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例题最大流的标号法

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网络最大流问题-xfj

网络最大流问题-xfj

b.终点得到标号，反向追踪即可找到从起点到终点由标号 点及相应的弧连接而成的一条增广链。
(0, +∞)
s (5, 2)
(S+,3)
v1
(7, 5)
(v1-,5)
t
h
18
3．调整过程：
修改流量，其中流量调整量
， mjinj
指增广链上所有点的流量修正量； j
调整方法：
在增广链的正向弧上增加 ；
反向弧上减少 ；
是，则不加标记； 不是，则加标记为(vs+,j)，其中 j =csj-fsj；
✓对反向弧，检查其是否是零流弧？
是，则不加标记； 不是，则加标记为(vs-, j)，其中 j =fsj；
h
17
重复步骤二，但要注意把vs换成已得到标号的点；可能
出现两种结局：
a.标号过程中断，终点得不到标号。说明该网络中不存在 增广链，现行的可行流就是最大流；
h
13
定理8：
可行流f *是最大流，当且仅当 存不 在
关于f *的增广链。
➢思路：可行流f*是最大流<=>不存在关于f*的增广链.
[证] 必要性→ 用反证法。若 f* 是D中的最大流，假定存在关于f* 的增
广链u，令
。那么，由增广链的定义可
知 m ，现令m iu n (c i{ ijn fi* j)m ,u fii* j} n
令 vsV1*（ ; 起点属V 于 1*）点集 若 vi V1*,且 fi*j cij,则令 vj V1*(正向非饱和弧 都 的 属 起 V1于 *)终 若 vi V1*,且 fj*i 0,则令 vj V（ 1* 反向非零弧 都 的 属 起 V1于 *） 终
因D中不存在关于f*的增广链，故必有

最大流量问题（1）

最大流量问题（1）

最大流量问题（1）流量问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通网络中有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中现金流，等等。

最大流量问题，是一种组合最优化问题，就是要讨论如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大，以取得最好的效果。

求最大流量的标号算法最早由福特(Ford)和福克逊(Fulkerson)于1956年提出，他们建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成成分。

我们今天介绍最简单的最大流量问题：找出从单个源点到单个目标点之间可以通过的最大流量。

让我们用一张图片来解释。

在上图中，圆圈表示节点，节点之间有带箭头的有向边连接，箭头方向表示从某个节点有通路到底另一个节点。

而有向边的绿色数字，表示从节点到达下一个节点的最大流量。

例如0->1的有向边的数字16表示从节点0到节点1，最大允许的流量为16（可以把流量想象为高速公路的运输能力，或者自来水管的最大出水量）。

而节点1和节点2之间有两条有向边，一条从1->2, 标记有数字10，表示经过这条边，从1到2的最大流量是10；而另一条从2->1，标记有数字4，表示经过这条边，从2到1的最大流量是4。

而红色的0表示源点，红色的5表示目标点。

现在问题来了，从单个源点0到单个目标点5之间可以通过的最大流量是多少？你能回答这个问题吗？答案是23（请你想想为什么？）。

具体的分流的情况如下图所示，其中的粉色数字表示两点之间的实际流量，它必须不大于原来规定的最大流量。

朴素贪婪算法我们先尝试采用朴素的贪婪算法来解决最大流量问题。

从假设每条边的流量都是0开始，采用贪婪算法，逐步增加对应的流量。

也就是从源点s到目标点t的某个路径上逐步增加更多流量（当然必须满足每条边的流量不超过运行的最大流量）。

假设在例子中：E是边的集合f(e)是边对应的流量C(e)是边对应的最大流量s-t路径表示从源点到目标点存在的路径算法的描述如下：1) max_flow = 02) 当存在s-t路径时，对每一条路径重复下面的步骤：a) 采用DFS（深度优先）或BFS（宽度优先）找到从s-t的路径P，并且路径上的每一条边e 都满足 f(e) < C(e)b) 如果找不到路径, 返回 max_flow。

最大流

最大流

割是分离A和F的弧的集合,若切断一个割的所有弧对应的桥梁, 就可切断A和F之间的线路。切断最小割包含的弧对应的桥 梁，是切断A和F之间线路的桥梁数最少的方法。
由最大流最小割定理，分离A和F的最小割容量等于由A到F的 最大流量 A(0,+) 1,1 2 ,1 1 1, 1,0 2,1 D 2,0 B E C 1,1 2,0 (B,1) (A,1) 1 2, 2,1 F 由上图得知：已标号点为A，B，C，而D，E，F不能获得标 号，从而知道该最大流对应的最小割为{（A，E），（C， D），（C，F）}因此，切断AE，CD，CF三座桥梁，即可阻 止对方部队过河。
3 3 2 v4
割 集 容量 6 7 7 5 11 8 最小割 { (v1, v2) , ( v1, v3) } { (v1, v3) , ( v2, v5) } { (v1, v2 ) , ( v3, v2) , (v3,v4 ) } { (v2, v5) , ( v3, v4) } {(v1, v2) , ( v3, v2),(v4,v2) , (v4,v5)} { (v2 , v5 ) , ( v4 , v5 ) }
• 割中所有弧的容量之和称为该割的容量
C (V1 ,V2 )
( v i , v j )(V1 ,V2 )

c ij
所有割中容量最小的称为最小割
v2 2 v1 4 v3
V1 {v1} {v1,v2} {v1,v3} { v1,v2,v3 } {v1,v3 ,v4 } {v1 ,v2 ,v3, v4} V2 { v2 ,v3 ,v4 , v5 } { v3 ,v4 ,v5 } {v2 ,v4, v5} { v4, v5 } { v2 ,v5 } { v5 }
1,1

第四节 网络系统最大流问题

第四节 网络系统最大流问题
2 2
5 6
6 0
7
V6
V 8 V 10
V3
6 10
V5
前向弧： 1 min{Cij fij } 2
后向弧：
2
min{ 1 , 2 } 2
V2
8 8
5 5 3 2 5
1
V4
10 19
4
V1
2 2
5 6
6 0
7
V6
V 8 V 10
而对于实际问题来说，通常需要求最大流．
那么，如何求最大流呢？ 最大流可以从任何一个可行流出发来求．
这需要下面的可扩充路的概念．
定义 6.17 设 { fij }是一组可行流，如果存在一 条从起点V1 到终点V 的路P，满足 ①在P的所有前向弧上 0 fij Cij ( fij Cij ) ( fij 0) ②在P的所有后向弧上 0 fij Cij 则称P是一条关于流 { fij }的可扩充路．
对于P的所有后向弧 (0 fij Cij ) (若P无后向弧，则令 2 ) 令 2 min{ fij }
再令 min{ 1 , 2 }
最后，构造新的可行流 { f ij }, 使得
f ij fij fij
f ij
若弧 (Vi ,Vj )不在路P上 若弧 (Vi ,Vj )是路P的前向弧 若弧 (Vi ,Vj ) 是路P的后向弧
V3 V2
8
8
6 10
V5 V4
5
1
2 5
最大流不唯一
7
3 0 6 6
19
4
V1
2 2
6 3
7
V6

例题最大流的标号法

例题最大流的标号法

例题最大流的标号法精品文档例题最大流的标号法例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量 (要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流)，其中，弧旁的数字是(c「f Q。

.⑴首先,给V s标上(0, )(2)检查V s，给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号(V s, l(V2)),其中l(V2)min [l(V s),C s2 f s2】min[ ,15 7] 8其它点不符合标号条件。

⑶检查V2，给V2为终点的非零流弧的未标号的起点V3标号(V2, |(V3)),其中l(V3)min[g), f32】min[ 8,4] 4其它点不符合标号条件。

(4)检查v3，给v3为起点的未饱和弧的未标号的终点v4、v6标号(V4, l (V4)) > ( v6,l(V6))其中，l(V4)min[?3)234 ￡34] min[4,5 4] 1l(V6)min [l(V3),C36 f36] min [4,5 1] 4其它点不符合标号条件。

⑸检查v6，给v6为起点的未饱和弧的未标号的终点v t标号(v t, l (v t))其中，l(V t) mi n[l(V6), C6t f&] mi n[4,10 5] 4其它点不符合标号条件。

由于V t已标号，反向搜索可得增广链{(V s,V2),(V3,V2),(V3,V6),(V6,Vj}，在该增广链的前相弧(v s, v2), (v3, v6), (v6,v t)上增加l (v t) 4，在后向弧(v3, v2)上减去精品文档l(V t) 4，其它弧上的流量不变，则可得一流量v(f ) 20的新的可行流如下图重新开始标号：⑹首先,给V s标上(0, )(7)检查V s，给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号(V s, l(V2)),其中l(V2) min [l(V s),C s2 f s2】 min[ ,15 11] 4其它点不符合标号条件。

运筹学05-图与网络分析3-最大流

运筹学05-图与网络分析3-最大流

(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(0,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
再检查vi，直到vs为止
min1,2
1 min cij fij 对于增广链上的前向弧
2 min fij 对于增广链上的后向弧
(2)以为调整量进行调整
fij
'
ffiijj
(vi , vj ) (vi , vj )
fij (vi , v j )
去掉所有点的标号，对新的可行流f ' {fij '}进行标号
v2

运筹学：第2章 图与网络分析 第4节 最大流


v2
13 (5)
6(3)
v5
9 (5)
5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
v7
10 (1)
设 V1 v1 , v2 , v5 ，V2 v3 , v4 , v6 , v7 则截集为
(V1,V2 ) (v1v3 ), (v2 , v4 ), (v5 , v7 ) 截量为24
凡与u方向相同的称为正向弧； 凡与u方向相反的称为反向弧； 其集合分别用u+和u-表示。 f 是一个可行流，如果满足：
0 fi j ci j 0 fi j ci j
(vi , vj ) 即μ+中的每一条弧都是非饱和弧 (vi , vj ) 即μ-中的每一条弧都是非零流弧
则称 u为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。
是一个（V，A，C），vs为始点，vt为终点。如 果把V分成两个非空集合V1 ,V2(V1 V2 ,V1 V2 V )
使vs V1 ,vt V2 ，则所有始点属于V1 ，而终点属于 V2的 弧的集合，称为D的截集,记作 (V1 ,V2。) 截集(V1 ,V2)中所有弧的 容量之和，称为这个截集的截量，记为C(V1,V2) 。
2 ．把节点集V分成VA ：已标号点集
VB ：未标号点集
3．考虑所有这样的弧(vi ，vj) 或(vj，vi ) ，其中vi VA，v j VB
若该弧为
（1）流出未饱弧，那么给vj标号(θj, vi) ，其中： θj=cij-fij
（2）流入非零弧，那么给vj标号(θj, -vi) ，其中： θj=fij 4．重复步骤2，3，直到vt被标号或标号过程无法进行下去 ，则标号结束。

最大流问题标号法例题详解

最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。

题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。

解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。

首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。

2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。

3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。

4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。

运输网络最大流问题


三、最大流问题的标号法

步骤： 判断是否存在增广链, 并设法把增广链找出来, 并予以调整, 最终使图中无增广链.
此算法从网络中的一个可行流f 出发（如果D中 没有
f，可以令f 是零流），运用标号法，经过标号过程和
调整过程，最终可以得到网络中的一个最大流。
1． 标号过程 在标号过程中，网络中的点分为两种： 已标号的点（分为已检查和未检查）和未标号的点。 每个标号点的标号包含两部分： 第一个标号表示这个标号是从那一点得到的， 以便找出增广链。 第二个标号是从上一个标号点到这个标号点的流量的 最大允许调整值， 是为了用来确定增广链上的调整量θ。
运输网络最大流问题
一、引言
1.应用背景 在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问 题。 例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的 水流问题,控制系统中的信息流问题，常见的人流， 物流，水流，气流，电流，现金流等。 在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大 流问题.

2.问题描述
标号过程开始，先给vs 标号（0，+∞）。 这时，vs 是标号未检查的点，其它都是未标号点。 如果vt有了标号，表示存在一条关于f 的增广链。 如果标号过程无法进行下去，并且vt未被标号， 则表示不存在关于f 的增广链。 此时，就得到了网络中的一个最大流。
例 求图10-25的网络最大流，弧旁的权数 表示（cij , fij）。
(4 , 3)
(1 , 1)
v2
v4
(3 , 3)
(5 , 3) (3 , 0) (2 , 1)
(0,+)
vs
(5 , 1)
(1 , 1)
(2 , 2)
vt

求网络最大流及最小费用最大流问题的 Ford-Fulkerson标号算法

clc,clear u=[0 5 4 3 0 0 0 0; 0 0 0 0 5 3 0 0; 0 0 0 0 0 3 2 0; 0 0 0 0 0 0 2 0; 0 0 0 0 0 0 0 4; 0 0 0 0 0 0 0 3; 0 0 0 0 0 0 0 5; 0 0 0 0 0 0 0 0]; n=length(u); f=zeros(n,n); list=[];maxf(n)=1; while maxf(n)>0 maxf=zeros(1,n);pred=zeros(1,n); list=1;record=list;maxf(1)=inf; %list 是未检查邻接点的标号点，record 是已标号点 while (~isempty(list))&(maxf(n)==0) flag=list(1);list(1)=[]; label1= find(u(flag,:)-f(flag,:)); label1=setdiff(label1,record); list=union(list,label1);
(2,7 )
v5
b=[0 10 6 3 0 0; 0 0 4 0 0 3; 0 0 0 0 12 4; 0 0 5 0 2 0; 0 0 0 0 0 5; 0 0 0 0 0 0]; c=[0 12 7 8 0 0; 0 0 8 0 0 5; 0 0 0 0 10 7; 0 0 9 0 7 0; 0 0 0 0 0 8; 0 0 0 0 0 0]; [f wf zwf]=BGf(c,b)
c= 10 从两种方法得到的最小生成树不同，但权和都为 10.
实 验 体 会
在最优化上机实验中，将数学语言转化成了计算机语言，通过学习 Ford-Fulkerson 算法， 我掌握了更加高效的解决最大流和最小费用最大流问题。 通过学习编程代码，我学习了最大流的算法，同一个连通图的最大流是唯一的。 通过学习，提高了编程水平。
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例题最大流的标号法集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
例题 最大流的标号法
例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。

.
v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7）
（15,7）
v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解：
(1)首先,给v s 标上(0,)
(2)检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。

(3)检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。

(4)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(,)其中， 其它点不符合标号条件。

(5)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。

由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去
，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下
图。

v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7）
（15,11）
v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4)
（9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6
∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v
重新开始标号：
(6)首先,给v s 标上(0,)
(7)检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。

(8)
检查，没有以为起点的未饱和弧的未标号终点和以为终点的非零
流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流,最大流的流量为v(f)=20。

事实上，可令，则最小截集的截量。

∞+)(2v l 2v 2v 2v },,,,{},,{6543121t s v v v v v V v v V ==),(11V V )(20659),(2425311f v c c c V V C s ==++=++=。