人教版数学高二第1课时 变化率与导数、导数的计算(导数及其应用)

变化率与导数、导数的计算（导数及其应用）
1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )
A ．1－cos1
B ．1＋cos1
C ．cos1－1
D ．－1－cos1
解析：选B.因为f ′(x )＝cos x ＋1x ，则f ′(1)＝cos1＋1.
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3
－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )
A ．0秒
B ．1秒末
C ．2秒末
D ．1秒末和2秒末
解析：选D.∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，
∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，
令v ＝0得，t 2－3t ＋2＝0，解得t 1＝1，t 2＝2.
3．下列求导数运算正确的是( )
A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2
B ．(log 2x )′＝1x ln2
C ．(3x )′＝3x log 3e
D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x
解析：选B.(x ＋1x )′＝1－1x 2，A 错；
(3x )′＝3x ln3，C 错；
(x 2cosx)′=2xcosx-x 2sinx ，D 错；
故选B.
4．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则
其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )
解析：选B.设二次函数为y ＝ax 2＋b (a <0，b >0)，则y ′＝2ax ，又∵a <0，故选B.
5．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T (1，56)处的切线与两坐标轴围成的三
角形的面积为( )
A.4918
B.4936
C.4972
D.49144
解析：选D.易知点T 为切点，由f ′(1)＝2，故切线方程为：y ＝2x －76，其在两坐标轴的截距分别为712，－76，故直线与两坐标轴围
成的三角形面积S ＝12×712×|－76|＝49144.
6．(2009年高考安徽卷)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其
中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[2，3]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，
∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)．
∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]．
∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．
∴2sin(θ＋π3)∈[2，2]．
7．已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是________．
解析：由题可解得P (1，－4)，则由y ′＝1x －4可得曲线C 在P
处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝1＝－3，故切线方程为y －(－4)＝－3(x －
1)即3x ＋y ＋1＝0.
答案：3x ＋y ＋1＝0
8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.
解析：由已知切点在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导
数为切线的斜率，所以f ′(1)＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝3.
答案：3
9．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，
a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝________.
解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，
∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f ′(0)＝0， 且－a >0， ∴a ＝－1.
故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.
答案：－13
10．求下列函数的导数：
(1)y ＝(1－x )(1＋1x
)；(2)y ＝ln x x ； (3)y ＝tan x .
解：(1)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＝1x
－x ＝x －12－x 12，
∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.
(2)y ′＝(ln x x )′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2
＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝(sin x cos x )′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x
＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x
＝1cos 2x . 11.已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .
(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；
(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．
解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－
2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，
∴所求直线方程为y ＝－2；
(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 02－3.
又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，
故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 03－3x 0＋2x 0－1
， 又x 03－3x 0＋2x 0－1
＝3x 02－3， 即x 03－3x 0＋2＝3(x 02－1)·(x 0－1)，
解得x 0＝1(舍)或x 0＝－12，
故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，
∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.
12．(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )
在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x
所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.
当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，
于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝3. 故f (x )＝x －3x .
(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在
点P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝(1＋3x 02)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 02)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0
， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0
)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面
积为S ＝12|－6x 0
||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。