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第七章 不可压缩理想流体的平面运动

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流体力学第七章理想不可压缩流体无旋运动

流体力学第七章理想不可压缩流体无旋运动
m y 2 2 2 x y
天津大学力学系 方一红
28
A W ( z) z
Ax 2 2 x y
Ax 2 2 x y
Ay 流线 2 C1 2 x y
c2 c2 x y 2 2
2 2 2
Ax 等势线 2 C3 2 x y
u ,v y x
(M ) (M 0 )
M
M0
vdx udy y
方一红
天津大学力学系
11
流函数的性质
1） 流函数可以差一任意常数，而不影响流体的 运动。 运动 2） 流函数与流线 数 线
x, y C
3） 流函数与体积流量
——流线
0
( div v 0 )
C11 C22 Cnn
天津大学力学系 方一红
2
0 2 p ~ V V f t t 2
t t 0 : v v r , p p r
dW u iv i U dz
W ( z) U z
天津大学力学系
方一红
21
2 点源与点汇
z x iy y re
i
W ( z ) a ln z
W ( z ) i a ln l r ia
天津大学力学系
方一红
22
a ln r , a
方一红
天津大学力学系
7
速度势函数性质
1） 速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响 流体运动 流体运动。 2） 速度势的方向导数。
v m vm m
3）等势线。
( x, y ) C

流体力学第七章_理想流体平面运动

流体力学第七章_理想流体平面运动
一、速度环量
速度环量Г：速度V沿封闭曲线L的线积分。
L
ds α V
Γ LV ds LV cosds L (udx vdy wdz) L d
按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为 正，顺时针方向为负。
12
二、旋涡（涡旋）强度
旋涡中某点涡量的大小是流体微 团绕该点旋转的平均角速度的2倍， 方向与微团的瞬时转动轴线重合。
园盘绕流 尾流场中 的旋涡
3
机翼绕流（LES）
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动 比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流 在理论研究方面较成熟。
对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体 运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是 绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。
流线方程： dx dy 或 vdx udy 0
uv
连续性方程： u v 0或 u ＝－ v （充分必要条件）
x y
x y
均可构造标量函数 x, y,
使
u , v
y
x
则 vdx udy dx dy d 0
17
斯托克斯定理说明：速度环量是否为零可以判断流动是 否有旋。如果任意一条封闭曲线上的速度环量都为零，则此 区域的旋涡强度为零，即旋转角速度为零，是无旋流动。但 是，如果有一条封闭曲线上的速度环量不为零，则此区域的 旋涡强度不为零，是有旋流动。
讨论：包围某区域的速度环量为零，则此区域是否一定是 无旋流动？
Г= 0 不一定是无旋运动，如图。
对强制线涡，包含涡的 2 crd 2c 0
任意封闭曲线 L 有：
0r

流体力学 第七章 不可压缩流体动力学基础

流体力学 第七章 不可压缩流体动力学基础

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载流体力学第七章不可压缩流体动力学基础地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。

但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。

本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。

第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。

位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。

在直角坐标系中取微小立方体进行研究。

一、平移：如果图（a）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为。

基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。

二、线变形：从图（b）中可以看出，由于沿y轴的速度分量，B点和C点都比A点和D点大了，而就代表时液体基体运动时，在单位时间内沿y轴方向的伸长率。

，，三、角变形（角变形速度）角变形：四、旋转（旋转角速度）即，那么，代入欧拉加速度表达式，得：各项含义：平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量（5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。

——亥姆霍兹速度分解定理第二节有旋运动1、无涡流（势流）如在液体运动中，各涡流分量均等于零，即，则称这种运动为无涡流。

理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动共120页

理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动共120页

END
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
理想不可压缩流体的平面势流和旋涡 运动
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天高Βιβλιοθήκη 风景澈。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散

第七章不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础

在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.

理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动

理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动

同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。

第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程

亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz

工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解

式的连续性方程

x
vx


y
v y

z
vz



t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x

0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。

vx y





2 x

2 y


2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE

vx

vx x
dx

vx y
dy

vx z
dz

v yE

vy

vy x
dx
vy y
dy

vy z
dz

vzE

第七章 不可压缩理想流体二元流动


１、平移
微团的移动速度，是O 点坐标（x0,y0,z0）和时间t 的函数，即
几何形状不变，只是空间位置发生变化。
2、线变形
经dt 时间O→O＇， M→M＇， O＇M＇两点的距离为 称为线性变形。
显然较原来距离伸长了。其增量为 （1）单位时间内的线性变形为
称为线性变形速度。 （2）单位长度上单位时间内的线性变形，即单位长度上 的线性变形速度为称为线变形率，为 （3）微团的膨胀速率
二、流函数的性质 （1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足 连续性方程。 2 2 将流函数代入连续性方程式得 yx xy 即流函数永远满足连续性方程。 （2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普 拉斯方程，流函数也是调和函数。 u y u x 对于平面无旋流动， z 0 ，则 0
ux ; uy ; uz x y z
函数 ( x, y, z, t ) 与流场中的速度有关,函数就叫做速度势函数 (简称速度势) 。因此，也可以说，存在速度势函数的流动为有 势流动，简称势流。
不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常 流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在 速度势函数。
u z u y u x u z u y u x ; ; y z z x x y
速度势函数 由数学分析可知， 是 ux dx uy dy uz dz 成 为某一标量函数 ( x，y，z，t ) 全微分的充分必要条件。 在有势流动中一定存在关系
u x dx u y dy u z dz d dx dy dz x y z
1 1 2 2 VA p B VB 2 2
1 1 2 (VA VB2 ) 1.4 10 5 1.2 (32 464 ) 139740 .8( Pa ) 2 2

第七章 理想不可压缩流体无旋运动PPT课件

液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
例如飞机速度<100m/s时。 3）无旋运动：在以上近似下，有势体力场中流体涡旋运动性质
具有保持性，即初始无旋则永远无旋。在流体从静止开始的运 动中和无穷远均匀来流绕流物体的运动等，流动均无旋。此模 型是对一类广泛存在的流动问题的理想近似。
3
1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) (x, y)常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合：
根据定义，流线方程为：
dx dy uv
vdxudy0
v u
x
y
dxdy0
x y
d 0
(x, y)常数是流线
18
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
数学表达
1) 流体运动只在与Oxy平面平行的平面内进行，w=0；
2) 在与Oz轴平行的直线上所有物理量不变，即：
0
z
8
绕无限翼展的流动(平面流动)
9
绕有限翼展的流动(三维流动)
10
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数
对平面运动：w=0 0 z
i jk
rotv
x y z uv0
二、基本方程组
第一节 引言
V 0
dV dt
F
p
t
0,
V
V
r ,
p
p r
B oundary condition s
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
4
若运动无旋，则： rotv0
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i 速度场是一个 矢量场，根据 rotv x 旋度的概念： vx
j y vy
k z vz
15
把速度场的旋度与平均旋转角速度相比 较，可得
1 rotv 2
所以平均旋转角速度不仅是分析流体微 团在运动过程中旋转运动的特征量，同时也 是判断流体的运动是有旋运动还是无旋运动 的标准。
按矢量分析有
v i j k x y z
函数φ称为速度势函数，简称速度势。速 度势的梯度就是流场中的速度。
25
当流体作无旋流动时，不论其是否可压 缩，总有速度势存在，所以无旋流动又称为 有势流动。 对于不可压缩流体，有下式存在
2 2 0 2 x y z
33
cos(l , x) cos(l , y ) cos(l , z ) l x y z v x cos(l , x) v y cos(l , y ) v z cos(l , z ) vl
3)速度势与积分 v dl 的关系
二、剪变形角速度
vx (v x y )t y
v x vx y y vy
y
A
D
α vx x
C
B
vx∆t
β
vy
v y x
x
9
经∆t时间后，流体微团发生变形，AB边 转过的角度为α，BC边转过的角度为β。则
v x (v x y v x )t v x y tan t y y v y t x
2 x 2 y
30
练习：不可压缩流体平面流动的势函数
x y x
2 2
试确定： 1.该平面流动的速度场。 2.该流动有旋还是无旋？ 3.该流动是否满足连续性方程?
vx=2x+1,vy=-2y 无旋 满足
31
关于速度势φ的重要性质： 1）等势面与流线垂直
将流场中速度势相等的点连接起来，形成 一个空间曲面，称为等势面。在平面流中，称 为等势线。
或 d
( x, y, z ) 常数
x dx y dy z
dz 0
32
即
v x dx v y dy v z dz 0 v dl 0
因为dl是等势面上的有向线段，所以等势面与 流线垂直。 2)速度势在任何方向上的偏导数，等于速度在 该方向上的投影 根据数学上方向导数的概念，φ在任意方 向l上的方向导数为
10
则定义剪变形角速度为
1 1 v y v x z lim ( ) t 0 2 t 2 x y
即单位时间内直角改变量的一半。 同理对三维空间可写出
1 v z v y x ( ) 2 y z
1 vx vz y ( ) 2 z x
17

例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为
v x cy, v y 0
其中c为常数。判断流动是否无旋？
v0 y x vx
18
由判断条件
1 v y v x 1 z ( ) c0 2 x y 2
故运动是有旋的。
19
例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。 已知流体速度分布为
I
D C (α+β)/2 α B‫׳‬
β
A
B
x
13
矢量式为
i 1 1 v 2 2 x vx
j y vy
k z vz
14
7.2有旋运动和无旋运动
一般来说，粘性流体的流动是有旋的， 而理想流体的流动可能是无旋的，也可能是 有旋的。流动究竟是有旋还是无旋，是根据 流体微团本身是否旋转来确定的，而不是根 据流体质点的运动轨迹是否弯曲来判定。
23
由数学分析，上面的三个方程是
v x dx v y dy v z dz
成为某一函数的全微分的充分必要条件，该 函数记为φ(x,y,z,t)。当以t为参数时，该函数 的全微分是
d dx dy dz x y z
24
所以有
vx , vy , vz x y z
c v , vr 0 r
其中c为常数，试 判断流动有旋还是 无旋？
r

20
在极坐标系下的判断条件为
1 1 1 vr z ( ( rv ) ) 2 r r r
代入速度分布可得
z 0
故该流动是无旋的。
21
7.3不可压缩理想流体平面势流的基本方程
工程上有许多问题可简化为理想流体的
上式表明，等势线与流线相互正交。
42
7.3.3流函数和势函数的求解方法
例：设平面流动的速度分布为
v x x y 2 xy 3 x
2 2
v y y x 2 xy 3 y
AB AB dvx x lim t 0 xt dx
把εx叫做线段AB在x轴的线变形速度。
εx
正值
拉伸 压缩
6
负值
对于三维空间，流体微团的速度是空间坐标 的函数，即
v x v x ( x, y , z , t ) v y v y ( x, y , z , t ) v z v z ( x, y , z , t )
算出速度矢量分量，从而将求解速度场的问
题转化为求解速度势函数φ的问题。
28
例题：已知一个平面不可压缩定常有势流动 的速度势函数为
x y
2
2
求在点(2.0,1.5)处速度的大小。
29
解： vx 2 x 4m / s x vy 2 y 3.0m / s y V v v 5m / s
16

0 rotv 0 运动是无旋的 0 rotv 0 运动是有旋的
流体运动中的有旋运动与刚体的旋转 运动是两个完全不同的概念。流体的有旋 与无旋不是通过宏观上流体运动的特征来 判断。也就是说，宏观上作圆周运动的流 场有可能是无旋运动，而宏观作直线运动 的流场也有可能是有旋的。来自βAB
x
12
则单位时间内角平分线转过的角度为
IAI 1 v y vx z lim ( ) t 0 t 2 x y
对于三维问题同理可得出
y
D‫׳‬ C‫׳‬ I‫׳‬
1 v z v y x ( ) 2 y z 1 v x v z y ( ) 2 z x
2 2 2
推导
称为拉普拉斯方程。∆称为拉普拉斯算子。
26
在平面极坐标中，速度和速度势之间的 关系是
vr , v r r
2
拉普拉斯方程为
1 2 2 0 2 r r r r
27
速度势函数的意义：
在势流中，如果已知速度势函数φ，则
可根据速度与速度势之间的关系很容易地计
40
在不可压缩流体的平面有势流动中，必然 同时存在速度势和流函数。由无旋流动的条件
v y
v x 0 x y
2
将速度与流函数的关系式代入上式有
2 0 2 2 x y
2
因此，流函数也满足拉普拉斯方程。
41
φ与ψ的关系：
由速度与速度势及流函数的关系可得
, x y y x 0 x x y y
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
22
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
v x v y v z v x v y v z , , y x x z z y
2
7.1流体微团的运动分析 在流体流动时，流体微团除了平动和转动 之外，还伴有变形运动。 在对流体微团进行变形运动分析时，不是 看其变形量的大小，而是看其变形速度的大小。 分析流体微团运动的基本量： 线变形速度 剪变形速度 平均旋转角速度
3
一、线变形速度
A
t
B
A‫׳‬
t+∆t
B‫׳‬
x 首先看一维情 ∆x vx∆t 况。t时刻，在x (vx+(dvx/dx)∆x)∆t 轴上取一微小流 体线段AB=∆x， A点的速度为vx，按泰勒级数展开，B点的速 度可表示为
38
关于流函数的物理意义
y 经A、B两点的实线 I vy dl B dy 为流场中的两条流线， dx vx A 虚线AB与流场中的所有 II 流线 的流线正交，现求通过 o 虚线AB的流量。 x 在虚线AB上取一微元弧段dl，显然， vxdy是经dl从区I进入区II的流量， vydx是经 dl从II区 进入I区的流量，那么经dl从I区进 入II区的净流量为
7
则有
v y vx vz x , y , z x y z
下标x,y,z表示变形发生的方向。 对于不可压缩流体，在变形过程中，体 积不发生改变，则有
vx v y vz x y z 0 0 x y z
这就是不可压缩流体的连续方程。
8
在势流场中，沿任意曲线的速度的线积分 等于终点和起点的速度势之差。
34

B
A
v dl
B A
B
(v x dx v y dy v z dz) ( dx dy dz) A x y z
B
A
d B A
A
35
B
7.3.2 流函数
剪变形角速度是流体微团中某一直角的减 小速度的一半。
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三、平均旋转角速度
y I‫׳‬ 虚线是初始位置， C‫׳‬ I D‫׳‬ 经过∆t时间后，流体微 D C (α+β)/2 团运动到AB‫׳‬C‫׳‬D‫。׳‬由几 α 何关系 B‫׳‬