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湖南省郴州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）(2018·天津) 设全集为R，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高三上·务川期中) 已知命题p：∃x∈R，x2﹣3x+2=0，则¬p为（）A . ∃x∉R，x2﹣3x+2=0B . ∃x∈R，x2﹣3x+2≠0C . ∀x∈R，x2﹣3x+2=0D . ∀x∈R，x2﹣3x+2≠03. （2分） (2019高一上·天津月考) 设集合那么"a∈M"是"a∈N"的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4=9,S3=15，则数列{an}的通项公式为（）A . an＝2n－3B . an＝2n－1C . an＝2n＋1D . an＝2n＋35. （2分）(2019·南平模拟) 已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为（）．A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·宜昌期中) 某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A . 1860B . 1320C . 1140D . 10207. （2分） (2016高一下·成都开学考) 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f（7）=（）A . ﹣2B . 2C . ﹣98D . 988. （2分） (2018高二上·赤峰月考) 函数的图像大致是（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数满足:对任意实数,当时,总有,那么实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2019高三上·浙江月考) 在的展开式中，常数项为________，系数最大的项是________ ．11. （1分）从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________12. （1分） (2019高二下·上海月考) 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每盒至少1个球，则共有________种不同的放法13. （1分） (2018高三上·昆明期末) 满足对任意，都有成立，则a的取值范围是________ ．14. （1分）在数列{an}中，若存在非零整数T，使得an+T=am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，若数列xn满足xn+1=|x ﹣xn﹣1|（n≥2，n∈N），如x1=1，λ2=a（a∈R，a≠0），当数列xn的周期最小时，该数列的前2015项的和是________．15. （1分） (2018高一上·沈阳月考) 若函数，若函数有四个零点a，b.c，d.则a+b+cd的值是________.三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分）(2020·淮安模拟) 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.17. （10分） (2019高二上·河南月考) 已知是数列的前项和，满足：， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和 .18. （10分） (2020高二下·海林期末) 某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.（1）求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;（2）设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.19. （5分） (2018高二上·武邑月考) 已知是递增的等差数列，，是方程的根。
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。
湖南省郴州市数学高二下学期理数期末考试试卷（a卷）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A . -6B . 13C .D .2. （2分）命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是（）A . p∨qB . p∧qC . ￢pD . 简单命题3. （2分） (2019高二下·合肥期中) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为 .零件数个102030405062758189加工时间现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）A . 68B . 68.3C . 68.5D . 704. （2分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2＝3，a6＝11，则S7＝（）A . 91B .C . 98D . 495. （2分）(2018·遵义模拟) 有如下关于三角函数的四个命题：，，，，，若，则其中假命题的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，6. （2分）在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，模型1、2、3、4的R2分别为0.99、0.89、0.52、0.16，则其中拟合得最好得模型是（）A . 模型1B . 模型2C . 模型3D . 模型47. （2分）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·南昌模拟) 已知双曲线：焦距为，圆：与圆：外切，且的两条渐近线恰为两圆的公切线，则的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·烟台期中) 设等比数列满足，，则的最大值为A . 32B . 128C . 64D . 25610. （2分）已知函数若,=（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分） (2016高一下·雅安期末) 设m，n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m不可能与β相交②若m⊥n，m⊥α，则n不可能与α相交③若m∥α，n∥α，则m与n一定平行④若m⊥β，n⊥α，则α与β一定垂直其中真命题的序号为（）A . ①②B . ②③C . ①④D . ②④12. （2分）函数f（x）=ex﹣x的最小值是（）A . 0B . 1C . ﹣1D . e﹣1二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分）(2020·驻马店模拟) 展开式的第5项的系数为________.14. （1分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________15. （1分） (2019高二下·葫芦岛月考) 已知随机变量服从正态分布，，则________．16. （10分）(2016·海南模拟) 若向量，其中ω＞0，记函数，若函数f（x）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求f（x）的表达式及m的值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移，得到y=g（x）的图象，当时，y=g（x）与y=cosα的交点横坐标成等比数列，求钝角α的值．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·邢台期末) 已知a＞0，b＞0．（1）求证： + ≥ ；（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．18. （10分）众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若甲至少获胜两场的概率大于，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X的分布列和数学期望．19. （15分） (2019高三上·广东月考) 已知数列的前项和为，且，．（1），求证数列是等比数列；（2）设，求证数列是等差数列；（3）求数列的通项公式及前项和．20. （10分） (2019高二下·长春期中) 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1， , AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点 .（1）求证：CD⊥平面BDM；（2）求平面B1BD与平面CBD所成锐二面角的余弦值.21. （10分）(2020·抚州模拟) 给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为 .（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线交“准圆”于点 .①当点P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；②求证：线段的长为定值.22. （5分） (2018高二下·辽宁期末) 设函数，，(其中).（I）当时,求函数的极值;（II）求证：存在，使得在内恒成立，且方程在内有唯一解.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知x，y∈R，i是虚数单位．若x+yi与互为共轭复数，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（）A．B．C．D．3．已知，，则=（）A．B．C．D．4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=）A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸5．考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能得到1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A．B．C．D．27．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（x＞0且a≠1），且f（log4）=﹣3，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．8．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．9．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD 的内切球的半径为（）A．1 B．C．D．10．已知F为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若=（﹣1），则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．11．在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，…，A n，B n分别是线段的中点，设数列{a n}，{b n}满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是（）A．数列{a n}是单调递增数列，数列{b n}是单调递减数列B．数列{a n+b n}是等比数列C．数列有最小值，无最大值D．若△ABC中，C=90°，CA=CB，则最小时，12．若方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（）A．（8，6）B．（6，4）C．[8，4]D．（8，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是．14．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为．15．过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为．16．已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：①函数f（x）的图象关于直线对称；②函数f（x）在区间上单调递增；③函数f（x）的最小正周期为π；④函数f（x）的值域为[﹣2，2]．其中真命题的序号是．（将你认为真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}．满足：a n＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后+1成等比数列，a n+2log2b n=﹣1．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．（1）求证：BD⊥平面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．20．某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．21．已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（3）探讨函数F（x）=lnx﹣+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知x，y∈R，i是虚数单位．若x+yi与互为共轭复数，则x+y=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出x、y，可得x+y的值．【解答】解：由题意得，===2﹣i，因为x+yi与互为共轭复数，所以x=2、y=1，则x+y=3，故选D．2．已知均为单位向量，且，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量的夹角为θ，根据向量的数量积公式以及，即可求出．【解答】解：设向量的夹角为θ，∵均为单位向量，∴||=||=1，=cosθ，∵，∴2||2﹣2||2﹣3=﹣3cosθ=﹣，∴cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故选：A3．已知，，则=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式，则=sin[]即可得答案．【解答】解：由题意，利用诱导公式，可得=sin[]∵，则sin[]=sin（）=．故选B．4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=）A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为（14+6）=10寸，则盆中水的体积为π×9（62+102+6×10）=588π（立方寸）．∴平地降雨量等于=3（寸）．故选：B．5．考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能得到1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构和循环结构的嵌套计算并输出i值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=4，i=5；当a=4时，满足退出循环的条件，故输出结果为：5故选B．6．已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A．B．C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中侧面PAB⊥底面ABC，底面ABC 为直角三角形，AB⊥BC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作PO⊥AB，垂足为O，则PO⊥底面ABC，PO=2，AO=1．则该三棱锥中最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中侧面PAB⊥底面ABC，底面ABC为直角三角形，AB⊥BC，BC=2，AB=1，在平面OAB内，过点P作PO⊥AB，垂足为O，则PO⊥底面ABC，PO=2，AO=1．则该三棱锥中最长的棱长为PC====2．故选：A．7．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（x＞0且a≠1），且f（log4）=﹣3，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数的定义，得到=﹣2，结合奇函数f（x）满足，化简整理可得f（2）=3．再利用当x＞0时，函数的表达式，代入得a2=3，解之得a=（舍负）．【解答】解：∵奇函数f（x）满足，=﹣2＜0，∴f（2）=3又∵当x＞0时，f（x）=a x（x＞0且a≠1），2＞0∴f（2）=a2=3，解之得a=（舍负）故选A8．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选C．9．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD 的内切球的半径为（）A．1 B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出V D﹣ABC ，再求出四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD，由四面体ABCD的内切球的半径r=，能求出结果．【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，∴=1，AC=2，取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，且DO⊥平面ABC，∴V D﹣ABC==，BD==，AB=BC=AD=DC=，∴=，=1，∴四面体ABCD的表面积S=S△ADC +S△ABC+S△ABD+S△BCD=2+，∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．故选：D．10．已知F为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若=（﹣1），则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），A（0，﹣b），渐近线方程为y=x，求出AF的方程与y=x联立可得B（，），利用=（﹣1），可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设F（c，0），A（0，﹣b），渐近线方程为y=x，则直线AF的方程为=1，与y=x联立可得B（，），∵=（﹣1），∴（﹣c，﹣b）=（﹣1）（， +b），∴﹣c=（﹣1），∴e==，故选：A．11．在△ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，…，A n，B n分别是线段的中点，设数列{a n}，{b n}满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是（）A ．数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列B ．数列{a n +b n }是等比数列C ．数列有最小值，无最大值D ．若△ABC 中，C=90°，CA=CB ，则最小时，【考点】数列递推式．【分析】由题意可得=（1﹣）=（1﹣）（﹣），=，可得=+，由条件可得a n =1﹣，b n =﹣1，由单调性可判断A ；由等比数列的定义可判断B ；由数列的单调性即可判断C ；运用向量数量积的性质，化简结合二次函数的最值，即可判断D ． 【解答】解：由在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点， A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段的中点，可得=（1﹣），=（1﹣），…，即有=（1﹣）=（1﹣）（﹣），=， =，…，即有=，则=+=（1﹣）（﹣）+═（1﹣）+（﹣1）=an+b n，可得a n =1﹣，b n =﹣1，则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故A 正确；数列{a n +b n }即为{}是首项和公比均为的等比数列，故B 正确；而当n=1时，a 1=，b 1=0，不存在；n ＞1时，==﹣1+在n ∈N +递增，无最小值和最大值，故C 错误；若△ABC 中，C=90°，CA=CB ，则2=（an 2+b n 2）2+2a n b n •=（a n2+b n2）2，a n2+b n2=（1﹣）2+（﹣1）2=5•（）2n﹣6•（）n+2=5（﹣）2﹣，当n=1时，取得最小值，即有则最小时，．故D正确．故选：C．12．若方程|x2﹣2x﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（）A．（8，6）B．（6，4）C．[8，4]D．（8，4]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先作函数y=|x2﹣2x﹣1|的图象，结合图象可得0＜t＜2，再由韦达定理可得x4﹣x==，x3﹣x2=，再令f（t）=2+，令f′（t）==01得t=，从而由函数的单调性确定2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围．【解答】解：由题意，作函数y=|x2﹣2x﹣1|的图象如下，由图象知，0＜t＜2，∵|x2﹣2x﹣1|﹣t=0，∴|x2﹣2x﹣1|=t，故x2﹣2x﹣1﹣t=0或x2﹣2x﹣1+t=0，则x4﹣x1==，x﹣x2=，3故2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）=2+，令f（t）=2+，令f′（t）==0得，t=，故f（t）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数；而f（）=4，f（0）=6，f（2）=8；故2（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（8，4]，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是[1，2] ．【考点】特称命题．【分析】由条件可通过命题的否定为真命题，从而转化为二次不等式恒成立问题，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：若命题p：“”是假命题，则命题“∀x∈R，2x﹣2＞a2﹣3a”是真命题，即a2﹣3a+2≤0恒成立，∴1≤a≤2，故实数a的取值范围是[1，2]，故答案为[1，2]．14．两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知得存在同校学生排在一起的概率为：P=1﹣=．故答案为：．15．过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【分析】研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．【解答】解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0故应填2x﹣4y+3=016．已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：①函数f（x）的图象关于直线对称；②函数f（x）在区间上单调递增；③函数f（x）的最小正周期为π；④函数f（x）的值域为[﹣2，2]．其中真命题的序号是②④．（将你认为真命题的序号都填上）【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，由于f（﹣）=﹣2，f（）=0，∴f（﹣）≠f（），故f（x）的图象不关于直线对称，故排除①．在区间上，2x∈[﹣，]，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x 单调递增，故②正确．函数f（）=，f（）=0，∴f（）≠f（），故函数f（x）的最小正周期不是π，故③错误．当cosx≥0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为﹣2；当cosx＜0时，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=﹣2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，故④正确，故答案为：②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}．满足：a n＞a n（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后+1成等比数列，a n+2log2b n=﹣1．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）设d、为等差数列{a n}的公差，且d＞0，利用数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，求出d，然后求解b n．（Ⅱ）写出利用错位相减法求和即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设d、为等差数列{a n}的公差，且d＞0由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3成等比数列，得（2+d）2=2（4+2d），d＞0，所以d=2，所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，又因为a n=﹣1﹣2log2b n，所以log2b n=﹣n即b n=．…（Ⅱ）…①，…②，①﹣②，得．…∴…18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b 的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣，∴cosB=﹣cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，=acsinB=××=．∴S△ABC19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．（1）求证：BD⊥平面ACFE；（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；（2）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出和平面BDE的法向量，利用直线FO与平面BED所成角的大小为45°，可得，即可求出a的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．…∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，…∴BD⊥AE，…又AC⊂平面ACFE，AE⊂平面ACFE，AC∩AE=A，…∴BD⊥平面ACFE．…（2）解：以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．…则．设AE=a，则E（1，0，a），∴，…设平面BDE的法向量为，则…即令z=1，得，…∴，…∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴，…解得a=2或（舍），∴|AE|=2．…20．某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出日销售量不低于8吨的频率为0.4，记未来3天内，第i 天日销售量不低于8吨为事件A1（i=1，2，3），未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件和，由此能求出未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于8吨的频率为：2×（0.125+0.075）=0.4，…记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A1（i=1，2，3），则P（A1）=0.4，…未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件和，…则未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率：…=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192．…（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4）P（X=0）=（1﹣0.4）3=0.216，…，…，…P（X=3）=0.43=0.064，…∴X的分布列为：E（X）=3×0.4=1.2．…21．已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及a，b，c的关系，即可取得a与b的值，求得椭圆方程；（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点，得，将直线l的方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将2m2﹣4k2=3代入即可求得△AOB的面积．【解答】解：（1）由椭圆的离心率，得a=2c，…又a2=b2+c2，则，…∴椭圆，由在C上，则，得c=1，…∴，…∴椭圆C的方程为：；…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，），Q（，），由以PQ为直径的圆经过坐标原点，得，即（1）…由，消除y整理得：（3+4k2）x2+8mk+4（m2﹣3）=0，由△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0，而（2）…∴（3）将（2）（3）代入（1）得：，即2m2﹣4k2=3，…又∵，…原点O到直线l：y=kx+m的距离，…∴，…把2m2﹣4k2=3代入上式得，即S△AOB的面积是为．…22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（3）探讨函数F（x）=lnx﹣+是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，可得x=．对t分类讨论：当0＜m＜时，及当t≥时，分别研究其单调性、极值与最值，即可得出；（2）由题意可得，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．即a≤2lnx+x+恒成立，令h（x）=2lnx+x+，求出导数和单调区间，可得极小值且为最小值，由此求出实数a的取值范围；（3）把函数整理成F（x）=lnx﹣+≥﹣﹣+=（﹣），要判断是否有零点，只需看F（x）的正负问题，令G（x）=﹣，利用导数分析G（x）的单调区间和最值，即可判断是否存在零点．【解答】解：（1）f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．①当0＜t＜时，在x∈[t，）上f′（x）＜0；在x∈（．t+2]上f′（x）＞0．因此，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值．f min（x）=﹣．②当t≥，f′（x）≥0，因此f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f min（x）=f（t）=tlnt；（2）由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即有2xlnx≥﹣x2+ax﹣3．即a≤2lnx+x+恒成立，令h（x）=2lnx+x+，h′（x）=+1﹣==，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴a≤h（x）min=h（1）=4．即实数a的取值范围是（﹣∞，4]；（3）令m（x）=2xlnx，m'（x）=2（1+lnx），当x∈（0，）时，m'（x）＜0，m（x）递减；当x∈（，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）递增；∴m（x）的最小值为m（）=﹣，则2xlnx≥﹣，∴lnx≥﹣，F（x）=lnx﹣+=0①则F（x）=lnx﹣+≥﹣﹣+=（﹣），令G（x）=﹣，则G'（x）=，当x∈（0，1）时，G'（x）＜0，G（x）递减；当x∈（1，+∞）时，G'（x）＞0，G（x）递增；∴G（x）≥G（1）=0 ②∴F（x）=lnx﹣+≥﹣﹣+=（﹣）≥0，∵①②中取等号的条件不同，∴F（x）＞0，故函数F（x）没有零点．。
湖南省郴州市2017届高考数学三模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4]C．{0，3，4}D．{3，4}2．设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．C．D．23．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．104．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（）A．B．﹣3 C．3 D．5．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，ς2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份 B．10份C．15份D．20份6．已知函数f（x）=sinx+3cosx，当x∈[0，π]时，f（x）≥的概率为（）A．B．C．D．7．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点Q到平面PEF的距离B．直线PE与平面QEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．二面角P﹣EF﹣Q的大小8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，则ω取值范围是（）A．（0，2）B．（0，3] C．（2，3] D．（2，+∞）10．如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m，n 为实数），则m+n的取值范围是（）A．B．C．D．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．4πD．12．已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．B．（0，1] C．[0，1]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．14．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为．15．在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．+1三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．18．（12分）2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E 上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值；（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C 上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．2017年湖南省郴州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．（2，4]B．[2，4]C．{0，3，4}D．{3，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={3，4}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设z=1﹣i（i是虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后求解向量的模．【解答】解：z=1﹣i（i是虚数单位），复数===1﹣i．向量的模：=．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．3．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A．14 B．12 C．8 D．10【考点】等比数列的前n项和．【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a1=192，∴a5=a1×（）4=192×=12，故选：B．【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（）A ．B ．﹣3C ．3D ．【考点】程序框图．【分析】由程序框图依次计算程序运行的结果，直到满足条件x ≤2时，计算y 的值． 【解答】解：输入x=256＞2，x=log 2256=8， x=8＞2，x=log 28=3， x=3＞2，x=log 23＜2，此时y==，故选：A ．【点评】本题是循环结构的程序框图，解答的关键是读懂框图的流程．5．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，ς2），已知p （80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ） A ．5份 B ．10份 C ．15份 D ．20份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得． 【解答】解：∵数学成绩ξ服从正态分布N （100，ς2），P （80＜ξ≤100）=0.35， ∴P （80＜ξ≤120）=2×0.35=0.70，∴P （ξ＞120）=（1﹣0.70）=0.15， ∴100×0.15=15， 故选：C ．【点评】本题考查正态分布曲线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知函数f （x ）=sinx +3cosx ，当x ∈[0，π]时，f （x ）≥的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出当x ∈[0，π]时，f （x ）≥的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵sinx+3cosx=2sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，x+∈[，]，∴≤x+≤，∴0≤x≤，∴发生的概率为P=，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．7．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点Q到平面PEF的距离 B．直线PE与平面QEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF为定值；B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF 所成的角不是定值；C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：B．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线x+y﹣1=0对称，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率，求得b=c，则椭圆的标准方程转化成x2+2y2=2b2，求得右焦点关于直线x+y﹣1=0对称的点，代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆方程．【解答】解：由椭圆的离心率e==，则a=c，由b2=a2﹣c2=c2，则b=c，则设椭圆方程为x2+2y2=2b2，∴右焦点（b，0）关于l：y=﹣x+1的对称点设为（x′，y′），则，解得，由点（1，1﹣b）在椭圆上，得1+2（1﹣b）2=2b2，b2=，a2=，∴椭圆的标准方程为：，故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点关于直线对称的求法，考查计算能力，属于中档题．9．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0），f'（x）是f（x）的导函数，若f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，则ω取值范围是（）A．（0，2）B．（0，3]C．（2，3]D．（2，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意，＜≤T，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（α）=0，f'（α）＞0，且f（x）在区间[α， +α）上没有最小值，∴＜≤T，∴＜≤•，∴2＜ω≤3，故选C．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图所示，=（ 4，0），=（0，4）．可得=m+n =（ 4m ，4n ）．当圆心为点B 时，AP 与⊙B 相切且点P 在x 轴的下方时，P （ 4﹣，﹣）．此时m +n 取得最小值；当圆心为点C 时，AP 经过圆心时，P （，）．此时m +n取得最大值．【解答】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，向量=m+n（m ，n 为实数）；=（ 4，0），=（0，4）．可得=m+n=（ 4m ，4n ）．当动圆Q 的圆心经过点C 时，如图：P （，）．此时m +n 取得最大值：4m +4n=8+，可得m +n=2+．当动圆Q 的圆心为点B 时，AP 与⊙B 相切且点P 在x 轴的下方时，P （ 4﹣，﹣）．此时，4m +4n=4﹣，m +n 取得最小值为：1﹣；∴则m +n 的取值范围为．故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A．B．C．4πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，求出h，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，∴h=，R2=，∴几何体的外接球的表面积S=4πR2=π，故选B．【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力．12．已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．B．（0，1]C．[0，1]D．【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，当﹣1＜k≤，x=时，，由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则a∈[1，]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，则b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题．14．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x的系数为﹣41．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值，再把二项式展开，求得该展开式中含x的系数．【解答】解：∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1，∴=（x+）•（•（2x）5﹣•（2x）4+•（2x）3﹣•（2x）2+•2x﹣），则该展开式中含x的系数为﹣﹣•4=﹣41，故答案为：﹣41．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．在直角三角形△ABC中，，，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得，则=6．【考点】向量在几何中的应用．【分析】据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件即可得到，即得到，进行数量积的坐标运算即可求出的值．【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；∴由得：3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；∴；∴；∴．故答案为：6．【点评】考查通过建立平面直角坐标系解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘和数量积运算．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是（﹣，）．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立求得实数t的取值范围．【解答】解：由S n=（﹣1）n a n++n﹣3，得a1=﹣；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣﹣（n﹣1）+3=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n﹣1﹣+1，若n为偶数，则a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣1（n为正奇数）；若n为奇数，则a n﹣1=﹣2a n﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，∴a n=3﹣（n为正偶数）．函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）（2017•郴州三模）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及余弦定理，基本不等式可得，利用三角形面积公式即可得解△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，利用三角形面积公式可解得，可求，由余弦定理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，进而利用正弦定理可求BC的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴由余弦定理可得：…（2分）∴，…（4分）∴，所以△ABC的面积的最大值为…（6分）（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，，∴，解得：，∴…（7分）由余弦定理得：，∴，…（9分）∵，∴，∴，此时，∴．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•郴州三模）2017年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出频率分布直方图中的a值，并求出这200的平均年龄；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取7人，设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，则为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率．（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，解得a=0.035．（2）分层抽样的方法在第3组中应抽取=7人，设事件“抽取3人中至少有1人年龄在第3组”为A，则为“抽取的3人中没有1人年龄有第3组”，则抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率：P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X～B（3，），且P（X=k）=，k=0，1，2，3，∴X的分布列为：EX=np=3×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图、对立事件概率乘法公式、二项分布的合理运用．19．（12分）（2017•郴州三模）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC 的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，∴l⊥面PAC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（），F（），，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，则，取z=，得，，|cos＜＞|==，|cos＜＞|==，依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2017•郴州三模）已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）点Q（x0，y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．【考点】圆锥曲线的综合；轨迹方程．【分析】（1）利用代入法，求曲线C的方程；（2）设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），圆心（2，0）到切线的距离d==2，整理可得，表示出面积，利用函数的单调性球心最小值．【解答】解：（1）设P（x，y），则点N（2x，2y）在抛物线E：y2=8x上，∴4y2=16x，∴曲线C的方程为y2=4x；（2）设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．令y=0，可得x=，圆心（2，0）到切线的距离d==2，整理可得．设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，k1k2=，∴△QAB面积S=|（x0﹣）﹣（x0﹣）|y0=2•设t=x0﹣1∈[4，+∞），则f（t）=2（t++2）在[4，+∞）上单调递增，∴f（t）≥，即△QAB面积的最小值为．【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，轨迹方程的求法和点到直线的距离公式的运用．21．（12分）（2017•郴州三模）已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值；（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求出导函数的零点﹣，1，分﹣＞1，≤﹣≤1，﹣＜，讨论函数f（x）在区间[，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到ln =，令=t后构造函数g（t）=lnt﹣（t＞1），根据函数的单调性判断不成立．【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx，∴f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣=，∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=1，①当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．②当≤﹣≤1，即﹣1≤a≤﹣时，f（x）在[，﹣]上是减函数，在[﹣，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．③当﹣＜，即a＜﹣1时，f（x）在[，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f（）=﹣a+ln2．综上，函数f（x）在区间[，1]上的最小值为：f（x）min=；（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，直线AB的斜率k1== [a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]=a（x1+x2）+（1﹣2a）+，曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即=﹣，∴ln ==，不妨设x1＜x2，=t＞1，则lnt=，令g（t）=lnt﹣（t＞1），则g′（t）=﹣=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，∴g（t）＞0，即lnt=不成立，∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）（2017•郴州三模）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得直角坐标方程．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程．（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为： +1=0，|PM|•|PN|=|t1•t2|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x+y﹣1=0．曲线C的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x2+（y﹣2）2=4．把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得C的极坐标方程为：ρ=4sinθ．（II）P（1，0）．把直线l的参数方程代入圆C的方程为： +1=0，t1+t2=3，t1•t2=1，∴|PM|•|PN|=|t1•t2|=1．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•郴州三模）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“直角距离”为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A（x，1）、B（1，2）、C（5，2）三点．（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．【考点】两点间距离公式的应用；函数恒成立问题．【分析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x ﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3；（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，t min=4．故t的最小值为：4．【点评】本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．。
湖南省郴州市高二下学期数学期末统考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共3题；共6分)1. （2分）下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是（）A . ±1B . ±2C . ±iD . ±2i2. （2分）已知长方体ABCD—A1B1ClD1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为（）A . 8B . 16C . 14D . 183. （2分） (2018高一上·湘东月考) 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A . 若，，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则二、填空题 (共8题；共8分)4. （1分）(2020·达县模拟) 复数的实部为________.5. （1分） (2018高一下·宜昌期末) 如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，分别是的中点，，若，则异面直线与所成角的大小为________.6. （1分）(2017·日照模拟) 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．7. （1分） (2018高二上·安吉期中) 在三棱锥ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，则三棱锥ABCD体积的最大值是________．8. （1分） (2018高三上·重庆期末) 二项式的展开式中常数项为________。
9. （1分） (2015高二下·霍邱期中) 设ai∈R+ ，xi∈R+ ， i=1，2，…n，且a12+a22+…an2=1，x12+x22+…xn2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是________．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．10. （1分） (2016高三上·平湖期中) 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是________．11. （1分）(2017·枣庄模拟) 有两对夫妇各带一个小孩到动物园游玩，购票后排成一队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为________．（用数字作答）三、解答题 (共4题；共40分)12. （10分） (2018高二下·通许期末) 已知复数满足: 求的值.13. （10分）(2016·深圳模拟) 过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．14. （10分）(2016·德州模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=4，AB=4 ，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=2．（1）求证：BD⊥PC；（2）求证：MN∥平面PDC；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．15. （10分） (2017高二下·寿光期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD= ，∠DAB= ，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案一、单选题 (共3题；共6分)1-1、2-1、3-1、二、填空题 (共8题；共8分)4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共4题；共40分)12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、14-3、15-1、。
湖南省郴州市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝（）A . {0}B . {－1，0}C . {0，1}D . {－1，0，1}2. （2分）从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表x165160175155170y5852624360根据上表可得回归直线方程为=0.92x+，则=（）A . ﹣96.8B . 96.8C . ﹣104.4D . 104.43. （2分）二项式（2﹣x ）8展开式中不含x6项的系数的和为（）A . 0B . ﹣1120C . 1D . ﹣11194. （2分）若存在，则实数x的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·临沂模拟) 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N（100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）=0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A . 5份B . 10份C . 15份D . 20份6. （2分）(2017·福州模拟) 已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019高一上·丹东月考) 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（）A .B .C .D .8. （2分）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术六堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育排在下午（后2节），不同排法总数是（）A . 720B . 120C . 144D . 1929. （2分）工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N(μ，σ2). 在一次正常的试验中，取10 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为（）A . 70个B . 100个C . 26个D . 60个10. （2分）由某个2×2列联表数据计算得随机变量K2的观测值k=6.879，则下列说法正确的是（）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A . 两个分类变量之间有很强的相关关系B . 有99%的把握认为两个分类变量没有关系C . 在犯错误的概率不超过1.0%的前提下认为这两个变量间有关系D . 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为这两个变量间有关系11. （2分） (2016高二上·安徽期中) 给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分） (2016高三下·娄底期中) 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=________14. （1分）用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色不得相同，则不同的涂色方法共有________．15. （1分） (2016高二下·惠阳期中) 已知=2 ，=3 ，=4 ，…，若 =6 （a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，t﹣a=________．16. （1分） (2017高三上·徐州期中) 已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分） (2018高一上·台州期末) 设集合 , .(Ⅰ)当时，求；(Ⅱ)若，求实数的取值范围.18. （15分） (2016高一上·海安期中) 已知函数f（x）= ．（1）证明f（x）为偶函数；（2）若不等式k≤xf（x）+ 在x∈[1，3]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，函数g（x）=tf（x）+1，（t≥0）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求实数t的取值范围．19. （10分） (2016高二下·三门峡期中) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．20. （5分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数，其中，设是的导函数，讨论的单调性和极值。
湖南省郴州市2024-2025学年高二数学下学期期末教学质量监测试题（含解析）一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数的模为5，虚部为-4，则复数（）A.B.C.或D.3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A.3B.6C.7D.84.刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间宏大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形如图1所示，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（）A.B.C.D.5.设，，，则（）A.B.C.D.6.已知平面对量，满足，，，若，则的最大值为（）A.1B.C.D.27.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)安排到，，三个地区参与医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去地区，则安排方案共有（）A.264种B.224种C.200种D.236种8.已知函数（且）．若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题(每小题4分，共20分)9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成果统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为､，则（）A.每次考试甲的成果都比乙的成果高B.甲的成果比乙稳定C.肯定大于D.甲的成果的极差大于乙的成果的极差10.已知，则下列结论肯定正确的是（）A.B.C.D.11.关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（）A.是偶函数B.在上有3个零点C.在上单调递增D.的最大值为212.如图所示，正三棱柱各棱的长度均相等，为的中点，､分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足，当､运动时，下列结论中正确的是（）A.是等腰三角形B.在内总存在与平面垂直的线段C.三棱锥的体积是三棱柱的体积的D.三、填空题:每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．13.已知直线是函数的一条对称轴，写出的一个可能值为________.14.已知随机变量，满足，， ________.15.已知的绽开式中的各项系数的和为2，则该绽开式中的常数项为________．16.已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是________；最小值是________.四、解答题(共70分． )17.在中，内角，，的对边分别为，，，且（1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.18.已知正项数列的前项和为，对有 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和 .19.如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足 .（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民运用这款App运用者的人数及满足度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从运用这款App的人数的满足度统计数据如下：月份 1 2 3 4 5不满足的人数120 105 100 95 80（1）请利用所给数据求不满足人数与月份之间的回来直线方程，并预料该小区10月份的对这款App不满足人数：（2）工作人员发觉运用这款App居民的年龄近似听从正态分布，求的值；（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否运用这款App与性别的关系，得到如表：运用App不运用App女性48 12男性22 18能否据此推断有99%的把握认为是否运用这款App与性别有关？参考公式：， .附：随机变量：，则，，(其中 )P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过肯定点，并求出该定点的坐标.22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都实行“欢乐体育”活动.在一次“套圈圈”的嬉戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲､乙两人同一组，甲､乙两人丟圈套中的概率为别为pi，p2，假设两人是否套中相互没有影响.（1）若，设甲､乙两人丟圈套中的次数之和为，求的分布列及数学期望 . （2）若，则嬉戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮嬉戏才行？并求此时，的值.答案解析部分一、单选题1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：故答案为：C【分析】依据交集的定义求出A∩B即可.2.若复数的模为5，虚部为-4，则复数（）A.B.C.或D.【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模【解析】【解答】设，，∴ ，解得，∴ .故答案为：C【分析】设复数，，依据复数的模求出x的值，即可求出复数z的值。
湖南省郴州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·淮南模拟) 已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（）A .B .C . 7D . 702. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 下列3个命题：1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分） (2017高二下·中山月考) 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（）A .B .C .D .4. （2分）某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（）A . 474种B . 77种C . 462种D . 79种5. （2分）(2017·大连模拟) 命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A . a≥4B . a≤4C . a≥5D . a≤56. （2分）幂函数的图象经过点，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）随机变量服从二项分布～B（n,p），且则P等于（）A .B .C . 1D . 09. （2分）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则所得到的统计学结论是：有（）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．A . 0.1%B . 1%C . 99%D . 99.9%10. （2分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。
湖南省郴州市2017届高三第二次教学质量监测理数试题第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
1.已知,x y R ∈，i 是虚数单位。
若x yi +与31i i++互为共轭复数，则x y +=( ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D考点：1。
复数相关的概念；2。
复数的运算.2. 已知,a b 均为单位向量，且33(2)(2)2a b a b +-=-•，则向量,a b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π【答案】A 【解析】试题分析:向量,a b 的夹角为θ,因为1a b ==，所以()()332233cos 2a b a b a b θ+⋅-=-⋅=-=-,即3cos 2θ=，6πθ=，故选A.考点：1。
向量相关的概念；2。
向量的数量积及运算.3。
已知(0,)6πα∈,12sin()313πα+=，则cos()6πα-=（）A ．512B ．1213C ． 513-D ．1213-【答案】B 【解析】试题分析:因为12sin()cos[()]32313πππαα+=-+=，所以13cos()612πα-=，故选B.考点:诱导公式。
4。
我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。
天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。
若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V SS S S h =++下下上上•）。
A ． 2寸B ．3寸C 。
4寸D ．5寸 【答案】B考点：1。
实际应用问题；2.圆台的体积.5。
考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2。
如此循环，最终都能得到1。
