【导与练】-高考数学 试题汇编 第三节 直线、平面平行的判定与性质 理(含解析)

第四节直线、平面平行的判定及其性质[最新考纲] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．线面平行的判定定理和性质定理线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．(7)垂直于同一条直线的两个平面平行．(8)垂直于同一平面的两条直线平行．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)平行于同一条直线的两个平面平行．()(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．()(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．下列命题中，正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝.2[根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.] 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.①②④[如图，因为AB C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．]考点1直线与平面平行的判定与性质(多维探究)判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．直线与平面平行的判定如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.[证明](1)连接EC，因为AD∥BC，BC＝12AD，E为AD中点，所以BC AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为FH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，所以FH∥平面P AD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为OH⊄平面P AD，AD⊂平面P AD.所以OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面P AD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面P AD.证明两直线平行的方法：中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式等．若线面平行不易证明，可先证面面平行，再证线面平行．[教师备选例题]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C.[证明]如图，连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又因为MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.线面平行性质定理的应用如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．1.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A[B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.]2．(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.[证明]连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.考点2平面与平面平行的判定与性质判定平面与平面平行的四种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．注意：谨记空间平行关系之间的转化已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．(1)求证：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱锥A-ECB的体积．[解](1)证明：取BC中点H，连接AH，∵△ABC为等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC，又M，N分别为BD，DC中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，又MN∩EN＝N，∴平面EMN∥平面ABC.(2)连接DH，取CH中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)知EN∥平面ABC，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴DH＝3，又N为CD中点，∴NG＝3 2，又AC ＝AB ＝3，BC ＝2， ∴S △ABC ＝12·|BC |·|AH |＝22， ∴V E -ABC ＝V N -ABC ＝13·S △ABC ·|NG |＝63.解答本例第(1)问时用到了面面垂直的性质及垂直于同一平面的两条直线平行这个结论．1.(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面B[对于A，当无数条直线都平行时，推不出α∥β，排除A.对于C，D，α与β可能平行也可能相交，排除C、D，故选B.]2.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.[证明]取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.。

§ 8.4 直线、平面平行的判定与性质基础知识自主学习----------------------------------------------------------- 回加■眦利, 训—「知识梳理1 .线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理:1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.，基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. (X )(2)平行于同一条直线的两个平面平行. (X )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (x )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( V )(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a// a .( x )⑹若 a //。

，直线all a，贝U a//。

.( X )题组二教材改编2.［P58练习T3］平面a //平面。

的一个充分条件是( )A.存在一条直线a, a// a , a//。

B.存在一条直线a, a? a , all(3C.存在两条平行直线a, b, a?也，b? (3 , a//。

，b// aD.存在两条异面直线a, b, a? a , b? (3 , a//。

，b// a答案D解析若 a n 3 = l , a // l , a? a , a?。

，则a // a , a // 3 ,故排除A.若a n 3 = l , a? a , a // l ,则a//。

，故排除 B.若 a n 3 = l，a?济，all l , b?。

第03讲空间直线、平面的平行(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述： a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a α，a β⊂，b αβ=⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质 ////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．( )（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体ABCD A B C D ''''-，平面α平面ABCD EF =，平面α平面A B C D E F ''''''=，则EF 与E F ''的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对5．（2022·全国·高一课时练习）直线//a 平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有6．（2022·全国·高二课时练习）若平面//α平面β，直线a α⊂，则a与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，3BC =4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．.题型归类练1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，=AF FP ．(1)求证：//EF 平面PCD ；2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥P ABC -中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥P ABC -的表面积.题型归类练 1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，AC 和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，6PA PC ==．(1)在线段PD 上确定一点M ，使得PB ∥面ACM ，求此时PM MD的值；2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .(1)写出图中与l 平行的直线，并证明；3．（2022·全国·高三专题练习）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.求证：EF∥DC ；4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，2BC DE EC ==，将DAE △沿AE 进行翻折，翻折后D 点到达P 点位置，且满足平面PAE ⊥平面ABCE ，如图2．(1)若点F 在棱PA 上，且EF ∥平面PBC ，求PF PA；5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC .求证：G 为SB 的中点题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.(1)求证：平面1A BD平面11CB D ； (2)求证：EF 平面11DCC D ；(3)求三棱锥1A BDA -的体积.例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC BB ==，点E ，F 分别为边1AA ，1DD 的中点.(1)求三棱锥1E A BC -的体积；(2)证明：平面1CFA ∥平面BDE .例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块中，E 是1CC 的中点.(1)求四棱锥11E ABC D -的体积；(2)要经过点A 将该木块锯开，使截面平行于平面1BD E ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.题型归类练1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C 的中点．(1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.(1)求证：CF //平面A 1EC 1；(2)过点D 做正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.角度2：平面与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，（1）若,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B A C 的中点，求证：平面1EFA //平面BCHG . （2）若点1,D D 分别是11,AC A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值．例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3AD =，O 为棱AB 的中点，点E 在棱AD上，且13AE AD =．(1)证明：CE PE ⊥；(2)在棱PB 上是否存在一点F 使OF ∥平面PEC ？若存在，请指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C -中，点D 、1D 分别是AC 、11A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值.2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF //CE ，BF ⊥BC ，BF ＜CE ，BF =2，AB =1，AD 5(1)求证：BC ⊥AF ；(2)求证：AF //平面DCE ；3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，2PA PD ==，4AB =，1DC =，22AD BC ==(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)在线段PA 上是否存在点M ，使得∥DM 平面PBC ？若存在，求PM AM的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：(1)正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．题型三：平行关系的综合应用典型例题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，A 、B 、C 为所在棱的中点，则能得出平面//ABC 平面DEF 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是___________.例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11ADD A （包括边界）内运动，且//BP平面AMN ，则1PA 的长度范围为___．题型归类练1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2B 5C 6D ．222．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点．当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN //平面A 1BD 则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B 6C 2D 33．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11(BCC B 包括边界)内运动．若1PA ∥平面AMN ，则1PA 的最小值是（ ）A ．1B 5C 32D 64．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为正方体棱的中点，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 的个数是___________.5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 为AD 的中点，F 在PA 上，AP =λAF ，若PC //平面BEF ，则λ的值为_________.6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为11A B ，11B C ，11C A 的中点，2AB =，M 为BD 的中点，则下列说法正确的是______．①AF ，BE 为异面直线；②EM ∥平面ADF ；③若BE CF ⊥，则12AA =④若60BEC ∠=︒，则直线1A C 与平面11BCC B 所成的角为45°．1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A ．26B ．27C ．42D ．62．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 的中点．OE平面PAC；(1)证明：//3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，EAB FBC GCD HDA 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．EF平面ABCD；(1)证明：//(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．。

第4讲直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．确定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的状况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上全部的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不愿定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不愿定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再依据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不行以，故选C.答案 C二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点。