初中数学整式的乘除与因式分解综合复习讲义-完整全面版

整式乘法与因式分解辅导讲义(word完整版)知识框架，整理后的文章如下：整式乘法与因式分解知识点一：“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：1.多重负号的化简，例如：-[-(-3)]= -3；-[(+3)]= 3.2.有理数乘法，例如：(-3)×(-2)×(-6)= -36，而(-3)×(-2)×(+6)= 36.3.有理数乘方，例如：(-3)²= 9，(-3)³= -27.特别地：当n为奇数时，(-a)ⁿ= -aⁿ；而当n为偶数时，(-a)ⁿ= aⁿ。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的次幂都是“1”。

知识点二：幂运算同底数的幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

用式子表示为：aⁿ×aᵐ= aⁿ⁺ᵐ（m,n都是正整数）。

例1：(x-y)×(y-x)×(x-y)= (x-12y)变式一】已知：x+2y-4= 33，求：33的值。

变式二】计算：(-2)³×(-2)²。

幂的乘方：幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用式子表示为：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ（m,n都是正整数）。

例2：a²⁰⁰⁸+(-2)²⁰⁰⁹= a²⁰⁰⁸+(-2)×2⁰⁰⁹。

积的乘方：积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

用式子表示为：(ab)ⁿ= aⁿbⁿ（n是正整数）。

例3：-2ab²³×(-y)³⁵= 2y³⁵a²b²³。

知识点三：乘法公式完全平方差公式：(a+b)(a-b)= a²-b²。

依据以上知识点，我们可以更好地理解和运用整式乘法和因式分解。

可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。

2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。

(2)(x2+4x+8)+3x(x整式乘法与因式分解综合主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：因式分解：ab+a+b+1x4+80x2-81(x2-x)2+(x2-x)-6考点：分组分解换元题二：先化简，再求值：(x+2)2+(x+3)(x-3)-2x2，其中x=2．考点：化简求值金题精讲题一：已知x2+xy=12，xy+y2=15，求代数式(x+y)2-2y(x+y)的值．考点：化简求值题二：因式分解：(1)ax-by-bx+ay；(2)5x y+9-3x-15y；(3)a2-9b2+2a-6b；(4)a2-ab-c2+bc．考点：分组分解题三：因式分解(1)x6+14x3y+49y2；22+4x+8)+2x2；(3)(x+1)(x+6)(x+3)(x+4)+8．考点：换元法分解题四：已知a+b=4，ab=1，试求下列各式的值：(1)a2+b2；(2)a3+b3；(3)a5+b5．考点：整式乘法综合思维拓展题一：已知M=62013+72015，N=62015+72013，那么M，N的大小关系是() A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定考点：比大小因式分解整式乘法与因式分解综合讲义参考答案重难点易错点辨析题一：(a+1)(b+1)；(x+1)(x-1)(x2+81)；(x-2)(x+1)(x2-x+3)．题二：3．金题精讲题一：-3．题二：(1)(a-b)(x+y)；(2)(5y-3)(x-3)；(3)(a+3b+2)(a-3b)；(4)(a+c-b)(a-c)．题三：(1)(x3+7y)2；(2)(x+2)(x+4)(x2+5x+8)；(3)(x+2)(x+5)(x2+7x+8)．题四：(1)14；(2)52；(3)724．思维拓展题一：A．。

整式乘除与因式分解综合讲义(很实用)整式的乘除与因式分解专题综合讲义一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的升幂排列：3223221y y x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y5、同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=g （n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()a b a b a b ++=+g6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4==7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。

初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。

2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。

3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。

4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。

二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。

2.用辗转相除法进行整式的除法计算。

三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。

2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。

3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。

4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。

5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。

根据这一定理可以找到多项式的因式。

四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。

4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。

整式的乘除与因式分解知识点一、整式乘除法同底数幂相乘;底数不变;指数相加. a m·a n=a m+n m;n都是正整数同底数幂相除;底数不变;指数相减. a m÷a n=a m-n a≠0;m;n都是正整数;且m>n任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1a≠0; 00无意义a mn表示n个a m相乘;a 的m n幂表示m幂的乘方;底数不变;指数相乘. a mn=a mn m;n都是正整数积的乘方;等于把积的每一个因式分别乘方;再把所得幂相乘.ab n=a n b n n为正整数注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘;把它们的系数;相同字母分别相乘;对于只在一个单项式里含有的字母;则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=a·b·c5·c2=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方;后乘除;最后加减单项式相除;把系数与同底数幂分别相除作为商的因式;只在被除式里含有的字母;则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘;就是用单项式去乘多项式的每一项;再把所得的积相加;ma+b+c=ma+mb+mc注：不重不漏;按照顺序;注意常数项、负号 .本质是乘法分配律..多项式除以单项式;先把这个多项式的每一项除以这个单项式;再把所得的商相加.多项式与多项式相乘;先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项;再把所得的积相乘a+bm+n=am+an+bm+bn乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积;等于这两个数的平方差.a+ba-b=a2-b2完全平方公式:两数和或差的平方;等于它们的平方和;加或减它们积的2倍.a±b2=a2±2ab+b2因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式;也叫做把这个多项式分解因式.因式分解方法:1、提公因式法.关键:找出公因式公因式三部分：①系数数字一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意;提取完公因式后;另一个因式的项数与原多项式的项数一致;这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式;即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的;一般要提出“－”号;使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法.①a2-b2=a+ba-b两个数的平方差;等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=a±b2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍;等于这两个数的和或差的平方.③x3-y3=x-yx2+xy+y2立方差公式3、十字相乘x+px+q=x2+p+qx+pq因式分解三要素：1分解对象是多项式;分解结果必须是积的形式;且积的因式必须是整式2因式分解必须是恒等变形；3因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形;因式分解是把和差化为积的形式;而整式乘法是把积化为和差添括号法则：如括号前面是正号;括到括号里的各项都不变号;如括号前是负号各项都得改符号..用去括号法则验证。

整式乘除与因式分解一．知识点1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )34．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ）2 5．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是 3．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 4．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 311．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加．练习：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。