张量分析

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张量分析

利用δij定义，可以验证：
＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3 +δ31dx3dx1+δ32dx3dx2+ δ33dx3dx3
＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3 ＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi
将矢量r向新坐标轴i’ 投影，即ei’ 点乘上式两边：
新坐标用老坐标表示的表达式：
类似地，将矢量r向旧坐标轴i 投影(即• ei )，
老坐标用新坐标表示的表达式：以上就是矢量分量在不同坐标轴间的转换关系式
【设新【老书坐上标用原的点原重图合】】
新老坐标转换关系的矩阵形式：
三、[ β]阵的互逆关系
◈ 矩阵形式推导—— 所以[β]是正交矩阵，其行列式为
设空间任意点P的矢径为r。它在笛卡儿坐标系中的分解式为：
当一个坐标任意变化；另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹称为坐标线。过每个空间点有三根坐标线(一般为曲线），在笛卡儿坐标系中各坐标线都和相应的坐标轴平行。当坐标变化时，矢径的变化为：
用矢径对坐标的偏导数定义的三个矢量
称为基矢量。空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。
可写成：
实体记法：
F= ma
分量记法(旧) ：
Fk = mak
分解式记法：
Fk ek= mak ek
分量记法(新) ：
∑: 经坐标变换,牛顿第二定律表达式的形式保持不变
每项都由张量组成的方程称为张量方程，它与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。采用适用于任意坐标系的张量方程普遍形式，通过坐标转换规律可直接写出该方程在其他坐标系中的特定表达形式。

张量分析第三章

s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ

张量分析——精选推荐

《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节矢量与张量代数一、矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。

*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。

张量分析第一章

第三章连续介质运动学
4
主要掌握:物质坐标与空间坐标物质导数随波导数,速度张主要掌握物质坐标与空间坐标,物质导数随波导数速度张物质坐标与空间坐标物质导数,随波导数速度分解定理等. 量,速度分解定理等速度分解定理等
第四章连续介质力学基本定律
三大守恒定律:质量守恒动量守恒能量守恒,状态方程三大守恒定律质量守恒,动量守恒能量守恒状态方程熵质量守恒动量守恒,能量守恒状态方程,熵不等式,热力学两大定律不等式热力学两大定律. 热力学两大定律
ai = β ji a
' 11 1
' j
' 21 2
r r a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ai bi
' 31 3
a1 = β a + β a + β a
aii = a11 + a22 + a33
14
几个注意事项: 几个注意事项 (1)求和指标不区分该指标表示的各个分量而是求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是求和指标不区分该指标表示的各个分量一种约定的求和标记. 一种约定的求和标记
6
第一章
重点掌握: 重点掌握:
连续介质力学的数学基础
1. 张量的概念满足坐标变换规律运算法则 2 .证明一些恒等式 .证明一些恒等式 .梯度散度, 梯度, 3 .梯度,散度,旋度等概念
7
第一章
连续介质力学的数学基础
1.1 矢量 1.1.1矢量的概念矢量的概念在三维欧几里得空间内, 在三维欧几里得空间内具有大小和方向线段. 的有向线段矢量的表示粗体字或字母上箭头矢量相等大小和方向相同大小为1 单位矢量大小为大小为0 零矢量大小为

张量分析课件-1.7 张量的代数运算

且 T ij S ij U ij ,
1.7.3 标量与张量相乘
若kT=U，则
kT ij U ij ,
且 kT ij U ij ,
张量相减：T－S=T + (－1)S
1.7.4 张量与张量并乘
若T，S 分别是m阶和n阶张量，则TS=U是m+n 阶张量。 U的分量指标的前后顺序和上下位置都与TS 的指标顺序和上下位置相一致。例如

·

k l rs t ij rs l k t T S Tij g g g g S g g g T S δ g g g g g kl i j t r s kl t r i j s ls k t ij s k t Tij S g g g g g V g g g g g V kl t i j s k t i j s
·
S T T
·
ij kl
l k ij k i k gi g j g k g l Tij δ g g T g g S g g kl j i kj i k i
·
1.7.6 张量的点积
点积：若T，S分别是m阶和n阶张量，则阶张量。例如： ·
TS U 是m+n－2
·
设S是T的转置。则有 1 A T S 为对称张量；对称化运算： 2 1 反对称化运算： B T S 为反对称张量。 2
1.7.9 张量的商法则
设有一组数的集合（例如T（i, j, k, l, m）），如果它满足对于任意一个q阶张量S（例如q=2，二阶张
量Slm）的内积均为一个p阶张量（例如p=3，三阶张量 Uijk），即在任意坐标系内以下等式均成立
t

张量理论与张量分析的应用

计算方法：通过对张量的分量进行变换和组合，可以计算出张量的对称性。
添加标题
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添加标题
添加标题
分类：根据对称性的不同，可以将张量分为不同类型，如对称张量、反对称张量等。
应用：张量的对称性分析在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如弹性力学、流体力学等。
定义：特征值是线性变换下的不变量，特征向量是线性变换下的向量。
描述张量在环境科学中的具体应用场景介绍张量在环境科学中的重要性和作用分析张量在环境科学中的优势和局限性探讨张量在环境科学中的未来发展方向
汇报人：XX
添加项标题
张量分析在数据科学中的应用：利用张量分析的方法对多维数据进行处理、分析和挖掘
添加项标题
张量在数据降维中的应用：通过张量分解等方式降低数据的维度，提高处理效率和可解释性
添加项标题
张量在数据分类和聚类中的应用：利用张量表示的数据结构对数据进行分类和聚类，提高分类和聚类的准确性和稳定性
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
张量是一个数学概念，用于描述物理现象中的多维数据
张量具有标量、向量和矩阵等基本数学对象的性质
张量可以表示物理量在不同参考系下究电磁场、电流密度等物理量
振动分析：用于研究结构的振动特性、频率响应等
金融数据分析：利用张量进行多维数据分析，挖掘金融市场的潜在规律和趋势。风险评估：利用张量模型评估金融市场的风险，为投资决策提供支持。预测模型：利用张量构建时间序列预测模型，预测经济指标和金融市场的走势。营销策略：利用张量分析消费者的购买行为和偏好，制定更精准的营销策略。

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证：刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证：质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量

3 J1 T 11 T 2 T 2 3
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2

2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3

3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T u T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中来自J trT T 1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i
1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2

张量分析-第1讲LJ

a2 F3 a3 F2 a c b1 a b c1 a3 F1 a1 F3 a c b2 a b c2 a1 F2 a2 F1 a c b3 a b c3
所以有： a b c a c b a b c
g1和g 2
g1和g 2 不是单位矢量，即它们有量纲的，一般地说，
其长度也不为单位长度。此外它们也并不正交。矢量F可以在 g1和g 2 上分解:
F F g1 F g 2
1 2
(平行四边形法则)
则有: F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
e2 b2 c2
e3
e3 b3 b2 c3 b3 c2 e 1 b3 c1 b1c3 e 2 b1c2 b2 c1 e 3 c3
b3 a 2 F3 a3 F2 e 1 a3 F1 a1 F3 e 2 a1 F2 a 2 F1 e 3 F3
j 1
F2 ' e 2 ' e1 F1 e 2 ' e 2 F2 e 2 ' e 3 F3 2 ' j F j
j 1 3
3
F3' e 3' e1 F1 e 3' e 2 F2 e 3' e 3 F3 3' j F j
j 1
矢量场函数的散度: 矢量场函数的旋度:
i F x Fx j y Fy
Fx Fy Fz F z y x
k Fz Fy Fx Fz Fy Fx i k j y z y z z x x Fz

张量分析第五章

r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时， ( x1, x 2 , x 3 ) ( x1 , x2 , x3 )称为 x ∈V的直角坐标。显然 x ∈V的曲线坐标 ( x i ) 随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理、力学问题，或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的曲线坐标，其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同曲线坐标描述有的更为直接，有的可能会很复杂。当然对具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标（本质上不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的）。正是为了这一目的，本章将对曲线坐标进行讨论。
( xi i j ) x i
x1 x2 x3 i i1 i i2 i i3 ; (i 1, 2,3) x x x
r1, r2, r3称为参考坐标系{o；i1, i2, i3}中位置矢量x处的局部基。{ x；r1, r2, r3}称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲线坐标系。例2：试求例1曲线坐标（球坐标）的局部基矢量。解： x x sin x cos x ; x x sin x sin x ; x x cos x ∵ x x x x r i i (sin x cos x )i (sin x sin x )i (cos x )i ∴ x x x x

1 2
con st a
x2
x1 A x2
( x )
1
2
( x2 x3
1 2 2 )

o
const b
x1
x3
( x1 ) 2 ( x 2 ) 2 (bx3 ) 2 0
这是{o；i1, i2, i3}坐标系内顶点在o的锥面。当 x 3 const 时：

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() ( ),ij xi x j
2
uk ,ij
uk xi x j
2
3.自由标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j=1
j 为自由标
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变

Ti ' j '
i i j j Tij
' '
符合 i' j' k' l' i' i j' j k' k ijkl ,为一新张量
交换律：
A B B A
结合律：
A ( B C ) ( A B) C
2.矢量与张量的点积
T Tij ei e j
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1

e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'

' x1
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则：i' j α

cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos(e2' , e1 ) cos(e2' , e2 ) sin cos
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：

Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定i j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
表示的是以 a, b, c 为边长的平行六面体的体积。
4.并矢（并乘）
定义：
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
展开共9项，
ei e j
可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
§A－3 坐标变换与张量的定义
1.平面笛卡儿坐标系旋转变换
x2
' x2 ' x1
如：
a ji xi bj
aki xi b j aki xi bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号定义：
1 ij 0
由定义
当i j 当i j
1 0 0 11 12 13 I 0 1 0 21 22 23 ij 0 0 1 31 32 33
x1' 1'1 1' 2 x1 x1 () 于是： x 2 '1 2 ' 2 x2 i ' j x2 2'
x1 11' 同样： x2 21'
2. 三维情况
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei' e j' i' j'
x x j e j x j' e j' x j e j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j , ei' ) x j' j' i' xi'
xi' i' j x j
自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijklei e j ek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
讨论
T Tij ei e j Tk 'l' ek' el'
1
上述表达式具有不变性特征；
也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13 x xy xz ～ ij (i, j 1,2,3)～ 21 22 23 y yz yx 31 32 33 zx zy z
2
3
张量分量 Tij 与坐标系有关；
Tij 在坐标变换时遵循相同的变换规律
§A－4 张量代数
以二阶张量为例说明 1. 加减法只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量如：张量 A,B A Aijei e j Ai' j' ei' e j'
B Bijei e j Bi' j' ei' e j'
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a33
一．若干约定哑标和自由标
1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2,n) n a1 x1 a2 x2 an xn i 1 ai xi
又如：
ii jj 11 22 33 x y z
2
任意两矢量的点积
a b ai ei b j e j aib j δij aibi a j b j ( A2 3)
2.叉积
1
基矢量的叉积
ei e j ei j k ek
( A2 4 )
由于
ei δi k ek e j δ j k ek
δi1 δi 2 ei e j δ j1 δ j 2 e1 e2
同理
xi ij' x j'
同二维问题，可得
ij j k ik
' '
（正交性）
可试证：
i j jk i k
' '
' '
3. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i ' j 'k 'l ' i 'i j ' j k 'k ijkl ijkl ii' jj' kk ' ll' i ' j 'k 'l '
故也有定义
( A2 7)
ei j k (ei e j ) ek ei (e j ek )
2
矢量混合积
(a b) c ei j k ai b j ek cr er ei j k ai b j cr δk r ei j k ai b j ck ( A2 6)
第一节第二节第三节
问题的提出矢量的基本运算坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 xn
记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
ei j k a1i a2 j a3k ei j k ai1a j 2ak 3
( A1 7 )
ｅ-δ恒等式
ek i j ek s t i s j t j s i t
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A2 3 j A3 A2 A 3 Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxi dxi ijdxi dx j
性质：
ij ij ii 11 22 33 3 Aij ij Aii Ajj A11 A22 A33 Aij jk Aik ij jk ik ij jk kl il
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)

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