第六章 参数估计

第6章 参数估计选择题1．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，X 的分布函数F(x;θ)中含未知参数，则（A ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量相同 (B) 用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不同 （C ）用矩估计法和最大似然估计法求出的θ的估计量不一定相同 (D) 用最大似然估计法求出的θ的估计量是唯一的2．设n X X X ,...,,21是来自正态总体X 的简单随机样本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均为未知参数，X =1ˆμ，12ˆX =μ，下面结论哪个是错误的。

（A ）X =1ˆμ是μ的无偏估计 (B) 12ˆX =μ是μ的无偏估计 （C ）X =1ˆμ比12ˆX =μ 有效 (D) ∑=-ni i X n 12)(1μ是σ2的最大似然估计量 3．设n X X X ,...,,21是来自正态分布总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中数学期望μ已知，则总体方差σ2 的最大似然估计量是（A ） ∑=--n i i X X n 12)(11 (B) ∑=-ni i X X n 12)(1 （C ） ∑=--n i i X n 12)(11μ (D) ∑=-n i i X n 12)(1μ 4．已知总体X 在区间[0,θ]上均匀分布，其中θ是未知参数，设n X X X ,...,,21是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，},...,max {1)(n n X X X = 是最大观测值，则下列选项错误的是 （A ）)(n X 是θ的最大似然估计量 (B) )(n X 是θ的无偏估计量 （C ）X 2是θ的矩估计量 (D) X 2是θ的无偏估计量5． 设总体X~N(μ1,σ2)，总体Y~N(μ2,σ2)，m X X X ,...,,21和n Y Y Y ,...,,21分别是来自总体X和Y 的简单随机样本，样本方差分别为2X S 与2Y S ，则σ2 的无偏估计量是 （A ）22YX S S + (B) 22)1()1(Y X S n S m -+-（C ）222-++n m S S YX (D) 2)1()1(22-+-+-n m S n S m Y X6． 设X 是从总体X 中取出的简单随机样本n X X X ,...,,21的样本均值，则X 是μ的矩估计，如果（A ）X~N(μ,σ2) (B) X 服从参数为μ的指数分布 （C ）P （X=m ）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,… (D) X 服从[0,μ]上的均匀分布 填空题1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,...,,21是取自总体X 的简单随机样本，其均值、方差分别为X ，S 2 ，如果2)32(ˆS a X a -+=λ为λ的无偏估计，则a= 。

习题三
配对号
来自总体A 旳样本
来自总体B旳样本
1
2
0
2
5
7
3
10
6
4
8
5
第六章 总体参数估计
第六章 总体参数估计
1、假定条件两个总体服从二项分布能够用正态分布来近似两个样本是独立旳2、两个总体百分比之差P1-P2在1- 置信水平下旳置信区间为
第六章 总体参数估计
【例】在某个电视节目旳收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%旳人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%旳人收看了该节目。试以95%旳置信水平估计城市与农村收视率差别旳置信区间
【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知旳广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一种消费者随机样本，并问询这些消费者是否据说过这种新型饮料。这位制造商想以10%旳误差范围和95%旳置信水平估计广告前后懂得该新型饮料消费者旳百分比之差，他抽取旳两个样本分别应涉及多少人？(假定两个样本容量相等)
10名学生两套试卷旳得分
学生编号
试卷A
试卷B
差值d
1
78
71
7
2
63
44
19
3
72
61
11
4
89
84
5
6
91
74
17
5
49
51
-2
7
68
55
13
8
76
60
16
9
85
77
8
10
55
39
16
第六章 总体参数估计
解: 根据样本数据计算得
两种试卷所产生旳分数之差旳置信区间为6.33分~15.67分

n
∑ 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5． 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ

试验中发生的概率，则对于任意的 0,
有lim P{ m p } 1
n n
这个定理说明了：当观察次数n很大时，用 某随机现象在大量观察中发生的实际频率来 代替该现象发生的真实概率差别是很小的。
定理6.3：设X
1
,
X
2
.
.
..
.
..X.
是独立同分布变量，
n
且每个随机变量服从正态分布N (, 2 ).
若有：E[(1 )2]<E[(2 )2]
1 比2 好
1为无偏估计量，3的方差最小， ˆ3的抽样分布
但MSE(ˆ2 )最小
（Var(ˆ3 )最小）
ˆ2的抽样分布
（有偏的估计量）
ˆ1的抽样分布
(无偏估计量)
E（ˆ1）E（ˆ2）

Bias(ˆ3 )
估计量
E（ˆ3）
n i 1
E( X i )

1 n
nE( X )
E( X )
E(S 2 )

E( 1 n 1
n i 1
(Xi

X
)2 )

1 [E n 1
n i 1
(Xi

X
)2]
D(X )
如果统计量为Sn2

1 n
n i1
(Xi

X
)2 , 则E(Sn2 )

D( X
)
此时，E(Sn2
我们把被观察对象的全体称作总体，把从总 体中按照随机原则抽出的个体组成的小群体 称为样本，而样本中所包含的个体数称为样 本容量。
1.总体和样本
设X是一个随机变量，X1，X2 ,......,Xn是一组相互独立与X 具有相同分布的随机变量，称X为总体.X1，X2 ,......,Xn为 来自总体的简单随机样本，简称样本，n为样本容量， 称样本观察值为样本值。