质心运动定理_动量定理
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质心 C 沿 x = l cosϕ0 直线向下运动。 设任意时刻 A 的坐标为 A(x, y) ，则：
y A
x = l cosϕ0 + l cosϕ x − l cosϕ0 = l cosϕ y = 2l sinϕ
C
ϕ0
x
B
NA
y = l sinϕ 2 消去ϕ 得：
(x
− l cosϕ0 )2
+
1
解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆 作平面运动。
y
P3
P2
→
P1 ωt
ω
→
v C3r
→
v C1
v C2r
x
O
→
→
→
vC 2 = vC1 + vC2C1
vC2r = lω
vC2x = lω cosωt − vC1
→
→
→
vC3 = vC1 + vC3C1
∑ Fix = 0 ，
y
设 B 船向左移动了 S 米， 则 A 船向右移动了 6－S 米。 由质点系的动量定理得：
[mAvA－(mB + m人 )vB ]－0＝Fxt [mAvA－(mB + m人 )vB ]＝0
OA
B
x
x0
6m
mAvA = (mB + m人 )vB
mAvA = (mB + m人 )vB
mA
6− t
s
=
(mB
+
m人 )
s t
mA (6 − s) = (mB + m人 )s
2.4(6 − s) = (1.3 + 0.5)s
y
O
A
B
x
6−s
s
2.4(6 − s) = (1.3 + 0.5)s
4(6 − s) = 3s s =动机重 P1 ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长 2L ，重 P2 ，一端与 电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重 P3 的物体，设机轴的角速度为 ω （ ω 为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
，即：
Fx
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
dPy dt
= Fy
Fy
=
dPy dt
=
d eωW cosωt eω 2W sin ωt
(
)=−
dt
g
g
= − W ω 2e cosωt ，即 g
Fx
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
[习题 10-5] 大直角锲块 A 重 P，水平边长为 a ，放置在光滑水平面上；小锲块 B 重 Q ，
+0
=
(W
+ P)eω sin ωt g
Weω cosωt
Weω cosωt
Py = P1y + P2 y + P3y =
g
+0+0=
g
dPx dt
=
Fx
+ FN
−W
−P−G
式中， FN = W + P + G ，故：
Fx
=
d [(W dt
+
P)eω sin ωt ] g
=
eω 2 (W
+ P) cosωt g
4a + 80 − 80 xC2 =
4b 3 + 3 + 40 + mB (b + c) + 20mB
4 + 2 + mB
4a + 120 − 80 xC2 =
3
+
4b 3
+
mB
(b
4 + 2 + mB
+ c) + 20mB
，由 xC2
=
xC1 得：
4b
4b
4a +
3
+ mB (b + c) 4a + 120 − 80 =
瞬时轴 O 约束力（ OC = 4R ）。 3π
解： 在法向应用牛顿第二定理得：
man = Fn = Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sinϕ
m ⋅ OC ⋅ ω 2 = Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sin ϕ
4Rmω 2 3π
= Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sin ϕ
xC2 =
220
A
xC 2
=
220c + 100b − 80 220
3
11c + 5b − 4 3
xC2 =
11
因为质心守恒，所以
xC1 = xC 2 ，即：
y
60 0
P1
x
O
P2
qb
c
b
11a + 5b − 4 = 11c + 5b − 4 3
11
11
11a + 5b − 4 = 11c + 5b − 4 3
第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
[习题 10-1] 船 A、B 的重量分别为 2.4kN 及1.3kN ，两船原处于静止间距 6m 。设船 B 上 有一人，重 500N ，用力拉动船 A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，
船 B 移动的距离。 解：以船 A、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：
xC2 =
3(P + Q)
xC 2
=
Pa − 3Ps + 3Qa − 3Qs − Qb 3(P + Q)
，故：
Pa + 2bQ Pa − 3Ps + 3Qa − 3Qs − Qb
=
3(P + Q)
3(P + Q)
2bQ = −3(P + Q)s + 3Qa − bQ
3(P + Q)s = 3Qa − 3bQ
vC2 = e sin ωt ，故：
P2
=
P g vC2
=
Peω sin ωt g
当偏心轮转动时，机座的动量为：
GG P2 = g vC3 = g × 0 = 0
质点系的动量为：
5
→ →→→
P = P1 + P2 + P3
Px
=
P1x
+
P2 x
+
P3x
Weω sin ωt ==
g
+
Peω sin ωt g
N1
N2
a
b
c
C
mAg θ
mC g
20 3
B
mB g x
N1
20
a
N2
b
c
解：以 A、B、C 构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力，
所以 aCx = 0 ，即：
8
dvCx = 0 dt
vCx = C1
vCx |t=0 = C1 = 0 ，故：
vCx = 0
dxC = const ，即质心守恒： dt
xC2 = xC1
xC1
=
mAa
2b + mC 3 + mB (b mA + mB + mC
+
c)
xC1
=
4a
+
2 × 2b 3
4+2
+ +
mB (b mB
+
c)
=
4a
+
4b
3 6
+ +
mB mB
(b
+
c)
2b
4(a + 20 − 20 xC2 =
3) + 2( 3 + 20) + mB (b + c + 20) 4 + 2 + mB
( y)2 2
=
l
，为一椭圆。
y
C ϕ B
A(x, y) x
NA
[习题 10-7] 图示系统中， mA = 4kg ， mC = 2kg ，θ = 300 。设当 A 在斜面上作无初速地
向下滚过 40cm 时，斜面在光滑的水平面上移过 20cm 。求 B 的质量。
y A
y A
C
mAg θ
mC g
B
mB g x
sin ωt
这就是电动机的水平运动方程。
[习题 10-3] 浮动起重机起吊重 P1 = 20kN 的重物，起重机重 P2 = 200kN ，杆长 OA = 8m ，
开始时杆与铅垂位置成 600 角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆 OA 转到与铅垂位置成
300 角时，求起重机的位移。 A
解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。
水平边长为 b （ a > b ），如图放置在 A 上，当小锲块 B 完全下滑至图中虚线位置时，求大
锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在
水平方向不受力，即 Fx = 0 ，所以： b
maCx = Fx = 0
B
aCx = 0 dvC = 0 dt
A
a
6
vC = C1 vC |t=0 = C1 = 0 ，故： vC = 0
3
质心 C 沿 x = l cosϕ0 直线向下运动。 设任意时刻 A 的坐标为 A(x, y) ，则：
y A
x = l cosϕ0 + l cosϕ x − l cosϕ0 = l cosϕ y = 2l sinϕ
C
ϕ0
x
B
NA
y = l sinϕ 2 消去ϕ 得：
(x
− l cosϕ0 )2
+
1
解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆 作平面运动。
y
P3
P2
→
P1 ωt
ω
→
v C3r
→
v C1
v C2r
x
O
→
→
→
vC 2 = vC1 + vC2C1
vC2r = lω
vC2x = lω cosωt − vC1
→
→
→
vC3 = vC1 + vC3C1
∑ Fix = 0 ，
y
设 B 船向左移动了 S 米， 则 A 船向右移动了 6－S 米。 由质点系的动量定理得：
[mAvA－(mB + m人 )vB ]－0＝Fxt [mAvA－(mB + m人 )vB ]＝0
OA
B
x
x0
6m
mAvA = (mB + m人 )vB
mAvA = (mB + m人 )vB
mA
6− t
s
=
(mB
+
m人 )
s t
mA (6 − s) = (mB + m人 )s
2.4(6 − s) = (1.3 + 0.5)s
y
O
A
B
x
6−s
s
2.4(6 − s) = (1.3 + 0.5)s
4(6 − s) = 3s s =动机重 P1 ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长 2L ，重 P2 ，一端与 电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重 P3 的物体，设机轴的角速度为 ω （ ω 为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
，即：
Fx
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
dPy dt
= Fy
Fy
=
dPy dt
=
d eωW cosωt eω 2W sin ωt
(
)=−
dt
g
g
= − W ω 2e cosωt ，即 g
Fx
=
W
+ g
P ω 2e cosωt
[习题 10-5] 大直角锲块 A 重 P，水平边长为 a ，放置在光滑水平面上；小锲块 B 重 Q ，
+0
=
(W
+ P)eω sin ωt g
Weω cosωt
Weω cosωt
Py = P1y + P2 y + P3y =
g
+0+0=
g
dPx dt
=
Fx
+ FN
−W
−P−G
式中， FN = W + P + G ，故：
Fx
=
d [(W dt
+
P)eω sin ωt ] g
=
eω 2 (W
+ P) cosωt g
4a + 80 − 80 xC2 =
4b 3 + 3 + 40 + mB (b + c) + 20mB
4 + 2 + mB
4a + 120 − 80 xC2 =
3
+
4b 3
+
mB
(b
4 + 2 + mB
+ c) + 20mB
，由 xC2
=
xC1 得：
4b
4b
4a +
3
+ mB (b + c) 4a + 120 − 80 =
瞬时轴 O 约束力（ OC = 4R ）。 3π
解： 在法向应用牛顿第二定理得：
man = Fn = Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sinϕ
m ⋅ OC ⋅ ω 2 = Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sin ϕ
4Rmω 2 3π
= Fy sin ϕ − Fx cosϕ − mg sin ϕ
xC2 =
220
A
xC 2
=
220c + 100b − 80 220
3
11c + 5b − 4 3
xC2 =
11
因为质心守恒，所以
xC1 = xC 2 ，即：
y
60 0
P1
x
O
P2
qb
c
b
11a + 5b − 4 = 11c + 5b − 4 3
11
11
11a + 5b − 4 = 11c + 5b − 4 3
第十章 质心运动定理 动量定理 习题解
[习题 10-1] 船 A、B 的重量分别为 2.4kN 及1.3kN ，两船原处于静止间距 6m 。设船 B 上 有一人，重 500N ，用力拉动船 A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，
船 B 移动的距离。 解：以船 A、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：
xC2 =
3(P + Q)
xC 2
=
Pa − 3Ps + 3Qa − 3Qs − Qb 3(P + Q)
，故：
Pa + 2bQ Pa − 3Ps + 3Qa − 3Qs − Qb
=
3(P + Q)
3(P + Q)
2bQ = −3(P + Q)s + 3Qa − bQ
3(P + Q)s = 3Qa − 3bQ
vC2 = e sin ωt ，故：
P2
=
P g vC2
=
Peω sin ωt g
当偏心轮转动时，机座的动量为：
GG P2 = g vC3 = g × 0 = 0
质点系的动量为：
5
→ →→→
P = P1 + P2 + P3
Px
=
P1x
+
P2 x
+
P3x
Weω sin ωt ==
g
+
Peω sin ωt g
N1
N2
a
b
c
C
mAg θ
mC g
20 3
B
mB g x
N1
20
a
N2
b
c
解：以 A、B、C 构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力，
所以 aCx = 0 ，即：
8
dvCx = 0 dt
vCx = C1
vCx |t=0 = C1 = 0 ，故：
vCx = 0
dxC = const ，即质心守恒： dt
xC2 = xC1
xC1
=
mAa
2b + mC 3 + mB (b mA + mB + mC
+
c)
xC1
=
4a
+
2 × 2b 3
4+2
+ +
mB (b mB
+
c)
=
4a
+
4b
3 6
+ +
mB mB
(b
+
c)
2b
4(a + 20 − 20 xC2 =
3) + 2( 3 + 20) + mB (b + c + 20) 4 + 2 + mB
( y)2 2
=
l
，为一椭圆。
y
C ϕ B
A(x, y) x
NA
[习题 10-7] 图示系统中， mA = 4kg ， mC = 2kg ，θ = 300 。设当 A 在斜面上作无初速地
向下滚过 40cm 时，斜面在光滑的水平面上移过 20cm 。求 B 的质量。
y A
y A
C
mAg θ
mC g
B
mB g x
sin ωt
这就是电动机的水平运动方程。
[习题 10-3] 浮动起重机起吊重 P1 = 20kN 的重物，起重机重 P2 = 200kN ，杆长 OA = 8m ，
开始时杆与铅垂位置成 600 角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆 OA 转到与铅垂位置成
300 角时，求起重机的位移。 A
解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。
水平边长为 b （ a > b ），如图放置在 A 上，当小锲块 B 完全下滑至图中虚线位置时，求大
锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在
水平方向不受力，即 Fx = 0 ，所以： b
maCx = Fx = 0
B
aCx = 0 dvC = 0 dt
A
a
6
vC = C1 vC |t=0 = C1 = 0 ，故： vC = 0
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