第03讲Schrodinger方程的建立0
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2-1波函数和Schrodinger方程详解页数:53
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schrodinger方程页数:16
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Schrodinger 方程页数:11
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波函数跟Schrodinger方程页数:2
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大学物理薛定谔方程(老师课件)
2 2 2 2 2 推广到三维： x 2 x 2 y 2 z 2
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
P2 E U (x , t ) 2m
一般的薛定谔方程：
▽
( r , t ) 2 2 i U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
U(x)
n很大
n
2
E2 E1 E0
0
2
2
1 2 0
2
符合不确定关系 概率分布特点:
x
E < U 区有隧道效应
通过扫描可观 测固体表面的 微观结构. 探 针头还可吸附 并搬动原子， 形成人工微结 构.
1986年获诺贝尔物理学奖
显示器
压电 控制 隧道 电流
加电压 反馈传感 器 参考信号
扫描隧道显微镜示意图
某种型号的扫描隧道显微镜
原子搬迁：操纵原子不是梦
“原子书法”
硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条 1994年中国科学院科学家“写”出的
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在 量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是 一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基 本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确 性也只能靠实验来检验。
一、自由粒子的薛定谔方程 由自由粒子波函数
i ( Et px) Ψ( x, t ) Ψ e 0
2 2 d 阱外： ( x ) E ( x ) 2 2 m dx 2 2 阱内： d 2 ( x ) E ( x ) 2m dx
2. 求通解 阱外: 根据波函数有限 ( x ) 0 x a , x 0 2mE 2 阱内: 令 k 2 则： ( x ) k 2 (x ) 0 其通解为 (x ) A cos kx B sin kx
3.3 薛定谔方程的建立
大学物理——量子物理
薛定谔方程的建立
薛定谔 Erwin Schrodinger
奥地利人 1910年博士毕业 1921年苏黎世大学数学教授 1926年, 薛定谔在瑞士联邦工业大学物理讨 论会上介绍德布罗意波后, 德拜：“有了波 就应该有一个波动方程。”
几周后，薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程 － 薛定谔方程，从而建立了描述微观粒子运动规律的学科— 量子力学。
x,t Ae
微分,得到方程
i E
t
i p
x
2
x2
p2
2
非相对论情况下：
i E t
i
x
px
2
2 x2
p
2 x
替换关系
E
p
2 x
2m
2
2 x2
px2
i E t
i
t
2 2m
2 x 2
对自由粒子成立，作用在波函数上才有意义！
令其作用于波函数 (x, t)上，则得到自由粒子波函数
一. 自由粒子薛定谔方程的建立
薛定谔方程是利用经典物理，用类比的办法得到的，开始 只不过是一个假定，尔后为实验证实。a. 与Fra bibliotek典波的波动方程类比
经典波函数
经典波动微分方程
Acos(t x)
u
2 1 2
x2 u2 t 2
b. 沿x轴运动的质量为m,动量为p,能量为E的自由粒子的波函数
i Et px
2 y 2
2 z 2
写为
i
(r,t) [
2
2 U (r,t)] (r,t)
t
2m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，是量子力学 的基本假设。
薛定谔方程的建立
薛定谔 Erwin Schrodinger
奥地利人 1910年博士毕业 1921年苏黎世大学数学教授 1926年, 薛定谔在瑞士联邦工业大学物理讨 论会上介绍德布罗意波后, 德拜：“有了波 就应该有一个波动方程。”
几周后，薛定谔找到（提出）了波函数满足的微分方程 － 薛定谔方程，从而建立了描述微观粒子运动规律的学科— 量子力学。
x,t Ae
微分,得到方程
i E
t
i p
x
2
x2
p2
2
非相对论情况下：
i E t
i
x
px
2
2 x2
p
2 x
替换关系
E
p
2 x
2m
2
2 x2
px2
i E t
i
t
2 2m
2 x 2
对自由粒子成立，作用在波函数上才有意义！
令其作用于波函数 (x, t)上，则得到自由粒子波函数
一. 自由粒子薛定谔方程的建立
薛定谔方程是利用经典物理，用类比的办法得到的，开始 只不过是一个假定，尔后为实验证实。a. 与Fra bibliotek典波的波动方程类比
经典波函数
经典波动微分方程
Acos(t x)
u
2 1 2
x2 u2 t 2
b. 沿x轴运动的质量为m,动量为p,能量为E的自由粒子的波函数
i Et px
2 y 2
2 z 2
写为
i
(r,t) [
2
2 U (r,t)] (r,t)
t
2m
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，是量子力学 的基本假设。
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
§1.3Schrodinger方程
E p2 2
为粒子质量
综合以上三式有：
i
t
p
2 2
2 p
2
px2 2
1
--------------自由粒子的 SchrÖdinger 方程
b.一般力场的 SchrÖdinger 方程
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2022-2023高中物理竞赛课件：薛定谔方程的建立
典物理中的地位相当。
薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有 什么更基本的原理可以证明它的正确性。
从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验 事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
例: 设一粒子在一维空间运动， 其定态波函数为：
求：1) 归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数； 3) 在何处发现粒子的概率最大？
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立
（薛定谔方程是量子力学基本假设之一， 不能理论推导证明）
1、一维自由粒子薛定谔方程
(适用条件 v << c，非相对论条件下讨论，低速微观粒子)
以一维自由粒子为例：
Ψ
e
i
(
Et
px
)
0
(1)
（1）式对 t 求导：
（1）式对 x 求二阶偏导数：
薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛ຫໍສະໝຸດ 谔方程概率最小粒子出现的 概率最大的位置:
能量与时间的不确定性关系
能量和时间也存在不确定度关系
设一个粒子在一段时间 ∆ t 内的动量为 p，能量为E
根据相对论，有：E2 p2c2 E02, E mc2, E0 m0c2
p1 c
E 2 E02
p 1 c
E 2 E02
E c2 p
E
在时间 ∆ t 内，粒子可能发生的位移x： vt
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数 分离变量:
粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。 定态：若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数，
微观粒子在各处出现的概率与时间无关
薛定谔方程的建立
薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有 什么更基本的原理可以证明它的正确性。
从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验 事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
例: 设一粒子在一维空间运动， 其定态波函数为：
求：1) 归一化的波函数； 2) 粒子的概率密度函数； 3) 在何处发现粒子的概率最大？
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立
（薛定谔方程是量子力学基本假设之一， 不能理论推导证明）
1、一维自由粒子薛定谔方程
(适用条件 v << c，非相对论条件下讨论，低速微观粒子)
以一维自由粒子为例：
Ψ
e
i
(
Et
px
)
0
(1)
（1）式对 t 求导：
（1）式对 x 求二阶偏导数：
薛定谔方程的建立
1、一维自由粒子薛ຫໍສະໝຸດ 谔方程概率最小粒子出现的 概率最大的位置:
能量与时间的不确定性关系
能量和时间也存在不确定度关系
设一个粒子在一段时间 ∆ t 内的动量为 p，能量为E
根据相对论，有：E2 p2c2 E02, E mc2, E0 m0c2
p1 c
E 2 E02
p 1 c
E 2 E02
E c2 p
E
在时间 ∆ t 内，粒子可能发生的位移x： vt
薛定谔方程的建立
3、一维定态薛定谔方程
若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数 分离变量:
粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。 定态：若粒子的势能 EP (x) 与 t 无关，仅是坐标的函数，
微观粒子在各处出现的概率与时间无关
薛定谔方程的建立
§23 薛定谔方程–方程的建立
在没有实物粒子湮灭和产生的情况下，粒子在空间各点出现概率的 总和为1。
= ∫ ρ dτ
V
* = ψ ∫ ψ dτ 1 V
波函数的归一化条件。 要求波函数平方可积。
electron
ψ (r , t )
Cψ ( r , t )
描述同一种状态。 有意义的相对概率分布：
ψ (r , t )
2
常数
C 2 ψ (r , t )
解为
= u ( x) A1eik1 x + B1e − ik1 x
入射波 反射波
§2.4 一维定态问题–方势垒散射
区域(II)：0< x < a, V(x) = V0 V(x) E I 0 V0 II a III x
2 d 2 V − + 0 u =Eu 2 2m dx
令 k2 = 则
2 nπ x, sin u ( x) = a a , 0
0≤ x≤a x < 0, or , x > a
n = 1, 2,3,
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(2) 粒子在一维无限深势阱中的概率(密度)分布
2 2 nπ x, sin u ( x) = a a , 0
也是一个一维的定态问题，其Schrödinger 方程：
2 d 2 − + V ( x ) u ( x)=Eu ( x) 2 2m dx 设0 < E < V0 2 d 2u =Eu 区域(I)：x < 0, V(x) = 0 − 2m dx 2 2 d u 2mE = − k12u 则 2 令 k1 = dx
则有
设为E
i df =E f (t ) dt
= ∫ ρ dτ
V
* = ψ ∫ ψ dτ 1 V
波函数的归一化条件。 要求波函数平方可积。
electron
ψ (r , t )
Cψ ( r , t )
描述同一种状态。 有意义的相对概率分布：
ψ (r , t )
2
常数
C 2 ψ (r , t )
解为
= u ( x) A1eik1 x + B1e − ik1 x
入射波 反射波
§2.4 一维定态问题–方势垒散射
区域(II)：0< x < a, V(x) = V0 V(x) E I 0 V0 II a III x
2 d 2 V − + 0 u =Eu 2 2m dx
令 k2 = 则
2 nπ x, sin u ( x) = a a , 0
0≤ x≤a x < 0, or , x > a
n = 1, 2,3,
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(2) 粒子在一维无限深势阱中的概率(密度)分布
2 2 nπ x, sin u ( x) = a a , 0
也是一个一维的定态问题，其Schrödinger 方程：
2 d 2 − + V ( x ) u ( x)=Eu ( x) 2 2m dx 设0 < E < V0 2 d 2u =Eu 区域(I)：x < 0, V(x) = 0 − 2m dx 2 2 d u 2mE = − k12u 则 2 令 k1 = dx
则有
设为E
i df =E f (t ) dt
第三章 薛定谔方程的建立
第一节 第二节 第三节 第四节 波粒二象性 波函数与态的叠加原理 薛定谔方程的建立 一维定态薛定谔方程
Atomic physics and quantum mechanics
11
一 自由粒子薛定谔方程的建立 二 推广的薛定谔方程及其性质
Atomic physics and quantum mechanics
Atomic physics and quantum mechanics
17
薛定谔方程在量子力学中的地位虽与牛顿第二定律 在经典物理中的地位相当，但它与牛顿第二定律有 着本质的不同，与经典波动方程也不一样。 薛定谔方程式具有波粒二象性的微观粒子运动所遵 循的规律。 薛定谔方程的提出，深刻地揭示了原子世界中物质 的运动规律。对于原子的稳定性，物质的微观结构 等一系列物理和化学问题，提供了系统的、定量的 处理方法和理论。 除了物质的磁性和相对论效应以外，薛定谔方程对 所有原子问题原则上都能解决。
2
∫
全
ψ (r, t ) dτ = 1
2
波函数满足三个标准条件：有界性、连续性和单值性。
Atomic physics and quantum mechanics
9
二 态的叠加原理 态叠加原理： ψ 若 ψ 1、 2 为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线
性叠加态 ψ = C1ψ 1 + C2ψ 2 表示粒子既可能处于 ψ 1 态又可能
多粒子体系的薛定谔方程
∂ i ψ (r1 , r2 , ∂t
2 ⎡N ⎛ ⎞ 2 , rN , t ) = ⎢ ∑ ⎜ − ∇ i + U i (ri ) ⎟ + V (r1 , r2 , ⎠ ⎣ i =1 ⎝ 2mi
⎤ , rN ) ⎥ψ (r1 , r2 , ⎦
Atomic physics and quantum mechanics
11
一 自由粒子薛定谔方程的建立 二 推广的薛定谔方程及其性质
Atomic physics and quantum mechanics
Atomic physics and quantum mechanics
17
薛定谔方程在量子力学中的地位虽与牛顿第二定律 在经典物理中的地位相当，但它与牛顿第二定律有 着本质的不同，与经典波动方程也不一样。 薛定谔方程式具有波粒二象性的微观粒子运动所遵 循的规律。 薛定谔方程的提出，深刻地揭示了原子世界中物质 的运动规律。对于原子的稳定性，物质的微观结构 等一系列物理和化学问题，提供了系统的、定量的 处理方法和理论。 除了物质的磁性和相对论效应以外，薛定谔方程对 所有原子问题原则上都能解决。
2
∫
全
ψ (r, t ) dτ = 1
2
波函数满足三个标准条件：有界性、连续性和单值性。
Atomic physics and quantum mechanics
9
二 态的叠加原理 态叠加原理： ψ 若 ψ 1、 2 为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线
性叠加态 ψ = C1ψ 1 + C2ψ 2 表示粒子既可能处于 ψ 1 态又可能
多粒子体系的薛定谔方程
∂ i ψ (r1 , r2 , ∂t
2 ⎡N ⎛ ⎞ 2 , rN , t ) = ⎢ ∑ ⎜ − ∇ i + U i (ri ) ⎟ + V (r1 , r2 , ⎠ ⎣ i =1 ⎝ 2mi
⎤ , rN ) ⎥ψ (r1 , r2 , ⎦
18.3薛定谔方程
2 2 由（ 1）（2）得： i 2 2m t x
若粒子在外力场中运动，且外力场是保守力场，粒子在保 守力场中的势能是U，则粒子 的总能量为：
1 2 E p U (x ,t ) 2m 将E 代入,作类似的上述运算，可得
2 2 i U (x ,t ) 2 t 2m x
称哈密顿算符
2、定态薛定谔方程
若势能不是时间的函数，即 U U (x ,y ,z ) ，则波函数写为：
(x ,y ,z ,t ) (x ,y ,z ) f(t )
代入薛定谔方程得：
1 2 1 f 2 U i 2m f t
只是空间坐标的函数
只是时间的函数
要使等式成立，必须两边都等于与时间和坐标无 关的常数，令这个常数为 E 。
i f E f t
其解为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
i
f(t ) ke
所以波函数为：
(x ,y ,z ,t ) (x ,y ,z ) e
Et
i
粒子在空间出现的概率密度
(x ,y ,z , t)
d2 2m (x ) 2 (E U ) (x ) 0 2 dx
1933年获得诺贝尔物理学奖
设质量为m、动量为p的自由粒子沿x方向运动，如果不考 虑相对论效应，其能量可表示为：
E p 2 2m
自由粒子的波函数为 (x ,t ) Ae
(Et px )
i
分别对波函数中的x和t求偏导，可得
2 p2 2 (1) 2 x
i E (2) t
2 2 i U (x ,y ,z ,t ) t 2m
03讲-Schrodinger Equation
1
(2)3
2
( p)eipr /d 3 p
(
pi
)eipi
r
/
i
可见，| ( pi ) |2 代表 (r ) 中含有平面波
eipi r / 的成分，因此，| ( pi ) |2 应该代表粒子具
有动量 pi 的概率。
13
二、力学量的平均值(2)——动量
d
d 0 粒子数目在全空
dt
s
dt
间中保持不变
26
四、薛定谔方程（4） 能量本征方程
薛定谔方程
i
(r ,
t
)
[
2
2
V
(r ,
t)]
(r ,
t)
t
2m
若V (r,t)不显含 t
，则可令
(r ,
t)
E
(r )
f
(t)，有
i f (t)
s
ds
电磁学：左边表示在
量子力学：左边表示在
区域 内电荷在单位
区域 内找到粒子概率
时间内的增量，右边
单位时间内的增量，右
单位时间内通过 的
边单位时间内通过 的
封闭表面 S 流入 内 的总电流。电荷守恒
封闭表面 S 流入 内
的概率。概率守恒
d
d
j
ds
附近的概率，那么粒子坐标的平
均值，例如 x 的平均值 x ，由概率论，有
x
| (r ) |2
xd 3r
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。
薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。
”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。
由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。
“正是这个准备过程使他进步了。
作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.”薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。
他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。
他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。
薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。
薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++∆ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本征值自然而然地出现了。
薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔方程在低速微观领域是十分正确的。
波动方程的建立标志了波动力学的诞生。