schrodinger方程

薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。

含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。

不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。

波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。

而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。

量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。

薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。

海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。

理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。

用方程表达，。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。

所以，第个粒子的位置是。

[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。

顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。

★★★★★第四节 单电子体系Schrodinger 方程的解及单电子原子波函数第一部分 上节课复习内容：1、 Balmer 和Rydbery 的经验公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222111n n R ~ν Bohr 半径问题，2020me h a πε=Bohr 模型的提出，涉及的定态规则和频率规则最后Bohr 提出的公式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222111n n R ~ν，20348εch me R =，解释了R 的物理意义 Bohr 模型的缺点，再次强调微观粒子运动的波粒二象性问题2、 氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程直角坐标空间的Schrodinger 方程形式ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡πε-∇μπ-E r Ze h 0222248 球极坐标空间的Schrodinger 方程形式ψ=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πε-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛φ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂∂θθ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-μπE r 4Ze sin r sin sin r r r r r 8h -022222222221110111222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πε+μπ+φ∂ψ∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂ψ∂θθ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂ψ∂∂∂r 4Ze E h 8sin r sin sin r r r r r 02222 积分元的形式：φθθτd drd sin r dxdydz d 2==3、分离变量原理及分离变量后球极坐标空间内的R 方程、Φ方程和Θ方程第二部分 本节课授课内容：1、Φ方程的解，引入磁量子数m2、R 和Θ方程的解，引入量子数n 和l3、量子数n 和l 的关系引言：由氢原子及类氢离子的Schrodinger 方程分离出来的三个方程：R 方程、Φ方程和Θ方程，怎么去解这三个方程的问题一、 Φ方程的解分离变量后的Φ方程为：ΦφΦ222m d d -= 移项后成为：0222=+ΦφΦm d d 这是一个常系数二阶齐次微分方程，它有二个复数形式的特解：φΦim m Ae =，m m ±=为了求解它，根据边界条件及函数的性质来解决。

带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性1. 引言1.1 研究背景在量子力学中，Schrodinger方程是描述物质波函数随时间和空间变化的基本方程。

在实际的物理系统中，常常会出现带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程，这种方程在研究凝聚态物质、光学和量子计算等领域具有重要的应用价值。

对于这类方程的非平凡解的存在性问题一直是一个备受关注的课题。

Hatree项是描述不同粒子之间的相互作用，对于含有多体相互作用的系统，Hatree项是不可忽略的。

而对数非线性项则来源于一些特殊物理系统中的非线性效应，它们在描述复杂系统的行为时发挥着关键作用。

研究带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性，不仅可以深入理解量子物理现象，还有助于解决实际问题、推动技术发展和促进科学进步。

探究带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性成为了理论物理学和应用数学领域的研究热点之一。

通过深入研究这一问题，我们可以更好地理解自然界中的复杂现象，为未来的科学研究和技术应用提供重要的理论支持。

1.2 研究意义带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程非平凡解的存在性研究具有重要的理论和应用意义。

在量子力学领域，Schrodinger方程描述了微观粒子的行为，并且对于理解原子、分子等微观粒子的性质至关重要。

而带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程更加贴近实际问题，能够更好地描述某些特殊情况下的量子系统。

通过研究这种方程的非平凡解存在性，可以深入理解量子系统的行为规律，为量子力学的发展提供新的理论基础。

2. 正文2.1 带有Hatree和对数非线性项的Schrodinger方程简介i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(\mathbf{r})\Psi + g|\Psi|^2 \Psi + \lambda\ln(|\Psi|) \Psi\Psi是波函数，\hbar是约化普朗克常数，m是粒子的质量，V(\mathbf{r})是势能，g和\lambda是常数，\nabla^2是拉普拉斯算子。

薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。

它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。