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张量分析

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张量分析

张量分析


利用δij定义，可以验证：
＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3 +δ31dx3dx1+δ32dx3dx2+ δ33dx3dx3
＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3 ＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi
将矢量r向新坐标轴i’ 投影，即ei’ 点乘上式两边：
新坐标用老坐标表示的表达式：
类似地，将矢量r向旧坐标轴i 投影(即• ei )，
老坐标用新坐标表示的表达式： 以上就是矢量分量在不同坐标轴间的转换关系式
【设新【老书坐上标用原的点原重图合】】
新老坐标转换关系的矩阵形式：
三、[ β]阵的互逆关系
◈ 矩阵形式推导—— 所以[β]是正交矩阵，其行列式为
设空间任意点P的矢径为r。它在笛卡儿坐标系中的分解式为：
当一个坐标任意变化；另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹 称为坐标线。过每个空间点有三根坐标线(一般为曲线），在笛 卡儿坐标系中各坐标线都和相应的坐标轴平行。当坐标变化时， 矢径的变化为：
用矢径对坐标的偏导数定义的三个矢量
称为基矢量。空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。
可写成：
实体记法：
F= ma
分量记法(旧) ：
Fk = mak
分解式记法：
Fk ek= mak ek
分量记法(新) ：
∑: 经坐标变换,牛顿第二定律表达式的形式保持不变
每项都由张量组成的方程称为张量方程，它与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固 有特性和普遍规律。采用适用于任意坐标系的张量方程普遍形式，通过坐标转换规律可直接写出该方程 在其他坐标系中的特定表达形式。
张量分析第三章

张量分析第三章

s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
张量分析——精选推荐

张量分析——精选推荐

《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。

*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。

张量分析第一章

张量分析第一章


第三章 连续介质运动学
4
主要掌握:物质坐标与空间坐标 物质导数 随波导数,速度张 主要掌握 物质坐标与空间坐标,物质导数 随波导数 速度张 物质坐标与空间坐标 物质导数,随波导数 速度分解定理等. 量,速度分解定理等 速度分解定理等
第四章 连续介质力学基本定律
三大守恒定律:质量守恒 动量守恒 能量守恒,状态方程 三大守恒定律 质量守恒,动量守恒 能量守恒 状态方程 熵 质量守恒 动量守恒,能量守恒 状态方程,熵 不等式,热力学两大定律 不等式 热力学两大定律. 热力学两大定律
ai = β ji a
' 11 1
' j
' 21 2
r r a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ai bi
' 31 3
a1 = β a + β a + β a
aii = a11 + a22 + a33
14
几个注意事项: 几个注意事项 (1)求和指标不区分该指标表示的各个分量 而是 求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是 求和指标不区分该指标表示的各个分量 一种约定的求和标记. 一种约定的求和标记
6
第一章
重点掌握: 重点掌握:
连续介质力学的数学基础
1. 张量的概念 满足坐标变换规律 运算法则 2 .证明一些恒等式 .证明一些恒等式 .梯度 散度, 梯度, 3 .梯度,散度,旋度等概念
7
第一章
连续介质力学的数学基础
1.1 矢量 1.1.1矢量的概念 矢量的概念 在三维欧几里得空间内, 在三维欧几里得空间内 具有大小和方向 线段. 的有向 线段 矢量的表示 粗体字或字母上箭头 矢量相等 大小和方向相同 大小为1 单位矢量 大小为 大小为0 零矢量 大小为
张量分析课件-1.7 张量的代数运算

张量分析课件-1.7 张量的代数运算


且 T ij S ij U ij ,
1.7.3 标量与张量相乘
若kT=U，则
kT ij U ij ,
且 kT ij U ij ,
张量相减：T－S=T + (－1)S
1.7.4 张量与张量并乘
若T，S 分别是m阶和n阶张量，则TS=U是m+n 阶张量。 U的分量指标的前后顺序和上下位置都与TS 的指标顺序和 上下位置相一致。例如


·

k l rs t ij rs l k t T S Tij g g g g S g g g T S δ g g g g g kl i j t r s kl t r i j s ls k t ij s k t Tij S g g g g g V g g g g g V kl t i j s k t i j s
·
S T T
·
ij kl
l k ij k i k gi g j g k g l Tij δ g g T g g S g g kl j i kj i k i
·
1.7.6 张量的点积
点积：若T，S分别是m阶和n阶张量，则 阶张量。例如： ·
TS U 是m+n－2
·
设S是T的转置。则有 1 A T S 为对称张量； 对称化运算： 2 1 反对称化运算： B T S 为反对称张量。 2
1.7.9 张量的商法则
设有一组数的集合（例如T（i, j, k, l, m）），如 果它满足对于任意一个q阶张量S（例如q=2，二阶张
量Slm）的内积均为一个p阶张量（例如p=3，三阶张量 Uijk），即在任意坐标系内以下等式均成立
t
张量理论与张量分析的应用

张量理论与张量分析的应用


计算方法：通过对张量的分量进行 变换和组合，可以计算出张量的对 称性。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分类：根据对称性的不同，可以将 张量分为不同类型，如对称张量、 反对称张量等。
应用：张量的对称性分析在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，如 弹性力学、流体力学等。
定义：特征值是线性变换下的不变量，特 征向量是线性变换下的向量。
描述张量在环境科学中的具体应用场景 介绍张量在环境科学中的重要性和作用 分析张量在环境科学中的优势和局限性 探讨张量在环境科学中的未来发展方向
汇报人：XX
添加项标题
张量分析在数据科学中的应用：利用张量分析的方法对多维数 据进行处理、分析和挖掘
添加项标题
张量在数据降维中的应用：通过张量分解等方式降低数据的维 度，提高处理效率和可解释性
添加项标题
张量在数据分类和聚类中的应用：利用张量表示的数据结构对 数据进行分类和聚类，提高分类和聚类的准确性和稳定性
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
张量是一个数学概 念，用于描述物理 现象中的多维数据
张量具有标量、向 量和矩阵等基本数 学对象的性质
张量可以表示物理 量在不同参考系下 究电磁场、电流 密度等物理量
振动分析：用于研 究结构的振动特性、 频率响应等
金融数据分析：利用张量进行多维数据分析，挖掘金融市场的潜在规律和趋势。 风险评估：利用张量模型评估金融市场的风险，为投资决策提供支持。 预测模型：利用张量构建时间序列预测模型，预测经济指标和金融市场的走势。 营销策略：利用张量分析消费者的购买行为和偏好，制定更精准的营销策略。
张量分析课件

张量分析课件


P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量

张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量

3 J1 T 11 T 2 T 2 3
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2

2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3

3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2
张量分析-第1讲LJ

张量分析-第1讲LJ


a2 F3 a3 F2 a c b1 a b c1 a3 F1 a1 F3 a c b2 a b c2 a1 F2 a2 F1 a c b3 a b c3
所以有： a b c a c b a b c
g1和g 2
g1和g 2 不是单位矢量，即它们有量纲的， 一般地说，
其长度也不为单位长度。此外它们也并不正交。 矢量F可以在 g1和g 2 上分解:
F F g1 F g 2
1 2
(平行四边形法则)
则有: F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
e2 b2 c2
e3
e3 b3 b2 c3 b3 c2 e 1 b3 c1 b1c3 e 2 b1c2 b2 c1 e 3 c3
b3 a 2 F3 a3 F2 e 1 a3 F1 a1 F3 e 2 a1 F2 a 2 F1 e 3 F3
j 1
F2 ' e 2 ' e1 F1 e 2 ' e 2 F2 e 2 ' e 3 F3 2 ' j F j
j 1 3
3
F3' e 3' e1 F1 e 3' e 2 F2 e 3' e 3 F3 3' j F j
j 1
矢量场函数的散度: 矢量场函数的旋度:
i F x Fx j y Fy
Fx Fy Fz F z y x
k Fz Fy Fx Fz Fy Fx i k j y z y z z x x Fz
张量分析第五章

张量分析第五章


r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时， ( x1, x 2 , x 3 ) ( x1 , x2 , x3 )称为 x ∈V的直角坐标。显然 x ∈V的曲线坐标 ( x i ) 随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理 、力学问题，或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的 曲线坐标，其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同 曲线坐标描述有的更为直接，有的可能会很复杂。当然对 具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题 进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标（本质上 不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的）。正是为了这 一目的，本章将对曲线坐标进行讨论。
( xi i j ) x i
x1 x2 x3 i i1 i i2 i i3 ; (i 1, 2,3) x x x
r1, r2, r3称为参考坐标系{o；i1, i2, i3}中位置矢量x处的局部 基。{ x；r1, r2, r3}称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲 线坐标系。 例2： 试求例1曲线坐标（球坐标）的局部基矢量。 解： x x sin x cos x ; x x sin x sin x ; x x cos x ∵ x x x x r i i (sin x cos x )i (sin x sin x )i (cos x )i ∴ x x x x


1 2
con st a
x2
x1 A x2
( x )
1
2
( x2 x3
1 2 2 )

o
const b
x1
x3
( x1 ) 2 ( x 2 ) 2 (bx3 ) 2 0
这是{o；i1, i2, i3}坐标系内顶点在o的锥面。 当 x 3 const 时：
张量分析第四章

张量分析第四章


的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
Γ
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
定义 则
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =

数学中的张量分析方法

数学中的张量分析方法在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。

它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。

本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。

一、张量的定义和性质1. 张量的定义张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。

在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。

高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。

2. 张量的性质张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。

这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。

二、张量的运算法则1. 张量的加法和减法张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。

要求参与运算的张量具有相同的维度。

2. 张量的数乘张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。

数乘并不改变张量的维度。

3. 张量的张量积张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到的新张量。

它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。

4. 张量的缩并运算张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新的张量中。

它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。

三、张量的应用举例1. 物理学中的应用张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力学中的麦克斯韦张量等。

它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。

2. 工程学中的应用张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。

它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。

3. 计算机科学中的应用张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。

例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。

4. 经济学中的应用张量在经济学中用于描述多个经济变量之间的关系。

它可以用来分析供求关系、生产函数等经济现象。

结语：张量分析作为一种重要的数学工具，为我们研究和解决各种问题提供了强有力的帮助。

通过对张量的定义、性质和运算法则的了解，我们可以更好地理解和应用张量，进而推动科学的发展和进步。

张量分析

第一节 第二节 第三节
问题的提出 矢量的基本运算 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 自然法则与坐标无关， 分析，但也掩盖了物理本质； 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 L xn
记作 xi (i = 1,2,L n )
A1 δ ij Ai = δ 1 j A1 + δ 2 j A2 + δ 3 j A3 = A2 A 3 = Aj
j =1 j=2 j=3
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dxi dxi = δ ij dxi dx j
性质： 性质： δijδij = δii = δ11 +δ22 +δ33 = 3
称为指标； 下标符号 i 称为指标；n 为维数 可以是下标， 指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标， 也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号， 定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
如：
2
a ji xi = b j
aki xi = b j aki xi = bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 克罗内克（ ） 定义： 定义
1 δ ij = 0
由定义
当i = j 当i ≠ j
1 0 0 δ11 δ12 δ13 I = 0 1 0 = δ 21 δ 22 δ 23 = δ ij 0 0 1 δ 31 δ 32 δ 33

第1章 张量分析基础剖析

张量分析与连续介质力学教材：《The Mechanics and Thermodynamics of Continua》M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010教学参考书：1、《An Introduction to Continuum Mechanics》, M.E. Gurtin, AcademicPress, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，19973、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，20034、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002x vy第一章张量分析基础第一节矢量和张量代数一、矢量代数本课程只在三维欧氏空间 内讨论连续介质力学的基础原理。

1、点——反应一定的空间位置，由x表示2、矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用v来表示。

（两点间的距离可由一矢量表示）（点x和矢量v之和是另一个点y）3、矢量的点积和叉积1）点积（θ为两个矢量间的夹角）u 表示矢量的大小，为一标量，有u u u ⋅=。

2）叉积w v u =⨯ （为一新的矢量）v u ⨯表示由u 和v 构成的平行四边形的面积。

θsin v u v u =⨯且u w ⊥，v w ⊥3）混合积()w v u ⨯⋅()w⋅表示由u，v和w三个矢量围成的体的体积。

vu⨯●如果该体的体积不为零，则称u，v和w线性无关。

●如果对于不为零的常数a，b，c，有：u cabv+w=+则称u，v和w线性相关。

不满足线性相关的矢量则是线性无关的。

4、矢量空间及其性质由欧氏空间ε中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间ν。

如果u，v和w是线性无关的，则{}wu,构成矢量空间ν的基，即ν中任一矢量v,都可以表示为：w v u γβα++=a1） 如果()0>⨯⋅w v u ，则基{}w v ,u,是正向的（右手法则）。

张量分析与应用

张量分析与应用张量分析是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

张量在物理学中具有向量和矩阵所没有的更高维度的特性，能够更好地描述物质在空间中的运动和变形。

本文将介绍张量的基本概念、性质和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用。

一、张量的基本概念张量是一个多维数组，其元素在坐标系中按照多维坐标进行索引。

在数学上，张量可以表示为一个多维矩阵，其元素用一个或多个下标进行标记。

例如，二阶张量可以表示为一个矩阵，三阶张量可以表示为一个立体矩阵。

张量的阶数取决于其所在空间的维度，通常用字母T进行表示。

二、张量的性质1. 张量的坐标变换规律：张量的坐标变换是其重要性质之一。

当坐标系发生变换时，张量的分量也会相应发生变化，但其物理性质不变。

这使得张量成为描述物体运动和形变的有力工具。

2. 张量的对称性：张量的对称性是其另一个重要性质。

对称张量在坐标变换时具有特殊的变换规律，可以简化计算，提高效率。

例如，应力张量和应变张量在固体力学中具有重要应用。

三、张量在物理学中的应用1. 应力张量：在固体力学中，应力张量描述了物体内部受力情况，并对物体的变形产生影响。

应力张量的各向同性、各向异性等性质在材料研究和工程设计中具有重要意义。

2. 电磁场张量：在电磁学中，电磁场可以用张量形式表示，统一了电场和磁场的描述。

电磁场张量的不变性在相对论中有着重要的物理意义。

四、张量在工程学中的应用1. 应变张量：在工程力学中，应变张量描述了物体的变形情况，对结构强度和稳定性具有重要意义。

工程师通过对应变张量的分析，可以有效设计和优化结构。

2. 热传导张量：在热传导领域，热传导张量描述了物体内部的热传导性能。

研究热传导张量可以帮助工程师设计更高效的散热系统。

五、张量在计算机科学中的应用1. 神经网络中的张量：在深度学习领域，张量被广泛应用于神经网络的表示和计算。

神经网络中的权重和输入输出都可以表示为张量，通过张量运算可以实现各种复杂的模型。

第五章 张量分析

第五章 张量分析§5.1 克里斯托夫（Christoffel ）符号及其性质 短程线一、克里斯托夫符号1、 直角坐标系（笛卡儿直角和斜角坐标系）中向量的微分。

对矢量u i iu g u = 直线坐标系中i g 是常量，故i j j i j x u i g dx u dx gdu ji ,==∂∂ (5-1)*直线坐标系里，矢量的微分仅取决于它的分量微分，与基矢量无关。

2、 曲线坐标系中矢量的导数，克里斯托夫符号j i ii i j j i i j g v g v g v v ,,,,)(+== (5-2)或 ij iij i j ii j g v g v g v v ,,,,)(+== (5-3) 矢量的导数仍为矢量，将矢量导数再同基矢量表示k kij kijk j i g g g Γ=Γ=, (5-4)ijk Γ,k ij Γ——克里斯托夫符号。

（第一类和第二类克里斯托夫符号）ijk l k ijl k l ijl k j i g g g g Γ=Γ=⋅Γ=⋅δ, (5-5) k ij k l l ij k l l ij k j i g g g g Γ=Γ=⋅Γ=⋅δ, (5-6)二、 克里斯托夫符号的性质1、 克里斯托夫符号第三个指标的上升和下降与矢量相同。

由（5－4）l k kij l kijk g g g g ⋅Γ=⋅Γkl kij ijl g Γ=Γ⇒ (5-7) l ij klijk g Γ=Γ (5-8)但前两个指标不能这样升降，它不是三阶张量。

2、 克里斯托夫符号关于头两个指标是对称的。

i i i r xrg ,=∂∂=i j ji ij j i g r r g ,,,,=== (5-9)因此 ljil l ijl g g Γ=Γ l lji l l ij g g Γ=Γ分别点乘k g 和k g ， 得jik ijk Γ=Γ (5-10)kjik ij Γ=Γ (5-11) 3、 克里斯托夫符号不是张量k j i ijk xrx x r ∂∂⋅∂∂∂=Γ2''2''''2'''''''''2''')()(j i j k k k j k kj ji ik j i k kk j j j i k j i k j i k j i x x x x x x r x r x xx x x x x r x x r x x x r x x x r x xr x r x x r x x r ∂∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂∂=∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂⋅∂∂∂=Γ''2'''''''j i jk k jk k k j j i i ijk k j i x x x g ∂∂∂+Γ=Γββββ (5-12)克里斯托夫符号不是张量。

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() ( ),ij xi x j
2
uk ,ij
uk xi x j
2
3.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j=1
j 为自由标
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变

Ti ' j '
i i j j Tij
' '
符合 i' j' k' l' i' i j' j k' k ijkl ,为一新张量
交换律：
A B B A
结合律：
A ( B C ) ( A B) C
2.矢量与张量的点积
T Tij ei e j
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1

e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'

' x1
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则：i' j α

cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos(e2' , e1 ) cos(e2' , e2 ) sin cos
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：

Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定i j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
表示的是以 a, b, c 为边长的平行六面体的体积。
4.并矢（并乘）
定义：
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
展开共9项，
ei e j
可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
§A－3 坐标变换 与张量的定义
1.平面笛卡儿坐标系旋转变换
x2
' x2 ' x1
如：
a ji xi bj
aki xi b j aki xi bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 定义：
1 ij 0
由定义
当i j 当i j
1 0 0 11 12 13 I 0 1 0 21 22 23 ij 0 0 1 31 32 33
x1' 1'1 1' 2 x1 x1 () 于是： x 2 '1 2 ' 2 x2 i ' j x2 2'
x1 11' 同样： x2 21'
2. 三维情况
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei' e j' i' j'
x x j e j x j' e j' x j e j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j , ei' ) x j' j' i' xi'
xi' i' j x j
自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijklei e j ek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
讨论
T Tij ei e j Tk 'l' ek' el'
1
上述表达式具有不变性特征；
也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13 x xy xz ～ ij (i, j 1,2,3)～ 21 22 23 y yz yx 31 32 33 zx zy z
2
3
张量分量 Tij 与坐标系有关；
Tij 在坐标变换时遵循相同的变换规律
§A－4 张量代数
以二阶张量为例说明 1. 加减法 只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量 如：张量 A,B A Aijei e j Ai' j' ei' e j'
B Bijei e j Bi' j' ei' e j'
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a33
一．若干约定 哑标和自由标
1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的 指标，表示对该指标在它的取值范围内求和， 并称这样的指标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2,n) n a1 x1 a2 x2 an xn i 1 ai xi
又如：
ii jj 11 22 33 x y z
2
任意两矢量的点积
a b ai ei b j e j aib j δij aibi a j b j ( A2 3)
2.叉积
1
基矢量的叉积
ei e j ei j k ek
( A2 4 )
由于
ei δi k ek e j δ j k ek
δi1 δi 2 ei e j δ j1 δ j 2 e1 e2
同理
xi ij' x j'
同二维问题，可得
ij j k ik
' '
（正交性）
可试证：
i j jk i k
' '
' '
3. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
i ' j 'k 'l ' i 'i j ' j k 'k ijkl ijkl ii' jj' kk ' ll' i ' j 'k 'l '
故也有定义
( A2 7)
ei j k (ei e j ) ek ei (e j ek )
2
矢量混合积
(a b) c ei j k ai b j ek cr er ei j k ai b j cr δk r ei j k ai b j ck ( A2 6)
第一节 第二节 第三节
问题的提出 矢量的基本运算 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 xn
记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
ei j k a1i a2 j a3k ei j k ai1a j 2ak 3
( A1 7 )
ｅ-δ恒等式
ek i j ek s t i s j t j s i t
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A2 3 j A3 A2 A 3 Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxi dxi ijdxi dx j
性质：
ij ij ii 11 22 33 3 Aij ij Aii Ajj A11 A22 A33 Aij jk Aik ij jk ik ij jk kl il
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)