最大流问题的标号

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Procedure insert(u,v,c:integer); Var x:link; Begin x:=d[u]; While (x<>nil) and(x^.k<>v) do x:=x^.next; If x<>nil then x^.c:=c Else begin new(x); x^.k:=v; x^.c:=c; x^.f:=0; x^.next:=d[u]; d[u]:=x; new(x^.g); x^.g^.k:=u; x^.g^.c:=0; x^.g^.f:=0; x^.g^.g:=x; x^.g^.next:=d[v]; d[v]:=x^.g; end;
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If path[t].p<>0 then Begin u:=t; a:=path[u].d; repeat path[u].w^.f:=path[u].w^.f+a; path[u].w^.g^.f:=-path[u].w^.f; u:=path[u].p; until u=s; End Until path[t].p=0; End;
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4、输出最大流的流量 Procedure answer; Var I,tot:integer; x:link; Begin tot:=0; for i:=1 to n do begin x:=d[i]; while x<>nil do begin if x^.f>0 then 输出弧(i,x^.k)及其流量x^.f； if (i=s) and (x^.f>0) then tot:=tot+x^.f; x:=x^.next; end; end; 输出最大流量tot； End;
• 2、构造网络D的邻接表。 • 每读入一条弧（u,v）的两个端点u,v及其容量c后，则在 D[u]的邻接表中插入流量为0，容量为c的前向弧（u，v）； 在D[v]对应的邻接表中插入流量为0，容量为0的后向弧 （v,u）。这个过程可以用子过程insert(u,v,c)完成。 • 构造过程： • 读定点数n，源点序号s和汇点序号t； • For i:=1 to n do d[i]:=nil; • While D网未读完 do • begin • 读入当前弧的两个端点u,v及其容量c； • insert(u,v,c)； • end;
• （2）若在弧（vj,vi）上，fji>0,则给vj标号（-vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),fji}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。 • 在vi的全部相邻顶点都已标号后，vi成为标号而已检查过 的顶点。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条 从vs到vt的可改进路P，转入调整过程；若所有标号都已 检查过致使标号过程无法继续时，则算法结束。这时的可 行流即最大流。
f ij a (vi, vj) P f ij ' f ij a (vi, vj) P f ij (vi, vj) P
• 并去掉所有的标号，得到新的可行流F’={fij’},重新进入标号 过程，直至检查完所有标号为止。
2
()
s
(5,1)
(1,1)
(3,0) (1,1) (2,1) 1 (2,2) 3 t
弧旁的数字是（cij,fij）
二、标号法的算法流程
• 1、数据结构：采用邻接表D存储。 • Const maxn=xxx; • Type link=^dtype; • dtype=record • k:integer; {顶点序号} • f,c:integer; {流量，容量} • next,pre:link; {后向弧指针，前向弧 指针} • end; • Var d:array[1..maxn] of link;
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3、采用宽度优先搜索求最大流。 Procedure ford; Var u,a:integer; x:link; Begin repeat fillchar(path,sizeof(path),0); path[s].d:=maxint; path[s].p=s; cl:=0; op:=1; q[op]:=s; while (cl<op) and(path[t].p=0) do begin inc(cl); u:=q[cl]; x:=d[u]; while x<>nil do begin a:=x^.c-x^.f; if (path[x^.k].p=0) and (a>0) then begin inc(op); q[op]:=x^.k; path[x^.k].p:=u; path[x^.k].w:=x; if path[u].d<a then path[x^.k].d:=path[u].d else path[x^.k].d:=a; end; x:=x^.next; end; end;
2、调整过程
• 采用“倒向追踪”的方法，从vt开始，利用标号点的第一 个标号逐条弧地找出可改进路P，并以vt的第二个标号L(vt) 作为改进量a，改进P路上的流量。 • 例如设vt的第一个标号为vk（或-vk）,则弧(vk,vt)（或相应 的弧（vt,vk））是P上的弧。接下来检查vk的第一标号， 直到查到vs为止。这时被找出的弧就构成了可改进路P。令 a=L（vt）。调整改进P路上的流量：
• 可改进路的数据类型：将当前已标号点的可改进路存储在 数组path中，数据元素为可改进路上的结点，结点信息包 括标号（前驱结点指针p，当前可改进量d）和弧指针w: • Ptype=record • p,d:integer • w:link; • end;
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Var path:array[1..maxn] of ptype; 队列：采用宽度优先搜索的方法求最大流。 Var q:array[1..maxn] of integer; op,cl:integer; {队列指针}
最大流问题的标号法 Ford-Fulkerson增广路径算法
一、标号法的基本思路
• 从一个可行流出发（若网络中没有给定F， 则可以设F是零流），经过标号过程和调整 过程。
1、标号过程
• 在这个过程中，网络中的顶点或者是标号点（分为已检查 和未检查两种），或者是未标号点。每个标号点的标号包 含两个部分。第一个标号指明它的标号是从哪一个顶点得 到的（前驱指针），以便找出可改进路；第二个标号是为 确定可改进量a用的。 • 标号过程开始，总先给Vs标上（0，+∞），这时Vs是标号 而未检查的顶点，其余都是未标号点。一般地，取一个标 号而未检查的顶点Vi，对于一切未标号点Vj： • （1）若在弧（vi,vj）上，fij<cij,则给vj标号（vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),Cij-fij}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。