专题09 不等式-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)

高考冲刺 提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题20 计数原理与二项式定理【真题感悟】1、【2019年江苏，22】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.2、【2018江苏，理23】设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3. 【2017江苏，23】已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .123Lm n+（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-4. 【2016江苏，23】（1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +L +n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .5. 【2012江苏，23】设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①AP n ；②若x ∈A ，则2x A ；③若x ∈P n A ，则2xP n A ．(1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．【考纲要求】1.加法原理与乘法原理2.排列组合3.二项式定理以上考查要求均为理解.【考向分析】计数原理与二项式定理均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.【高考预测】组合式的证明是考查的一个方向【迎考策略】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.3. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是p q ma b ，其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组． 即将()na b +展开共2n项，合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为pn C (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =L )()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈L L 这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nax b +、()2nax bx c++ (,,a b c R ∈)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()nax by + (,a b R ∈)的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若()2012nn f x a a x a x a x =++++L ，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ，奇数项系数之和为()()024112f f a a +-+++=L ，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++=L ，令0x =，可得()00a f =．6. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +L ，且第k 项系数最大，应用11k k kk A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来，即得．7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠)，商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．8.组合数的性质不仅有课本上介绍的111C C C m m m k k k ++++=、C =C m k m k k-，更有11C C k k n n k n --=，现在又有11(1)C (1)C ,,1,,m m k k k m k m m n +++=+=+L ，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.【强化演练】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．242．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x +的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．3．已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．4．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．5．已知{}123*,2,,,,,1,1,n n N n k k k k ∈≥⋅⋅⋅∈- {}2120|222n n A x x k k k =>=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 记()A n 为集合A 中所有元素之和（1）求()3A 的值；（2）求()A n （用n 表示）6．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，，n ∈N*．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 7．在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令.（1）当时，求的值；（2）求.8．如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为12,,,k x x x L ，其中{0,1}i x ∈（1i k ≤≤），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为0x ．（1）当k=4时，若要求0x 为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？ （2）当k=11时，若要求0x 为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？9．设123*12341()(1)(2,)n n n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈L ．（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列． 10．已知2012(2)(1)(1)+(1)(*)n nn x a a x a x a x n N +=+-+--∈L L ． ⑴求0a 及1nn i i S a ==∑；⑵试比较n S 与2(2)32n n n -+的大小，并说明理由． 11．设集合是非空集合的两个不同子集.（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数.12．已知，其中且．（1）若，求的值；（2）对于每一个给定的正整数，求关于的方程所有解的集合．。

高考冲刺 提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题20 计数原理与二项式定理【真题感悟】1、【2019年江苏，22】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32. 【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．2、【2018江苏，理23】设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．【答案】（1）34(2)2,(2)5f f ==（2）222n n --【解析】解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．3. 【2017江苏，23】已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为：11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L 11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.4. 【2016江苏，23】（1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +L +n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析 【解析】解：（1）3467654765474740.321C C 4321⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(1)(1)]C !C m m k k k k k k m m k m m n m k m m k m +++⋅++==+=+=++-++-+L又因为122112C C C ,m m m k k k +++++++=所以2221C C C (1)(1)(),1,+2,.m m m k k k k m k m m n +++++=+-=+L ，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(1)(1)[(2)(3)(1)](1)(1)[()(C C C C C C C C CCCCC)(CCC )](1).m m m mm m m n m m m m m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m m m n m m m n m m m ++++++++++++++++++++++++++++=++++++++=+++-+-++-=+L L L5. 【2012江苏，23】设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①AP n ；②若x ∈A ，则2x A ；③若x ∈P n A ，则2xP n A ．(1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．【答案】(1)4．(2) 2122,()2,.nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数，为奇数 【解析】解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4.(2)任取偶数x ∈Pn ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m·2k ，其中m 为奇数，k ∈N*. 由条件知，若m ∈A ，则x ∈Ak 为偶数；若m A ，则x ∈Ak 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Qn 是Pn 中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn 的子集个数． 当n 为偶数(或奇数)时，Pn 中奇数的个数是2n (或12n +)． 所以2122,()2,.nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数，为奇数.【考纲要求】1.加法原理与乘法原理2.排列组合3.二项式定理以上考查要求均为理解.【考向分析】计数原理与二项式定理均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.【高考预测】组合式的证明是考查的一个方向【迎考策略】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.3. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是p qma b ，其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组． 即将()na b +展开共2n项，合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为pn C (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =L )()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈L L 这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nax b +、()2nax bx c++ (,,a b c R ∈)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()nax by + (,a b R ∈)的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若()2012nn f x a a x a x a x =++++L ，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ，奇数项系数之和为()()024112f f a a +-+++=L ，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++=L ，令0x =，可得()00a f =．6. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +L ，且第k 项系数最大，应用11k k kk A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来，即得．7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠)，商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．8.组合数的性质不仅有课本上介绍的111C C C m m m k k k ++++=、C =C m k m k k-，更有11C C k k n n k n --=，现在又有11(1)C (1)C ,,1,,m m k k k m k m m n +++=+=+L ，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.【强化演练】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x +的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】162 5【解析】由题意，9(2)x +的通项为919C (2)(0,1,29)rr r r T x r -+==L ，当0r =时，可得常数项为0919C (2)162T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：162，5． 3．已知函数．（1）当时，若，求实数的值； （2）若，求证：．【答案】（1）。

专题九 数列部分一、近几年江苏高考1、（1）（2019年江苏卷）.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.（2）(2019江苏卷).定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2、（1）（2018江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________． （2）、（2018江苏卷）设是首项为，公差为d 的等差数列，是首项为，公比为q 的等比数列．（1）设，若对均成立，求d 的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．3、（1）（2017江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．（2）、（2017江苏卷）对于给定的正整数k，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．4、（1）（2016江苏卷） 已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，5S =10，则9a 的值是 ▲ .（2）（2016江苏卷）记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS=；若{}12,,k T t t t =…，，定义12kT t t t S a a a =+++L .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S +≥I .5、（1）（2015江苏卷）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为（2）（2015江苏卷） 设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.二、近几年高考试卷分析从江苏近几年高考命题可以看出，数列是江苏高考的核心考点,也是必考点、重点及难点,高考中通常以一道填空题和一道解答题的形式出现,填空题主要考查了数列的基本量，即求和、通项等问题；解答题主要是两种类型：一是数列与函数、不等式等综合性问题，二是新定义型问题，以新定义型为载体考查数列求和等性质或者与其他知识点结合。

专题04 算法初步【真题感悟】1、【2019年江苏，3】下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5【解析】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342xS S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=；执行第四次，5,442xS S x =+==≥成立，输出 5.S =2、【2018江苏，理4】一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．【答案】8 【解析】先判断6I<是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S=3、【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 4、【2016江苏，6】右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲.【答案】9【解析】第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==， 此时a b >，循环结束，输出的a 的值是9，故答案应填：95、【2015江苏高考，4】根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.（第4题）【答案】7【解析】第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =【考纲要求】1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．【考向分析】1. 流程图均是以填空题的形式进行考查，题目多为中低档题，着重考查学生运算求解能力及分析问题解决问题的能力.流程图常与数列、函数和不等式等知识点结合考查.2. 对于算法的复习，应重视以用流程图或伪代码表示算法，尤其是循环结构的题目.当然也要关注顺序结构、选择结构，要重点理清“循环体”和“判断条件”的先后所带来的循环次数的差异.流程图属于基础知识，考查的难度小，复习时应以基础题为主，加强对流程图的题目的训练.【高考预测】1程序框图中的条件分支结构及循环结构是高考对算法考查的主要内容，常与函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量计算等问题交汇命题；给出程序框图的全部或部分，读出其功能，执行该程序框图并求输出结果及补齐框图是高考热点. 2．考题形式为填空题．【迎考策略】循环结构的常考类型及解题思路(1)确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环功能：执行程序若干次，即可判断．【强化演练】1．【2019年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A ．5B ．8C ．24D ．29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．【解析】1,2S i ==；11,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，结束循环，输出8S =．故选B ．【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 2．【2019年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）1A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可． 【解析】初始：1s =，1k =，运行第一次，2212312s ⨯==⨯-，2k =，运行第二次，2222322s ⨯==⨯-，3k =，运行第三次，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出2s =，故选B ．【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．12A A =+ B ．12A A =+C ．112A A=+D ．112A A=+【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【解析】初始：1,122A k ==≤，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2； 执行第2次，22k =≤，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为12A A=+，故选A ．【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于（ ）A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果． 【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.012x s x ==+=<，不满足条件； 1101,0.0124s x =++=<，不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-，故选C ． 【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 5．根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为___________.【答案】9 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环.此时.故输出的S 值为9. 故答案为：9.6．如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________.【答案】7【解析】在执行循环前：k=1，S=1.执行第一次循环时：S=1，k=3.执行第二次循环时：S=3，k=5.执行第三次循环时：S=15，k=7.由于S>10，输出k=7.故答案为：7.7．执行如图所示的流程图，则输出的值为____．【答案】19.【解析】模拟程序的运行，可得k=2，s=0满足条件k＜10，执行循环体，s=2，k=3满足条件k＜10，执行循环体，s=5，k=5满足条件k＜10，执行循环体，s=10，k=9满足条件k＜10，执行循环体，s=19，k=17此时，不满足条件k＜10，退出循环，输出s的值为19．故答案为：19．8．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是______．【答案】4【解析】计算如下：n=1，s=0，否，s=，n=2，否，s=+，n=3，否，s=++1，n=4，是，故输出n=4，所以答案为49．运行如图所示的算法流程图，输出的的值为__________．【答案】9.【解析】依次运行程序框图中的程序，可得①，不满足条件，继续运行；②，不满足条件，继续运行；③，不满足条件，继续运行；④，满足条件，输出9．10．根据如图所示的伪代码，可知输出的值为_________．【答案】【解析】模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：711．下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．【答案】.【解析】由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：12．执行如图所示程序框图，输出的为__________．【答案】【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，第五次循环，第六次循环，，此时不满足条件，输出13．执行如图所示的程序框图，输出的S值为____.【答案】4 5【解析】执行程序框图，可得i=1，S=0 S=112⨯，i=2 不满足条件i ≥5，S=112⨯+123⨯，i=3 不满足条件i ≥5，S=112⨯+123⨯+134⨯，i=4 不满足条件i ≥5，S=112⨯+123⨯+134⨯+145⨯=1﹣15=45，i=5 满足条件i ≥5，退出循环，输出S 的值为45． 故答案为： 45． 14．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为_______．【答案】125【解析】1S =， 14i =<155S =⨯=， 1124i =+=<5525S =⨯=， 2134i =+=<255125S =⨯=， 314i =+=，结束循环则输出的125S =。

专题02 复数【真题感悟】1、【2019江苏,2】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =.2、【2018江苏，理2】若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 【答案】2【解析】因为i 12i z ⋅=+，则12i2i iz +==-，则z 的实部为2. 3. 【2017江苏，2】已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 .【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++== 4. 【2016江苏，2】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 . 【答案】5【解析】(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：55. 【2015江苏，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考纲要求】1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． 3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．【考向分析】1、考查复数运算，如乘法、除法.2、考查复数概念，如实部、模、相等.复数知识均是以填空题的形式并且一般在前三题的位置上进行考查，涉及复数的基本概念，着重考查学生基本运算求解能力.复数知识一般不与其它章节知识结合考查，常单独设置题目，难度较低.【高考预测】1、考查复数运算与概念.2、题型为填空题，难度为容易题.【迎考策略】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，设，则，.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi【强化演练】1．【2019年高考北京卷理数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．5【答案】D【解析】由题2i z =+，则(2i)(2i)5z z ⋅=+-=，故选D ．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案为C ． 【答案】C【解析】由题可得i,i (1)i,z x y z x y =+-=+-i 1,z -==则22(1)1x y +-=．故选C ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由32i,z =-+得32i,z =--则32i z =--对应的点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】D 【解析】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 5．【2019年高考天津卷理数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________． 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-． 6．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________． 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【答案】2【解析】由题可得1|||1i |2z ===+． 7．复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是_____．【答案】1−i 【解析】，∴共轭复数为.8．设，则_____．【答案】【解析】因为，所以. 9．已知复数满足，则_____．【答案】【解析】，，，10．_____．【答案】【解析】.11．____．【答案】【解析】.12．若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________．【答案】-1【解析】因为，则，则的虚部为-1.13．已知，是虚数单位，若，，则为____.【答案】或【解析】由题得，故.14．在如图所示的复平面内，复数对应的点为______.【答案】D【解析】∵=，∴z在复平面内对应点的坐标为（3，﹣2），观察图象，对应点为点D．。

§7.7　数学归纳法考情考向分析　高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示　n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3. 2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示　不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．(　×　)(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)(4)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.(　√　)题组二　教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证_____．121312n －1答案　1＋＋<21213解析　∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝.122－1133．[P103T13]在数列{a n }中，a 1＝，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式13为________．答案　a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析　当n ＝2时，＋a 2＝2×3×a 2，13∴a 2＝；13×5当n ＝3时，＋＋a 3＝3×5×a 3，13115∴a 3＝；15×7当n ＝4时，＋＋＋a 4＝4×7×a 4，13115135∴a 4＝；17×9故猜想a n ＝.1(2n －1)(2n ＋1)4．[P105T13]已知a 1＝，a n ＋1＝，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________．由此猜想a n ＝123a na n ＋3________.答案　，，，　3738133103n ＋5解析　a 2＝＝＝＝，3a 1a 1＋33×1212＋33732＋5同理a 3＝＝＝，a 4＝＝，a 5＝＝，3a 2a 2＋33833＋53934＋531035＋5又a 1＝＝，符合以上规律．31＋512故猜想a n ＝.3n ＋5题组三　易错自纠5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左1－a n ＋21－a边的项是________．答案　1＋a ＋a 2解析　当n ＝1时，n ＋1＝2，∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________．答案　2k解析　运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N *)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．题型一　用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n ∈N *)．12×414×616×812n (2n ＋2)n4(n ＋1)证明　①当n ＝1时，左边＝＝，右边＝＝，12×1×(2×1＋2)1814×(1＋1)18左边＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，12×414×616×812k (2k ＋2)k 4(k ＋1)则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋＋12×414×616×812k (2k ＋2)12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝＋＝k4(k ＋1)14(k ＋1)(k ＋2)k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝＝＝.(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)k ＋14(k ＋2)k ＋14(k ＋1＋1)所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n ∈N *)．12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n 证明　①当n ＝1时，等式左边＝1－＝＝右边，等式成立．1212②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，12131412k －112k 1k ＋11k ＋212k 那么，当n ＝k ＋1时，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋12131412k －112k 12k ＋112k ＋21k ＋11k ＋212k－＝＋＋…＋＋，12k ＋112k ＋21k ＋21k ＋312k ＋112k ＋2所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N *均成立．思维升华 用数学归纳法证明等式时应注意：(1)明确初始值n 0的取值；(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标；(3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二　证明不等式例1 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))(n ∈N *)的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.证明　①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝，因此2≤x 1<x 2<3，114即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为y －5＝·(x －4)．f (x k ＋1)－5x k ＋1－4又f (x k ＋1)＝x －2x k ＋1－3，2k ＋1代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝＝4－，3＋4x k ＋12＋x k ＋152＋x k ＋1由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－<4－＝3；52＋x k ＋152＋3x k ＋2－x k ＋1＝>0，(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1即x k ＋1<x k ＋2，所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋>1(n ∈N *且n >1)．1n 1n ＋11n ＋21n 2证明　①当n ＝2时，＋＋＝>1成立．1213141312②设n ＝k (k ∈N *，k >1)时，＋＋＋…＋>1成立．1k 1k ＋11k ＋21k 2由于当k >1时，k 2－k －1>0，即k (2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋1k ＋11k ＋21k ＋31(k ＋1)2＝＋＋＋…＋－(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)1k 2＋11k 2＋21k 2＋2k ＋11k>1＋＋＋…＋－1k 2＋11k 2＋21k 2＋2k ＋11k >1＋＋＋…＋－1k (2k ＋1)1k (2k ＋1)1k (2k ＋1)1k ＝1＋－＝1.2k ＋1k (2k ＋1)1k 综合①②可知，原不等式对n ∈N *且n >1恒成立．题型三　数学归纳法的综合应用命题点1　整除问题例2 (2018·苏北四市期中)设n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2.(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)求证：对任意的正整数n ，f (n )是8的倍数．(1)解　∵n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2，∴f (1)＝3＋7－2＝8，f (2)＝32＋72－2＝56，f (3)＝33＋73－2＝368.(2)证明　用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即f (k )＝3k ＋7k －2能被8整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3×3k ＋7×7k －2＝3(3k ＋7k －2)＋4×7k ＋4＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)，∵3k ＋7k －2能被8整除，7k ＋1是偶数，∴3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)一定能被8整除，即n ＝k ＋1时也成立．由①②得对任意正整数n ，f (n )是8的倍数．命题点2　和二项式系数有关的问题例3 (2018·江苏扬州中学期中)已知F n (x )＝(－1)k·C f k(x )](n ∈N *)．n∑k ＝0[k n (1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值；(2)若f k (x )＝(x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝.x x ＋k n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )(1)解　F n (x )＝(－1)k C f k(x )]＝(－x )k C ]n∑k ＝0[k n n∑k ＝0[kn ＝C (－x )k·1n －k ]＝(1－x )n ，n∑k ＝0[kn ∴F 2 015(2)＝－1.(2)证明　①当n ＝1时，左边＝1－＝＝右边．x x ＋11x ＋1②设n ＝m (m ∈N *)时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有＝，m∑k ＝0[(－1)k C kmxx ＋k ]m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))，有m ＋1∑k ＝0[(－1)k C k m ＋1x x ＋k]＝1＋＋(－1)m ＋1m∑k ＝1[(－1)k (C k m＋C k －1m )x x ＋k ]x x ＋m ＋1＝＋m∑k ＝0[(－1)k C k m x x ＋k ]m ＋1∑k ＝1[(－1)k C k －1m x x ＋k ]＝－·m∑k ＝0[(－1)k C k mx x ＋k ]m∑k ＝0[(－1)k C k m x ＋1x ＋1＋k ]x x ＋1＝－·m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )m ！(x ＋2)(x ＋3)…(x ＋1＋m )xx ＋1＝m ！[(x ＋m ＋1)－x ](x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )(x ＋m ＋1)＝，(m ＋1)！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m ＋1)即n ＝m ＋1时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数x (x ≠0，－1，…，－n )，有＝.n∑k ＝0[(－1)k C knxx ＋k ]n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )命题点3　和数列集合等有关的交汇问题例4　设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)分别求，，，的值；T 3S 3T 4S 4T 5S 5T 6S6(2)猜想关于n 的表达式，并加以证明．T nSn 解　(1)当n ＝3时，M ＝{1,2,3}，S 3＝1，T 3＝2，＝2；T 3S3当n ＝4时，M ＝{1,2,3,4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，＝，＝3，＝.T 4S 452T 5S 5T 6S 672(2)猜想＝.T n S n n ＋12下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即＝，T k S k k ＋12而S k ＝C ，所以T k＝C .3k k ＋123k 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C ，3k ＋1而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1)＝C ＋2(C ＋C ＋C ＋…＋C )k ＋123k 223242k ＝C ＋2(C ＋C ＋C ＋…＋C )k ＋123k 323242k ＝C ＋2C ＝C ＝S k ＋1，k －223k ＋13k ＋1k ＋223k ＋1(k ＋1)＋12即＝.T k ＋1S k ＋1(k ＋1)＋12所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．思维升华 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．跟踪训练2 (1)求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．证明　①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时也成立，由①②可知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．(2)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝·a n ·(4－a n )，n ∈N .12①求a 1，a 2；②证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N .①解　a 0＝1，a 1＝a 0·(4－a 0)＝，1232a 2＝·a 1(4－a 1)＝.12158②证明　用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝，32∴a 0<a 1<2，命题成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时有a k －1<a k <2.则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝a k －1(4－a k －1)－a k (4－a k )1212＝2(a k －1－a k )－(a k －1－a k )(a k －1＋a k )12＝(a k －1－a k )·(4－a k －1－a k )．12而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，∴a k －a k ＋1<0，即a k <a k ＋1.又a k ＋1＝a k (4－a k )＝[4－(a k －2)2]<2.1212∴n ＝k ＋1时命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，对一切n ∈N 都有a n <a n ＋1<2.1．(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1＋a n1＋a n (n ∈N *)．用数学归纳法证明：a n <a n ＋1(n ∈N *)．证明　(1)当n ＝1时，a 2＝1＋＝，a 1<a 2，a 11＋a 132所以当n ＝1时，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2－a k ＋1＝1＋－a k ＋1a k ＋11＋a k ＋1＝1＋－a k ＋11＋a k ＋1(1＋a k1＋a k)＝－＝>0，11＋a k 11＋a k ＋1a k ＋1－a k(1＋a k )(1＋a k ＋1)所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n <a n ＋1(n ∈N *)成立．2．用数学归纳法证明a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)．证明　①当n ＝1时，左边＝a 2＋(a ＋1)1＝a 2＋a ＋1，可被a 2＋a ＋1整除；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋1＋(a ＋1)2(k ＋1)－1＝a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a ·a k ＋1＋a (a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，又(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，所以a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对一切n ∈N *命题都成立．3．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝－1且－a n ＋1＝21an ＋1＋a n ，n ∈N *.1an (1)分别计算出a 2，a 3，a 4的值，然后猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解　令n ＝1，得－a 2＝＋a 1＝2，1a 21a 12化简得(a 2＋)2＝3，2解得a 2＝－或a 2＝－－.3232∵a 2>0，∴a 2＝－.32令n ＝2，得－a 3＝＋a 2＝2，1a 31a 23化简得(a 3＋)2＝4，3解得a 3＝2－或a 3＝－2－.33∵a 3>0，∴a 3＝2－.3令n ＝3，得－a 4＝＋a 3＝4，1a 41a 3化简得(a 4＋2)2＝5，解得a 4＝－2或a 4＝－－2.55∵a 4>0，∴a 4＝－2.5猜想a n ＝－.(*)n ＋1n (2)证明　①当n ＝1时，a 1＝－1＝－，(*)式成立；221②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)式成立，即a k ＝－，k ＋1k 那么当n ＝k ＋1时，－a k ＋1＝＋a k ＝＋＋－＝2.1a k ＋11ak k ＋1k k ＋1k k ＋1k＋1化简得(a k＋1＋)2＝k＋2，k＋2k＋1∵a k＋1>0，∴a k＋1＝－，∴当n＝k＋1时，(*)式也成立．n＋1n综上，由①②得当n∈N*时，a n＝－.a2n－2a n＋24．设a1＝1，a n＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．2解　(1)方法一　a2＝2，a3＝＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝1.从而{(a n－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，n－1故(a n－1)2＝n－1，即a n＝＋1(n∈N*)．2方法二　a2＝2，a3＝＋1.1－12－13－1可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.n－1因此猜想a n＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时，结论显然成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，k－1即a k＝＋1，则a k＋1＝＋1＝＋1(a k－1)2＋1(k－1)＋1＝＋1.(k＋1)－1所以当n＝k＋1时结论成立．所以a n ＝＋1(n ∈N *)．n －1(2)方法一　设f (x )＝－1，(x －1)2＋1则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝－1，解得c ＝.(c －1)2＋114下面用数学归纳法证明加强命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝－1，2所以a 2<<a 3<1，结论成立．14假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1.因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.即当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝.14方法二　设f (x )＝－1，(x －1)2＋1则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．①当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝－1<1，即0≤a k ＋1<1.2即当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (a 1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝－1，2有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1.由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n < －1，a 22n －2a 2n ＋2即(a 2n ＋1)2<a －2a 2n ＋2，因此a 2n <.③22n 14又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>－1.a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2解得a 2n ＋1>.④14综上，由②③④知存在c ＝使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．145．已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设f n(x)为f n－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出f n(x)的表达式，并用数学归纳法证明．解　(1)因为f n(x)为f n－1(x)的导数，所以f1(x)＝f0′(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.(2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为(x＋π2)(x＋π2)f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)·cos，(x＋2π2)(x＋2π2)f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)·cos，(x＋3π2)(x＋3π2)f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)·cos，(x＋nπ2)(x＋nπ2)猜测f n(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)·cos.(*)下面用数学归纳法证明上述等式．①当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；②假设当n＝k时，等式(*)成立，(x＋kπ2)(x＋kπ2)即f k(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.则当n＝k＋1时，f k＋1(x)＝f k′(x)＝sin ＋(x ＋k )cos ＋cos ＋(x －k )(x ＋k π2)(x ＋k π2)(x ＋k π2)[－sin (x＋k π2)]＝(x ＋k ＋1)cos ＋[x －(k ＋1)]·(x ＋k π2)[－sin (x ＋k π2)]＝[x ＋(k ＋1)]sin ＋[x －(k ＋1)]·(x ＋k ＋12π)cos ，(x ＋k ＋12π)即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ＋(x －n )cos 成立．(x ＋n π2)(x ＋n π2)6．已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＋1＝2a n －3a .142n (1)求证：对任意的n ∈N *，都有0<a n <；13(2)求证：＋＋…＋≥4n ＋1－4.31－3a 131－3a 231－3an 证明　(1)①当n ＝1时，a 1＝，有0<a 1<，1413所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <.13则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k －3a 2k ＝－3＝－32＋，(a 2k －23a k )(a k －13)13于是－a k ＋1＝32.13(13－a k )因为0<a k <，所以0<32<，13(13－a k )13即0<－a k ＋1<，可得0<a k ＋1<，131313所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <.13(2)由(1)可得－a n ＋1＝32，13(13－a n )两边同时取以3为底的对数，可得log 3＝1＋2log 3，(13－a n ＋1)(13－a n )化简为1＋log 3＝2，(13－a n ＋1)[1＋log 3(13－a n )]所以数列是以log 3为首项，2为公比的等比数列，{1＋log 3(13－a n )}14所以1＋log 3＝2n －1log 3，(13－a n )14化简求得－a n ＝·2n －1，1313(14)所以＝3·.113－a n 124n 因为当n ≥2时，2n －1＝C ＋C ＋C ＋…＋C ≥1＋n －1＝n ，0n －11n －12n －1n －1当n ＝1时，2n －1＝1，所以当n ∈N *时，2n －1≥n ，所以≥3·4n ，113－a n ＋＋…＋≥3(41＋42＋…＋4n )＝4n ＋1－4，113－a 1113－a 2113－a n 所以＋＋…＋≥4n ＋1－4.31－3a 131－3a 231－3an。

高考数学命题热点全覆盖： 专题09 导数与不等式的解题技巧一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二．题型分析（一）函数单调性与不等式例1．【2019一轮复习】已知函数f(x)＝x 3＋sin x ，x ∈(－1，1)，则满足f(a 2－1)＋f(a －1)>0的a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(1，)C ．(1，2)D ．(0，)【答案】B【分析】在区间（﹣1，1）上，由f（﹣x）＝﹣f（x），且f′（x）＞0可知函数f（x）是奇函数且单调递增，由此可求出a的取值范围．【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．练习1．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.【解析】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，则，即，即，即，又，即，即，故错误的是D．故选：D．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.（二）函数最值与不等式例2．【福建省福州市2018-2019学年高三第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.（四）不等式中存在任意问题例4．【安徽省皖南八校2019届高三第二次（12月)联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.【详解】对于，，使得,等价于，因为是增函数，由复合函数增减性可知在上是增函数，所以当时，，令，则，若时，，，所以只需，解得.若时，，，所以只需，解得.当时，成立.综上，故选D.练习1.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.练习2．函数，，若对，，，则实数的最小值是_________．【答案】14【解析】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数f（x），g（x）的最值，将问题转为求f（x）min≥g （x）min即可．【详解】，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需f（x）min≥g（x）min即，故答案为：14.练习3．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是________．【答案】【解析】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；【详解】的定义域为，，当时，，，为增函数，所以；若存在，使得对任意的，恒成立，即，，当时，为减函数，，∴，，∴故答案为：.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。

专题20 计数原理与二项式定理【真题感悟】1、【2019年江苏，22】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32. 【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．2、【2018江苏，理23】设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．【答案】（1）34(2)2,(2)5f f ==（2）222n n --【解析】解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．3. 【2017江苏，23】已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+.（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为：11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.4. 【2016江苏，23】（1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证： （m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C mm ++n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .【答案】（1）0（2）详见解析 【解析】解：（1）3467654765474740.321C C 4321⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(1)(1)]C !C m m k k k k k k m m k m m n m k m m k m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112C C C ,m m m k k k +++++++=所以2221C C C (1)(1)(),1,+2,.m m m k k k k m k m m n +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(1)(1)[(2)(3)(1)](1)(1)[()(C C C C C C C C CCCC C)(CCC )](1).m m m m m m m nm m m m m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m m m n m m m n m m m ++++++++++++++++++++++++++++=++++++++=+++-+-++-=+5. 【2012江苏，23】设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①AP n ；②若x ∈A ，则2x A ；③若x ∈P n A ，则2xP n A ．(1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．【答案】(1)4．(2) 2122,()2,.nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数，为奇数 【解析】解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4.(2)任取偶数x ∈Pn ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m·2k ，其中m 为奇数，k ∈N*. 由条件知，若m ∈A ，则x ∈Ak 为偶数；若m A ，则x ∈Ak 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Qn 是Pn 中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn 的子集个数． 当n 为偶数(或奇数)时，Pn 中奇数的个数是2n (或12n +)． 所以2122,()2,.nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数，为奇数.【考纲要求】1.加法原理与乘法原理2.排列组合3.二项式定理以上考查要求均为理解.【考向分析】计数原理与二项式定理均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.【高考预测】组合式的证明是考查的一个方向【迎考策略】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.3. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是p qma b ，其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组． 即将()na b +展开共2n项，合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为pn C (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =)()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nax b +、()2nax bx c++ (,,a b c R ∈)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()nax by + (,a b R ∈)的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若()2012n n f x a a x a x a x =++++，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ，奇数项系数之和为()()024112f f a a +-+++=，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++=，令0x =，可得()00a f =．6. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +，且第k 项系数最大，应用11k k kk A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来，即得．7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可． (2)求余数问题时，应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠)，商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．8.组合数的性质不仅有课本上介绍的111C C C m m m k k k ++++=、C =C m k m k k-，更有11C C k k n n k n --=，现在又有11(1)C (1)C ,,1,,m m k k k m k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.【强化演练】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：5． 3．已知函数．（1）当时，若，求实数的值； （2）若，求证：．【答案】（1）。