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第一讲 平衡问题典题汇总类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
1、如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
又由于AB 杆竖直时12C y a =， 那么B 点的坐标为 sin x a θ=111cos (1cos )222y a a a θθ=-=- 消去参数得222(2)x y a a +-=类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。
例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C 柱放上去之前，A 、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得111)2N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得1121022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得211102f N N -= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得12f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤0μ≥2μ≥类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力F f 与弹力F N 的合力凡与接触面法线方向的夹角θ不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念．例4．如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l 和2l ，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上．A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且12l l <。
物理高一必修二关联速度知识点速度是物理学中一个重要的概念，它描述了物体在单位时间内的位移变化。
在高中物理的学习过程中，学生们会接触到许多与速度相关的知识点。
本文将介绍高一必修二中与速度相关的几个重要知识点，包括平均速度、瞬时速度、速度的合成与分解、加速度等。
一、平均速度平均速度是指物体在一段时间内的位移与时间的比值。
它的计算公式为：平均速度 = 总位移 / 总时间例如，一个物体初位置为A，末位置为B，物体从A点运动到B点所需时间为t，那么物体的平均速度可以表示为：平均速度 = (B点位置 - A点位置) / t二、瞬时速度瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度。
在数学上，瞬时速度可以通过求解物体的瞬时位移与瞬时时间的比值来得到。
瞬时速度可以表示为：瞬时速度 = ds/dt其中，ds表示瞬时位移，dt表示瞬时时间。
在实际问题中，通常可以通过计算物体在极短时间内的位移和时间来逼近瞬时速度。
三、速度的合成与分解速度的合成是指当一个物体同时具有多个速度时，将这些速度合成为一个总速度的过程。
合成速度的方法可以使用平行四边形法则或三角法则。
例如，一个物体以速度v1沿x轴正方向运动，同时以速度v2沿y轴正方向运动，那么物体的合成速度可以表示为：合成速度= √(v1² + v2²)相反地，速度的分解是指将一个速度分解为多个分速度的过程。
分解速度的方法可以使用正弦定理或余弦定理。
例如，一个物体以速度v沿某一斜面上升，可以将这个速度分解为分速度v1和v2，其中v1表示物体在垂直于斜面方向上的分速度，v2表示物体在斜面上的分速度。
四、加速度加速度是速度变化的量度，描述了物体单位时间内速度的变化率。
它的计算公式为：加速度 = (末速度 - 初速度) / 时间在高一必修二中，我们主要学习了匀变速直线运动，该运动下的加速度为常数。
当物体在匀变速直线运动中，我们也可以用加速度的公式来计算位移和时间的关系。
例如，一个物体的初速度为v0，加速度为a，它在时间t内的位移可以计算为：位移 = v0t + (1/2)at²其中，v0t表示初速度v0在时间t内的位移，(1/2)at²表示由于加速度a造成的额外位移。
运动和物体系的相关速度一、知识点击1．直线运动和曲线运动⑴匀变速直线运动：匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动两种情况，它的特点是加速度a=恒量，并与速度υ在同一直线上． 匀变速运动的基本公式为：0at υυ=+①2012s t at υ=+ ②⑵匀变速曲线运动：匀变速曲线运动的特点是a=恒量，但与速度υ的方向不在同一直线上，如斜抛运动，研究斜抛运动可以有多种方法，既可以将它看成是水平方向的匀速运动和竖直方向的（上或下）抛运动的合成；也可以看做是抛出方向的匀速运动和一个自由落体运动的合成．⑶匀速圆周运动：匀速圆周运动的特点是a 与υ的大小为恒量，但它们的方向无时无刻不在改变，它是一种特殊的曲线运动，但却是研究曲线运动的基础，一般曲线运动的任何一个位置，都可以作为一个瞬时的圆周运动来研究。
我们经常将圆周运动分解成法向和切向两个方向来研究，法向加速度22n a R Rυω==，对于匀速圆周运动，其切向的加速度为零，如果是变速圆周运动，那么它在切向上也有加速度i a ．此时它的合加速度是：n i a a a =+。
2．相对运动：在大多数情况下，我们都习惯于以地面作为参照物，但在某些场合，我们选择其他一些相对地面有速度的物体作为参照物，这样会给解决问题带来方便，所以相对运动就是研究物体对于不同参考系的运动以及它们之间的联系，比如A 物体相对于地面的速度为A υ地，如果取另一个相对地面有速度υB 地的B 物体作参照物，那么A 物体相对B 物体的速度为：AB A B υυυ=+地地或AB A B υυυ=-地地通常把物体相对“固定”参考系的速度称为绝对速度，把相对于“运动”参考系的速度称为相对速度，而把运动参考系相对固定参考系的速度称为牵连速度，所以上式我们可以表述为“相对速度等于绝对速度和牵连速度之差”．速度的合成必须用平行四边形定则进行计算． 3．刚体的平动和转动刚体：刚体是指在任何条件下，形状和大小不发生变化的物体。
这样的物体实质上是不存在的，但固体在一般情形下可视为刚体平动：刚体在运动过程中，其上任一直线段在各个时刻的位置始终保持平行，这种运动称为平动．做平动的物体可视为质点．转动：刚体所有质元都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动，这一直线称为转轴。
如果转轴固定不动，就称为定轴转动．⑴角速度：tφω∆=∆ ．即单位时间内转过的角度（角位移），对于非匀速转动，上式只是求出刚体在△t 时间内的平均角速度，对于瞬时角速度，lim tφω∆=∆．⑵角加速度：单位时间内角速度的变化量lim tωβ∆=∆。
⑶对于匀变速转动，可以类比匀变速直线运动的规律，有0t ωωβ=+ 20012t t ϕϕωβ=++22202t ωωβ=+ ⑷定轴转动中ω、β与线速度υ，切向加速度i a 和法向加速度n a 的关系为 R υω= i a R β= 22n a R Rυω==4．关联速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有： ①杆（或张紧的绳）上各点沿杆（或张紧的绳）方向的速度分量相同；②如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同· 二、方法演练类型一、匀速直线运动的问题本来是物理学中最基本的知识，但往往当基本模型隐藏得比较深的时候，就成为一种比较难解的题，要解这类题目时，一般都要进行某种转换把其本来的模型突显出来才能找出简便的解题方法。
例1．在听磁带录音机的录音磁带时发觉，带轴于带卷的半径经过时间t 1=20 min 减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间？分析和解：本题的关键在于要弄清录音磁带转动时是转轴匀速，还是带速恒定，这要联系实际听乐音所需的效果就可以确定应该是带速恒定，然后再把磁带卷过的长度转换到带卷的面积来考虑问题即可解题。
设带半径的初半径为4r ，于是当半径减少一半，成为2r 时，带卷的面积减少了222(164)12S r r r ππ=-=这等于所绕带的长度1l ，与带的厚度d 之乘积．在听录音时带运行的速度υ恒定，所以11l t υ=，于是有 2112r t d πυ= ①当带轴上半径又减少一半（从2r 到r ）时，带卷的面积减少了222(4)3r r r ππ-=，即223r t d πυ= ②由①②得 125m i n 4t t == 类型二、相对运动的问题是运动学中一种比较难处理的类型，一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。
例2．由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过a=0.5m/s 2．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A 点到达B 点，直线AB 垂直于汽车的初始速度υ，如图2一1所示．如果A 、B 之间的距离AB=375 m ，而初速度υ=10 m/s ，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很 难解出此题的，然而如果才坐标系转换法解此题，其难度却可以大大 降低。
坐标系转换：汽车在A 点不动，而让B 点以恒速υ向汽车运动的 相 反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B 点相遇，必 须沿直线以恒加速度a 向B 点驶去．假设它们在D 点相遇，如 图2—2所示．设AB=b ，我们可以列出：22221()()2b t at υ+= ①由①式可得：t =② 将数据代人②式得t ＝50s 。
在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀 速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的 运动轨迹是一条抛物线．类型三、关联速度问题是运动的合成和分解的一个基本模型，关联的本质是转动和平动的关联，分析时既要考虑运动的独立性原理，又要考虑物体实际的运动轨迹，还要考虑连绳的长度，建立好正确的几何模型对解题至关重要。
例3．线轴置于斜面上，斜面与水平面的夹角为α.线的自由端固定住（如图2—3）．线绳为垂直线时 的瞬间线轴的旋转角速度等于ω．求在这瞬间的： ① 线轴轴心的速度；②线轴与斜面相切点的速度． ② 线轴的半径为R.分析和解：本题中由于线绳不能伸长，所以垂直 线最下面的点和与其相接触的线轴上的A 点的速 度A υ相同，A υ的方向是水平方向．线轴的运动 由两个运动合成：平行于斜面的直线运动，其速 度为0υ；绕轴心的顺时针转动，其角速度等于ω。
在题中情况下,A 点的速度（图2 —4a)等于0A υυυ'=+不难看出，R υω'=，且A υυ'⊥，由此可得0sin Rωυα= ① 同理可以求出线轴与斜面相切C 点的速度（图2一4b)0C υυυ''=+其速度在斜面方向的投影为0C R υυω=- ②将①代人②得1sin sin C Rαυωα-=例4．AC 、BD 两杆均以角速度ω绕A 、B 两固定点在同一竖直平面内转动，AB=l ，转动方向如图1一5所示，当t=0时，a =β=600，试求t 时刻交点M 的速度和加速度．分析和解：本题实质上也是关联速度的问题，但其关联的本质 是两杆的角速度相同，所以α+β=1200不变，推知M 点的轨迹 在正三角形M 外接圆上运动．由此可重点在几何模型上去探求 解法。
在t=0时刻，△ABM 为正三角形，则AM=BM=l ，两杆旋转过程中，因转动的角速度相同，则α角增加量等于β角的减小量，α+β=1200不变， 则顶角M 大小始终不变，即∠M=600，则M 点的轨迹在正三角形ABM 外接圆上运动（如图2一6所示）。
则∠MOM' = 2 ∠ MB M' ，则ωM = 2ωM点作以半径为3R =的匀速圆周运动 在任意t时刻速度为：23R l υω==，向心加速度为：22(2)n a R l ω==类型四、物理学中特殊的曲线运动主要有两类，即圆周运动和抛体运动，其中抛体运动轨迹的曲率半径是随时变化的，所以在考虑抛体运动时，如果要计算向心加速度，则必须通过有关运动的计算得出曲率半径才能求解。
例5．以速度υ、与水平方向成α角抛出石块，石块沿某一轨道飞行．如果蚊子以大小恒定的速率0υ沿同一轨道飞行．问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计．分析和解：蚊子的运动实际上是匀速率曲线运动．它的加速度就是它运动到不同位置时的向心加速度．关键在于求出最大高度一半处时的曲率半径R ．我们可以根据轨道方程，求出曲率半径R ．现在我们根据石块的运动来求曲率半径．石块的运动为斜上抛运动，它到达的最大高度为220sin 2H gυα=设在12H 处，速度与水平方向成θ角．运动速度关系为cos x υυα=，y υ=故有tan yxυθυ=由以上四式得tan θα=将加速度g 分解为法向和切向方向得cos n a g θ= 根据向心加速度公式，222cos x n a RR υυθ==得322222031(1sin )cos 2cos cos R g g υαυαθα-== 蚊子以0υ的恒定速率沿石块的轨迹运动，蚊子在12H 粤处曲率半径仍为石块运动到此的曲率半径R ，但切向加速度为0，法向加速度20na Rυ'=，蚊子的加速度等于该处的法向加速度．20322cos 1(1sin )2na a g Rυαα'===- 即为蚊子飞到最大高度一半处具有的加速度．类型五、刚体的平动和转动问题的解题关键在于分析清楚物体间的内部约束和外界约束，其约束条件往往就是解题的突破口。
例6．图2—7细杆AB 长l ,端点A 、B 分别被约束在x 和y 轴上运动，试求： (1）杆上与A 相距al (0a l <<)的P 点的运动轨迹；(2)如果图中θ角和A υ为已知，那么P 点的x 、y 方向分运动速率Px υ、Py υ是多少？ 分析和解：本题中的内部约束就是杆长和P 点在杆中的位置，而外部约束是A 、B 分别被约束在x 和y 轴上运动，这样就确定了它们之间的几何关系。
(1)杆A 端在y 轴上的位置用坐标A y 九表示，杆B 端的位置用坐标B x 表示，P 点的坐标为（p P x y 、），利用几何关系，得出p P x y 、与B A x y 、的关系为P B x ala x l == 1P A y l al a y l-==- 即sin P B x ax al θ==(1)(1)cos P A y a x a l θ=-=-由以上两式，得[]22221()(1)P Px y al a l +=- 这是一个椭圆方程，故P 点的运动轨迹为椭圆．(2)设在Δt 时间内，P 点坐标的改变量为P x ∆和P y ∆，杆A 、B 两端坐标的相应改变量为A y ∆和B x ∆，利用P 点坐标与A 、B 两端坐标在几何上的关连有P B x xa t t∆∆=∆∆，(1)P A y ya t t∆∆=-∆∆ 根据速度分量的定义，当△t →0时Px B a υυ=，(1)Py A a υυ=- 式中A υ和B υ分别是A 端和B 端的速度．由AB 杆不可伸长，有 c o s s i n A B υθυθ= 最后得出P 点的速度分量为c o t P x A a υυθ= (1)Py A a υυ=-三、小试身手1．线段AB 长S ，分成n 等分，一质点由A 静止出发以加速度a 向B 作分段匀加速度直线运动，当质点到达每一等分的末端时，它的加速度增加a n，求质点运动到B 点时的速度。
