．(2)|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN |＝(2－1)2＋(1－2)2＋(0－3)2＝11.(3)在xDy 平面上，设点P 的坐标为(2y ，y,0)，y ∈[0,1]，则|MP |＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝5y 2－8y ＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545. 因为y ∈[0,1]，所以当y ＝45时，|MP |取最小值545，即3305.[自我挑战]10．在平面直角坐标系Oxyz 中，M 与N 关于xOy 面对称，OM 与平面xOy 所成的角是60°，若|MN |＝4，则|OM |＝( )A ．4B ．1 C.433 D ．2【解析】 由题意知MN ⊥平面xOy ，设垂足为H ，则|MH |＝|NH |＝12|MN |＝2，又OM 与平面xOy 所成的角为60°，则|OM |sin 60°＝|MH |.∴|OM |＝232＝433. 【答案】 C11．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点．如图4-3-5所示，建立空间直角坐标系．图4-3-5(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．【解】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，由|P A|＝|AB|得(1－2)2＋(2－0)2＋(m－0)2＝20.所以m2＝15.因为m∈[0,4]，所以m＝15，故平面ABB1A1内的点P(1,2，15)，使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝12|AB|，又F(1,2,0)，则(0－1)2＋(2－2)2＋(n－0)2＝12(0－2)2＋(4－0)2＋(0－0)2，整理得n2＋1＝ 5.所以n2＝4.因为n∈[0,4]，所以n＝2.故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形。

人教A版数学必修2《第四章圆与方程》单元检测试卷(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知空间两点P1(－1,3,5)，P2(2,4，－3)，则|P1P2|等于()A B．C D2．圆x＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(1，－2)，5 B．(1，－2)C．(－1,2)，5 D．(－1,2)3．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝44．直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定5．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．内含6．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m<12B．m<2 C．m≤12D．m≤27．直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为() A．5x＋12y＋20＝0 B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0 D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝08．一束光线从点A(－1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是()A．4 B．5 C． 1 D．9．一辆卡车宽1.6 m，要经过半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m10＝lg x的根的个数是()A．0 B．1 C．2 D．无法确定二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．点P(3,4,5)关于原点的对称点是__________．12．已知A(1，－2,5)，B(－1,0,1)，C(3，－4,5)，△ABC的边BC上的中线长为__________．13．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(0,5)，则过P作圆C的切线有且只有______条．14．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋5)2＋(y＋2)2＝m2(m>0)相外切，则m的值为______．15．圆x2＋y2－2x－2y＝2关于直线3x－y＋3＝0的对称的圆的方程是__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．17．(15分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线l，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．参考答案1.答案：A2.答案：D3.答案：D4.答案：C5.答案：D6.答案：A7.答案：D8. 答案：A9. 答案：B10. 答案：B11. 答案：(－3，－4，－5)12. 答案：213. 答案：214．答案：415. 答案：(x ＋2)2＋(y －2)2＝416. 解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离 d 1＝43(1)1471155a a a +-++=. 点C 到直线l 3的距离是 d 2＝34(1)107655a a a +-++=. 由题意，得222711,57635a r a r ⎧+=⎪⎪⎨⎛+⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.17. 解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上所述，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，故点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.。

人教版高中数学必修精品教学资料第四章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝52．方程y ＝－25－x 2表示的曲线( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆3．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．以点P (2,－3)为圆心,并且与y 轴相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝9C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝4D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝95．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0,则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －7＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝06．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切,则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或117．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称,则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．38．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．2549．空间直角坐标系中,点A (－3,4,0)和B (x ,－1,6)的距离为86,则x 的值为( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－210．与圆C ：x 2＋(y ＋5)2＝9相切,且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ,F 两点,则△EOF (O 是原点)的面积为( )A ．32B ．34C ．2 5D ．65512．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线,则切线长的最小值为( )A ．322B ．142C ．324D ．322－1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．在空间直角坐标系Oxyz 中,点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影,则OB ＝______．14．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是______________．15．若x ∈R ,y 有意义且满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0,则y x的最大值为________． 16．对于任意实数k ,直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1),且半径为5,求这个圆的方程．18．(12分)求圆心在直线y ＝－4x 上,且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2)的圆的方程．19．(12分)圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2),AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝3π4时,求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线AB 的方程．20．(12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上,且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22,求圆的方程．21．(12分)求与两平行直线x＋3y－5＝0和x＋3y－3＝0相切,圆心在2x＋y＋3＝0上的圆的方程．22．(12分)已知坐标平面上点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1)的距离之比等于5．(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C,过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程．第四章 圆与方程(A)答案1．A [(x ,y )关于y 轴的对称点坐标(－x ,y ),则得(－x ＋2)2＋y 2＝5．]2．D [化简整理后为方程x 2＋y 2＝25,但还需注意y ≤0的隐含条件．]3．B [将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1,(x －2)2＋(y ＋1)2＝9,可知圆心距d ＝5,由于2<d <4,所以两圆相交．]4．C [圆心为(2,－3),半径为2,故方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4．]5．D [化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9,过点P (1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直,故有k l ·k PC ＝－1,由k PC ＝－2得k l ＝12,进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0．] 6．A [直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位得2x －y ＋λ＋2＝0,圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为C (－1,2),r ＝5,d ＝|－2＋λ|5＝5,λ＝－3,或λ＝7．] 7．A [将两方程联立消去y 后得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0,由题意此方程两根之和为0,故k ＝0．]8．D [因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上,故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5,令x ＝0得y ＝52． 令y ＝0得x ＝5,故S △＝12×52×5＝254．] 9．C [由距离公式得(x ＋3)2＋52＋62＝86,解得x ＝2或－8．]10．D [依题意画图如图所示,可得有4条．]11．D [弦长为4,S ＝12×4×35＝655．] 12．B [当圆心到直线距离最短时,可得此时切线长最短．d ＝322,切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12＝142．] 13．13解析 易知点B 坐标为(0,2,3),故OB ＝13．14．x －2y －1＝0(x ≠1)解析 圆心为(2m ＋1,m ),r ＝|m |,(m ≠0),令x ＝2m ＋1,y ＝m 消去m 即得方程． 15． 3解析 x 2＋y 2－4x ＋1＝0(y ≥0)表示的图形是位于x 轴上方的半圆,而y x的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值,结合图形易求得最大值为3．16．相切或相交解析 直线恒过(1,3),而(1,3)在圆上．17．解 设圆心坐标为C (a ,b ),则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25．∵点P (1,1)在圆上,∴(1－a )2＋(1－b )2＝25．又∵CP ⊥l ,∴b －1a －1＝2, 即b －1＝2(a －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝2(a －1)，(a －1)2＋(b －1)2＝25， 得⎩⎨⎧ a ＝1＋5，b ＝1＋25，或⎩⎨⎧ a ＝1－5，b ＝1－2 5.故所求圆的方程是(x －1－5)2＋(y －1－25)2＝25或(x －1＋5)2＋(y －1＋25)2＝25．18．解 由于过P (3,－2)垂直于切线的直线必定过圆心,故该直线的方程为 x －y －5＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －5＝0，y ＝－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4， 故圆心为(1,－4),r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22,∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8． 19．解 (1)∵α＝3π4,k ＝tan 3π4＝－1,AB 过点P , ∴AB 的方程为y ＝－x ＋1．代入x 2＋y 2＝8,得2x 2－2x －7＝0,|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30．(2)∵P 为AB 中点,∴OP ⊥AB ．∵k OP ＝－2,∴k AB ＝12． ∴AB 的方程为x －2y ＋5＝0．20．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,∵圆上的点A (2,3)关于x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上,∴圆心(a ,b )在直线x ＋2y ＝0上, 即a ＋2b ＝0．①圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22,∴⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2．② 由点A (2,3)在圆上得(2－a )2＋(3－b )2＝r 2．③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．21．解 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由题意知,两平行线间距离d ＝|5－3|10＝210, 且(a ,b )到两平行线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0的距离相等,即|a ＋3b －5|10＝|a ＋3b －3|10,∴a ＋3b －5＝－(a ＋3b －3)或a ＋3b －5＝a ＋3b －3(舍)． ∴a ＋3b －4＝0．①又圆心(a ,b )在2x ＋y ＋3＝0上,∴2a ＋b ＋3＝0．②由①②得a ＝－135,b ＝115． 又r ＝12d ＝110． 所以,所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －1152＝110． 22．解 (1)由题意,得|M 1M ||M 2M |＝5． (x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5, 化简,得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0．即(x －1)2＋(y －1)2＝25．∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25,轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时,l ：x ＝－2,此时所截得的线段的长为252－32＝8,∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0,圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1, 由题意,得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52, 解得k ＝512． ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0． 即5x －12y ＋46＝0．综上,直线l 的方程为x ＝－2,或5x －12y ＋46＝0．。

4.3.2 空间两点间的距离公式【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．3．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则|P 1P 2|＝________________________________________________________________________．特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：|OA |＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)，则|P 1P 2|＝______________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)，则|P 1P 2|＝________．一、选择题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A ．61B ．25C ．5D ．572．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B ．29C ．5D ．263．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝44．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C ．87D ．19146．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定二、填空题7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．三、解答题10．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则d (P 1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．4．3．2 空间两点间的距离公式 答案知识梳理1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2 x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)23．|x 1－x 2|作业设计1．C [|AB |＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．]2．B [由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29．]3．B [|AC |＝|BC |⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．]4．A [|AB |＝2，|BC |＝3，|AC |＝1，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2．故构成直角三角形．]5．C [|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．]6．C 7．23938．0或－4解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝⎛⎭⎫12，92，－2，|PC |＝3，即 ⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)． ∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，|MN |min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1．∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)， ∴|AD |＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6． 12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ， ∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ， N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0． (1)|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。

阶段质量检测（四） 圆与方程(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)， 设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋12＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋4－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5a －22＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5a －22－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点， 所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3kk 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。

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必修二第四章单元测试题(时间:90分钟总分：100分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0,那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离 B．相交C．外切D．内切2．过点（2，1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为（) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（）A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，错误!)的切线方程是( )A．x＋错误!y－10＝0 B。

错误!x－2y＋10＝0C．x－错误!y＋10＝0 D．2x＋错误!y－10＝05．点M（3，－3，1)关于xOz平面的对称点是（)A．(－3,3,－1）B．(－3，－3，－1）C．(3,－3，－1) D．（3，3，1）6．若点A是点B（1,2，3)关于x轴对称的点，点C是点D（2,－2,5)关于y轴对称的点，则｜AC｜＝（）A．5 B。

错误!C．10 D.错误!7．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3，0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( ）A．（x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3）2＋4y2＝1 D．（2x＋3)2＋4y2＝18．曲线y＝1＋错误!与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（0，错误!) B．(错误!，＋∞)C．(错误!，错误!］D．(错误!,错误!］二、填空题(本大题共4小题，每小题6分,满分24分）9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．10．已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2:x2＋y2－2x－2y＝0，两圆的公共弦所在的直线方程．11．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．12．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题（本大题共3小题，每题22分,共36分)13．（10分)自A（4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．14．(12分)已知⊙C：(x－3）2＋（y－4）2＝1,点A（－1,0）,B（1，0),点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋｜PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．15．(12分）已知曲线C:x2＋y2＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证:曲线C表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上；（2)证明曲线C过定点;（3)若曲线C与x轴相切，求k的值．必修二第四章测试卷答案一、选择1.C 2。

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验（含两套，附答案）第四章 圆与方程章末测验一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85 D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ）A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标.答 案1． C 2． A 3． A 4． A 5． B 6． B 7． B 8． A 9． C 10． C 11． D 12． D 13． (－1，－2，3) 14． －215． x ＋y －3＝0，x －y －3＝0 16． (x ＋2)2＋y 2＝2 17． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．18． E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19． x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，152，12130．20． （1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．21． （1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．22． （1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．第四章 圆与方程章末测验二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ） A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ）A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝012．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是（）A．[－22，22] B．(－22，22)C．[－2,2] D．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__________________.14．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案1． B 2． B 3． B 4． B 5． D 6． C 7． B 8． A 9． B 10． B 11． A 12． C 13． (0，－76，0)14． x ＋y －3＝0 15．2216． (x －1)2＋y 2＝2. 17． x 2＋(y －1)2＝10． 18．64a ． 19． （1）见证明；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． （1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ． 20． 见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21． （1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1． 22． （1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．。

综合检测一、选择题1.点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2内，则直线x 0x ＋y 0y ＝r 2和已知圆的公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.不能确定 答案 A 解析 ∵点P在圆内，∴x 20＋y 20＜r 2.又∵圆心O (0,0)到直线x 0x ＋y 0y ＝r 2的距离d ＝|r 2|x 20＋y 2＞r ，∴直线与圆无交点.2.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4) D.(4，－2) 答案 B解析 因为直线l 1与直线l 2关于点(2,1)对称，且直线l 1恒过定点(4,0)，所以直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)对称的点(0,2).3.已知在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使其绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A.32π B.52π C.72π D.92π 答案 A解析 所得几何体是大圆锥挖去同底的一个小圆锥，所以所形成几何体的体积V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13πr 2(1＋1.5－1)＝13π(3)2×1.5＝32π.4.若点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2x －2y －2≤0，则点P 到直线3x ＋4y －22＝0的最大距离是( ) A.5 B.1 C.2－11 D.2＋1 答案 A解析 由题意知，点P 在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上或其内部，因为圆心到直线的距离d ＝|3＋4－22|32＋42＝3，所以点P 到直线的最大距离为d ＋r ＝5.5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( )A. 2B.2－ 2C.2－1D.2＋1 答案 C解析 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|a －2＋3|22＋(3)2＝4(a ＞0)，解得a ＝2－1.6.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，若SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O的表面积为()A.4πB.3πC.2πD.π答案A解析由已知得球O的直径是以S，A，B，C为4个顶点的长方体的体对角线，即2R＝12＋(2)2＋12＝2，∴R＝1，∴球O的表面积为4πR2＝4π.①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.A.0个B.1个C.2个D.3个答案B解析①中可能有a∥b，a与b相交，a与b异面；②中可能有a∥M或a⊂M；③中a与b 可能平行、相交或异面；④正确，故选B.8.设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2答案B解析由题意可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.9.已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，则该三棱锥的表面积为()A.339B.339＋ 3C.339＋3 3D.39＋33答案C解析由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC ＝AC＝2 3.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC.有VD＝VB2－BD2＝42－(3)2＝13，则S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝3 3.所以三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3).10.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 D解析 方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1， 则sin α＝12，所以α＝π6，∠BP A ＝π3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3].二、填空题11.已知A (2,5，－6)，点P 在y 轴上，P A ＝7，则点P 的坐标为________. 答案 (0,8,0)或(0,2,0)解析 设点P (0，y,0)，则P A ＝22＋(5－y )2＋(－6)2＝7，解得y ＝2或y ＝8.故点P 的坐标为(0,8,0)或(0,2,0).12.直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 答案 2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点， 则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1， 满足题意， 所以a 2＋b 2＝2.13.过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.答案 22解析 借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长.设A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2，当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦. |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2. ∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2.14.已知△ABC 中，A ∈α，BC ∥α，BC ＝6，∠BAC ＝90°，AB ，AC 与平面α分别成30°，45°的角，则BC 到平面α的距离为________. 答案6解析 如图，分别过点B ，C 作BF ⊥α于点F ，CE ⊥α于点E .连接AF ，AE .设BC 到平面α的距离为h .∵∠BAF ＝30°，∠CAE ＝45°，∴BA ＝2h ，AC ＝2h .在Rt △ABC 中，BC 2＝BA 2＋AC 2，即(2h )2＋(2h )2＝36，解得h ＝ 6.三、解答题15.已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解 (1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)， 所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，m 2＝8m≠－n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.16.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点. (1)证明：DE ∥平面ABC ；(2)设二面角A －BC －D 为60°，求BD 与平面BCC 1B 1所成的角的正弦值.(1)证明 设BC 的中点为F ，连接AF ，EF ，则EF ∥BB 1，且EF ＝12BB 1.又∵AD ∥BB 1，且AD ＝12BB 1，∴EF ∥AD ，且EF ＝AD ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴DE ∥AF .又∵DE ⊄平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)解 连接DF ，BE .∵AB ＝AC ，F 为BC 的中点，∴AF ⊥BC .∵AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC . 又∵AA 1∩AF ＝A ，∴BC ⊥平面ADF ，∵BC ⊥DF ，∴∠AFD 为二面角A －BC －D 的平面角，即∠AFD ＝60°.∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC .AF ⊂平面ABC ，AF ⊥BC ，∴AF ⊥平面BCC 1B 1.∵DE ∥AF ，∴DE ⊥平面BCC 1B 1，∴∠DBE 为BD 与平面BCC 1B 1所成的角. 设AF ＝a ，则DE ＝a ，AD ＝3a ，AB ＝2a ，∴BD ＝5a ，∴sin ∠DBE ＝a 5a ＝55. 17.已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上. (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 的面积的最小值.解 (1)设圆M 的标准方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0).根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又因为|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，由点到直线的距离公式得|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，18.已知圆C 过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0).(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，设点P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标.(1)证明 由题意知，圆C 的标准方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或x ＝2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或y ＝4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t . ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·|4t|＝4，为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在MN 的中垂线上.设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，且直线OC 的斜率与直线MN 的斜率的乘积为－1，即直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2，∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5.当圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时直线与圆相离，故舍去.故圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 易求得点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点B ′(－4，－2)， 则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |， 又∵B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝25，∴|PB |＋|PQ |的最小值为25，又直线B ′C 的方程为y ＝12x x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－23，故|PB |＋|PQ |取得最小值时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23，最小值为2 5.。