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高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。
根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。
奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。
2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。
3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。
二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。
如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。
2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。
3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。
4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。
三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。
通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。
我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。
高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。
因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。
第8讲函数的奇偶性1.设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且，则这个函数叫做奇函数。
设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且，则这个函数叫做偶函数。
如果函数f(x)为奇函数或偶函数，那么，就说函数f(x)具有。
2.函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于对称。
换而言之，所给函数的定义域若不关于对称，则这个函数必不具有奇偶性。
3.如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是。
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是。
例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=1x x 11-x x 122+++++；（2）f （x ）=1x |x |2+。
例2 函数f （x ），x ∈R ，若对于任意实数a ，b 都有f （a+b ）=f （a ）+f （b ），求证：f （x ）为奇函数。
例3 函数f （x ），x ∈R ，若对于任意实数1x ，2x ，都有f （1x +2x ）+f （1x -2x ）=2f （1x ）f （2x ），求证：f （x ）为偶函数。
例4 已知y=f （x ）是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）=0的所有实根之和是（ ）A.4B.2C.1D.0例5 已知y=f （x ）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f （x ）﹤0，试问F （x ）=）（x f 1在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论。
例6 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=2-x +x -2；（2）f （x ）=|x+b|-|x-b|A1.奇函数y=f （x ）（x ∈R ）的图象必过点（ ）A.（a ，f （-a ））B.（-a ，f （a ））C.（-a ，-f （a ））D.（a ，f （a 1）） 2.下面四个结论，其中正确命题的个数是（ ）（1）偶函数的图象一定与y 轴相交；（2）奇函数的图象一定通过原点；（3）偶函数的图象关于y 轴对称；（4）既是奇函数又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.43.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，x ≥0时，f （x ）=2x -2x ，则在R 上f （x ）的表达式是（ ）A.y=x （x-2）B.y=x （|x|-2）C.y=|x|（x-2）D.y=|x|（|x|-2）4.若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意1x 、2x ∈R 有f （1x +2x ）=f （1x ）+f （2x ）+1，则下列说法一定正确的是（ ）A.f （x ）为奇函数B.f （x ）为偶函数C.f （x ）+1为奇函数D.f （x ）+1为偶函数5.若函数y=（x+1）（x-a ）为偶函数，则a=（ ）A.-2B.-1C.1D.26.设f （x ）是连续的偶函数，且当x ﹥0时，f （x ）是单调函数，则满足f （x ）=f （4x 3x ++）的所有x 之和为（ ）A.-3B.3C.-8D.8B1.设函数f （x ）=xa x 1x ））（（++为奇函数，则a= 2.在R 上定义的函数f （x ）是偶函数，且f （x ）=f （2-x ），若f （x ）在区间[1，2]上是减函数，则f （x ）（ ）A.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B.在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D.在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数3.已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f （2x-1）﹤f （31）的x 取值范围是（ ）A.（31，32）B.[31，32）C.（21，32）D.[21，32） 4.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=-f （x ），则f （6）的值为（ ）A.-1B.0C.16D.25.函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+1）与f （x-1）都是奇函数，则（ ）A.f （x ）是偶函数B.f （x ）是奇函数C.f （x ）=f （x+2）D.f （x+3）是奇函数6.判断函数f （x ）=）（）（0x x x 0x x x -22{<+>+的奇偶性。
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性 【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴ ),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴ )0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲义考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性考点知识归类梳理1．函数的单调性(1) 单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．典例剖析题型一函数单调性的判断例1下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)①y＝x＋1 ②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)答案①解析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.变式训练下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________. (填序号)① f (x )＝x 12 ② f (x )＝x 3 ③ f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ④ f (x )＝3x答案 ④解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，①不满足题意．f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，②不满足题意．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 不是增函数，③不满足题意． f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，④满足题意．解题要点 确定函数单调性的常用方法：(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．题型二 函数单调性的应用例2 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________.答案 －14≤a ≤0解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综合上述得－14≤a ≤0. 变式训练 函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 6解析 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．题型三求函数的单调区间(x2－4x＋3)的单调区间．例3求函数y＝log13u与u＝x2－4x＋3的解析令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log13复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．∴函数y＝log13又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．u在(0，＋∞)上是减函数，而函数y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为∴y＝log13(－∞，1)．解题要点 1.求单调区间的常用方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．题型四 判断函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x ；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x； (3) f (x )＝3－x 2＋x 2－3.解析 (1) 定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x )＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x 1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．题型五函数的周期性例5已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.答案 2.5解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x＋2＝－1－1f x＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题要点关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a.题型六函数性质的综合运用例6 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23解析 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，进而转化为不等式|2x －1|<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.当堂练习1. 函数f (x )＝x 3－x 的图象关于________对称.答案 原点解析 由f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－f (x )，知f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．答案 0解析∵ f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T＝4，∴f(8)＝f(0)＝0.3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．答案 1解析因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(x2－4)的单调递增区间是________．4．函数f(x)＝log12答案(－∞，－2)解析 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．5．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，1)解析 由条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.课后作业一、 填空题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)①y ＝x ＋1 ②y ＝－x 2 ③ y ＝1x ④ y ＝x |x |答案 ④2．函数y ＝1－1x －1________．(填序号)①在(－1，＋∞)上单调递增 ②在(－1，＋∞)上单调递减③在(1，＋∞)上单调递增 ④在(1，＋∞)上单调递减答案 ③3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)①y ＝1－x2②y ＝x 2＋x ③y ＝－－x ④y ＝xx －1答案 ④4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0”的是________．(填序号)①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)答案 ①解析 满足f x 2－f x 1x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选①.5．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．答案 3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，又g (x )为偶函数，∴g (－1)＝g (1)，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，将两式相加得2g (1)＝6，∴g (1)＝3.6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号)①y ＝x 3 ②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |答案 ②7．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32解析 由题意得－2a －12≥2，得a ≤－32.8．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．答案 f (－1)＜f (3)解析 依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)＜f (1)＝f (3)．9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．答案 [2,4]10．设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝________.答案 －1解析 由题知，f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.11．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．二、解答题12．证明函数g (x )＝－2x x －1在(1，＋∞)上单调递增．证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2x 1－x 2x 1－1x 2－1，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)．故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．13．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．。
函数的单调性1.增函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D ⊆ I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
2.减函数一般地，设函数f (x)的定义域为I，区间D⊆I；如果∀x1，x2∈D，当x1<x2，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
特别的，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
3.函数单调性性质增函数+增函数=增函数增函数-减函数=增函数减函数+减函数=减函数减函数-增函数=减函数注：当一个函数有多个单调区间时，不能用∪符号，应该用“和”或“，”连接。
函数的奇偶性判断奇偶性前提：“定义域关于原点对称”偶函数奇函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有x∈I，且f (-x) = -f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数。
定义域关于原点对称图象特征关于y轴轴对称函数奇偶性判断方法：1.判断定义域是否关于原点对称2.已知)(xf，计算)(xf-、)(xf-3.判断)(xf与)(xf-是否相等、)(xf与)(xf-是否相等4.若)()(xfxf-=，则)(xf为偶函数若)()(xfxf-=-，则)(xf为奇函数若)()(xfxf-≠，)()(xfxf-≠-，则)(xf为非奇非偶函数若)()(xfxf-=，)()(xfxf-=-，则)(xf为即奇又偶函数函数奇偶性性质奇函数性质：)()(x f x f -=-，)()(x f x f --=，若定义域内包括0，则0)0(=f ，奇函数图像关于原点对称。
奇函数在定义域内单调性相同。
