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分式运算的几点技巧
山东鄄城一中 牟凤霞 李文阁
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算.但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面从几例介绍分式运算的几点技巧.
一、分段分步通分法
［例1］计算：x a -1－x a +1－222x
a x +－4434x a x - 解：原式=22)(x a x a x a ---+－2
22x a x + －443
4x
a x - =222x a x -－222x a x +－4
434x a x - =442222)(2)(2x a x a x x a x ---+－4
43
4x a x - =4434x a x -－443
4x
a x -=0 说明：若一次通分，计算量太大，注意到各分母之间的关系，采用分段通分.
二、利用除法运算
［例2］计算：
12++x x －23++x x +45--x x －3
4--x x 解：原式=111+++x x －212+++x x +414---x x －3
13---x x =（1+11+x ）－（1+21+x ）+（1－41-x ）－（1－3
1-x ） =11+x －21+x －41-x +3
1-x =)2)(1()1(2+++-+x x x x －)
3)(4()4(3-----x x x x =)2)(1(1++x x －)
4)(3(1--x x =)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(--++++---x x x x x x x x =)
4)(3)(2)(1(2312722--++---+-x x x x x x x x =)
4)(3)(2)(1(1010--+++-x x x x x 说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同或高于分母次数时，一般要先利用除法或约分对分子降次后再通分.
三、拆项后通分法
［例3］计算：x x +21+2312++x x +6512++x x +12
712++x x
解：原式=
)1(1+x x +)
2)(1(1++x x +)3)(2(1++x x +)
4)(3(1++x x =（x 1－11+x ）+（11+x －2
1+x ） +（21+x －31+x ）+（31+x －4
1+x ） =x 1－41+x =)4(4+-+x x x x =)4(4+x x 说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式
a 1－11+a =)1(1+a a ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分.
四、灵活运用乘法公式
［例4］计算（x +x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x
）（x 16+161x ）（x 2－1） 解：当x ≠0且x ≠±1时，原式
=［（x －
x 1）（x +x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）（x 16+161x ）］（x 2－1）÷（x －x
1） =［（x 2－
21x ）（x 2+21x （x 4+41x ）（x 8+81x
）（x 16+161x ］（x 2－1）÷x x 12- =…=（x 32－321x ）·x =x 33－311x 说明：本题在分子、分母上同乘以同一代数式之后，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便.
五、恰当地选择运算顺序
［例5］计算：（1－b a b +）2+（1+b
a b -）2－2222b a a - 解：原式=（b a b b a +-+）2+（b
a b b a -+-）2－2222b a a - =22)(b a a ++22)(b a a -－)
)((22
b a b a a -+ =2
2222)()()])((2)()[(b a b a b a b a b a b a a -+-+-++- =2
22222222)()(]2222[b a b a b a b ab a b ab a a -++-++++- =2
22
2)()(4b a b a b a -+? =2
22
2)()(4b a b a b a -+ 说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前两个括号，计算将很麻烦，一般两个
分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的.
六、约分后再通分
［例6］计算：
23222+--x x x －622--+x x x +3
434+--x x x 解：原式=)1)(2()1(2---x x x －)2)(3(2+-+x x x －)1)(3(3---x x x =22-x －31-x －1
1-x =)3)(2)(1()65()23()34(2222---+--+--+-x x x x x x x x x =－)
3)(2)(1(2---x x x . 说明：若算式中的分式不是最简分式，可先约分，再用适当方法通分，可能较简便.
分式运算的几种技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 整体通分法 例1 计算： 2 11 a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】 22 22(1)(1) (1)(1) 11(1)11 111 1 a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算2221 232 4x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法 例3计算21-a +12 +a -12-a -21+a 分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。 解：原式=（21-a -21+a ）+（12 +a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 四、 分离整数法 例4 计算 3 x 4 x 4x 5x 2x 3x 1x 2x --- --+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)1 1243x x x x x x x x =1111(1 )(1)(1)(1)1243x x x x =1111 1243 x x x x =。。。
分式及分式方程计算题练习1.分式计算： 3b2 bc 2a 2 （ 1） 16a 2a 2 ( ) b （ 3）(x 2 2x 3) 3 ( x 3)2 9 x2 1 x （5） （2） a2 6a 9 3 a a2 4 b2 2 b 3a 9 （ 4）2x 6 (x 3) x 2 x 6 4 4x x2 3 x y 1 y 2 y 5 （ 6）y 2 4y 3 y 2 6 y 9 y 1 （ 7） 1 1 ? x y x y 2x x y 2x
x y x 2 y2 1 x 2 9 y 2 （ 8）x 3 y 6xy （9） a2 2a 1 (a 2). （10）x x 4x a 1 x 2 x 2 2 x （ 11）(xy x2 )x y （12）（x+y）? xy （ 13）（14）
（15） （16） （ 17）（18）（ 19）（20）
（ 21） （ 22） 3b 2 bc 2a a 2 6a 9 3 a a 2 （ 23） 2a 2 ( ) （ 24） b 2 2 b 3a 9 16a b 4 x 2 x 2 6x 9 3 2 4 （ 25） （ 26） x 2 y y x x 3 · 2 4 x x xz yz （ 27） x 2 － x － 1 （28） a 2 3 a 1 1 x 1 a 2 1 a 1
（ 29） 2b2 （ 30） 1 6 a b a 3 9 a2 a b （ 31） 1 1 ) 3x （ 32）( 3x x ) x ( x 1 x 2 x 1 1 x2 x 2 x 2 4 （ 33）x (1 1 ) x 2 1 （34）（ 1+ 1 ）÷x x x 1 x 1 2 x1 （ 35）23.3 x x 2 5 （ 36）（ 1 1 ）÷ x2 xy x 2 x 2 x y x y y2
分式运算中的常用技巧与方法1 在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、 整体通分法 例1．化简： 21 a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 解： 21 a a --a-1= 21 a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1 a a a -+-= 22(1) 1a a a ---=11 a - 二、 逐项通分法 例2．计算 1 a b --1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b -- 1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b -= 22 ()() a b a b a b +---- 22 2b a b +- 344 4b a b - =222b a b --222b a b +- 344 4b a b -= 222244 2()2() b a b b a b a b +---- 344 4b a b - = 344 4b a b -- 344 4b a b -=0 三、 先约分，后通分 例3．计算： 2262a a a a +++ 22444 a a a -++
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解： 2262a a a a +++ 22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2 (2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242 a a ++=2 四、 整体代入法 例4．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵ 1x + 1y =5∴xy ≠0,.所以 2522x xy y x xy y -+++= 225112y x y x -+++= 11 2()5112x y x y +-++=25552 ?-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ?-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法 例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+4 1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+4 1a =(a 2+2 1a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2 -2=527 六、设辅助参数法 例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()() a b b c c a abc +++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；
中考《分式及分式方程》计算题、答案一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：．
（2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． 17．（2011?常州）①解分式方程； ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 19．（2011?巴彦淖尔）（1）计算：|﹣2|+（+1）0﹣（）﹣1+tan60°；（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程：
29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2y2+y（y﹣1）=（y﹣1）（3y﹣1）， 2y2+y2﹣y=3y2﹣4y+1， 3y=1， 解得y=， 检验：当y=时，y（y﹣1）=×（﹣1）=﹣≠0， ∴y=是原方程的解， ∴原方程的解为y=． 点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 考点：解分式方程。 专题：计算题。 分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣1），得 x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3）， 整理，得5x+3=0， 解得x=﹣． 检验：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0． ∴原方程的解为：x=﹣．
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak ===
初中数学专题：分式运算中的常用技巧 编稿老师徐文涛一校雪二校黄楠审核敏 知识点考纲要求命题角度备注分式的性质掌握利用分式的基本性质进行约分和通分 分式的运算综合运用 1. 利用设k的方法进行分式化简与计算 2. 利用公式进行分式化简与计算 3. 利用整体通分的思想对分式进行化简 与计算 常考 二、重难点提示 重点： 1. 掌握设参数法进行分式运算； 2. 利用公式变形进行分式运算； 3. 掌握整体通分的思想方法。 难点： 会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。 微课程1：设k求值 【考点精讲】 运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要容之一。除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k求值，也叫做设参数法。通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。参数法，是许多解题技巧的源泉。 【典例精析】 例题1 已知0 345 a b c ==≠，求 32 2 a b c a b c -+ -- 的值。 思路导航：首先设 345 a b c k ===，则可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，然后将其代入32 2 a b c a b c -+ -- ，即可求得答案。
答案：解：设 345 a b c k ===（k≠0） ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ?-?+-?-＝610k k -＝35 - 点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。 例题2 已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--== ，求223c b b a -+的值。 思路导航：仔细观察 223c b b a -+，只要a 、b 、c 用同一个未知数表示，就可以约去分式中 的未知数。所以，设232537 a b b c c a +--== ＝k ，用k 来表示a 、b 、c ，然后将其代入所求的分式即可。 答案：解：设 232537 a b b c c a +--== ＝k ， 则a ＋2b ＝5k ，① 3b －c ＝3k ，② 2c －a ＝7k ，③ 由①＋③得，2b ＋2c ＝12k ， ∴b ＋c ＝6k ，④ 由②＋④，得4b ＝9k ， ∴b ＝9 4 k ，分别代入①、④得， a ＝ 1 2k ， c ＝154 k ， ∴223c b b a -+＝159 4 29322 k k k k -+＝346k k -＝18- 例题3 已知 b c a c a b a b c +++== ，计算()()() a b b c c a abc +++。 思路导航：设b c a c a b a b c +++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；然后将三式相加即可求出k 的值，代入即可求值。 答案：解：设 b c a c a b a b c +++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；把这3个式子相加得2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k 若a ＋b ＋c ＝0，a ＋b ＝－c ，则k ＝－1 若a ＋b ＋c≠0，则k ＝2
分式 概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式； 当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。 注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 方法：数看结果，式看形。 分式条件: 1.分式有意义条件：分母不为0。 2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。 3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。 5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 代数式分类 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式和有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
（A,B,C为整式，且B、C≠0） 运算法则 约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤： 1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约 去。 2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的乘法法则： （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为： 分式的加减法法则：
分式 概念 形如(A、B就是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式。 注意:判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是的形式,关键要满足:分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。 由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性。 方法:数瞧结果,式瞧形。 分式条件: 1、分式有意义条件:分母不为0。 2、分式值为0条件:分子为0且分母不为0。 3、分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。 4、分式值为1的条件:分子=分母≠0。 5、分式值为-1的条件:分子分母互为相反数,且都不为0。 代数式分类 整式与分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式与有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。用式子表示为:
(A,B,C为整式,且B、C≠0) 运算法则 约分 根据分式基本性质,可以把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。约分的关键就是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤: 1、如果分式的分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积的形式,将它们的公因式 约去。 2、分式的分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。 公因式的提取方法:系数取分子与分母系数的最大公约数,字母取分子与分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。 最简分式:一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。 通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。 分式的乘法法则: (1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为: 分式的加减法法则: 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 用字母表示为:
分式计算的通分与分式方程的去分母 我在教学过程中，发现部分学生会把分试计算题中的通分与分式方程的去分母混为一谈，即分式计算时把分母丢了，解分式方程时又一直保留分母，犯这种错误有成绩好的学生，也有基础较差的学生。记得上学期就有两个学生，试卷总分考了110分以上，再看一下哪里丢了分，原来就是一道分式的计算题丢了8分，错在把分母丢了，好可惜啊。 如分式计算题： 412 -a －21-a 解：原式=)2(1+-a =－1-a 如解分式方程：78--x x －x -71=8 解：7 )7(8718--=-+-x x x x 7 56877--=--x x x x 07 56877=-----x x x x 原因在哪里呢，我想可以从以下几方面来思考。 一是学生本身的粗心大意，假如你让他自己检查的话，一眼就能发现，但就是因为在做的时候想当然去了，而且是非常偶然才会发生的现像，假如你单独让他做这一道题，那决不会错。 二是我记得在讲这两种题型时特别跟学生强调过这种错误，很有可能是有的学生在老师的这种强调下，反而把这种错误与正确的做法混在一起，记忆出现糢糊了，结果就想当然地做下去。 三是这两种题型的这两个步骤本身就真的很容易混淆，计算的通分和方程的去分母都要先找公分母，而且还放在同一章里在同一段时间里去学，这就难怪学生会犯这种错误了。 四是学生缺少练习，假如练得多的话，做到后面几步自己自然会发现这种错误的。 怎么办呢？我想要杜绝这种错误是不大现实的，但我们可以想办法让学生尽量少地出现类似错误。 首先我觉得老师在讲课时要注意，因为我们是先学分式的计算，这里要让学生有充分的练习时间和练习量，不必提起这种丢分母的错误现像，等学生已经非常熟练后，我们再学习解分式方程，可以让它与解一元一次方程的去分母类比，老师也不必提一直保留分母的那种错误，这样做的目的是让学生在接受新知识时就给他们清晰的做题方法和步骤，不让一些错误的信息进入学生的大脑，防止一段时间后学自己也搞不清哪个是对的，哪个是错的。在以后的作业中，可能会有学生出这种错误，老师可以单独帮学生指出纠正。等经过一段时间的练习之后，一般来说就不会出现这种错误了。其次必须通过一定时间和数量的练习，我觉得初中数学有几个基本的东西要掌握好，其中一个最基本的就是能得心应手地计算，这是学好数学的工具，而计算的熟练和速度只能通过大量的练习才能达到，所以要让学生在时间上，在数量上都要达到练习的要求，老师还可以故意把这两种题混在一起让学生去做。 以上是我的一点点拙见，各位朋友是不是碰到过类似的问题，你是怎么解决的呢，好想听听你们的解决办法。
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一. 分段分步法 例1. 计算： 解：原式 说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。 同类方法练习题：计算 （答案：） 二. 分裂整数法 例2. 计算： 解：原式=
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6，圆圆的卡片比这些多2，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少卡片？（答案：团团8，圆圆4） 三. 拆项法 例3. 计算： 解：原式 说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。 同类方法练习题：计算： （答案：） 四. 活用乘法公式 例4. 计算： 解：当时，
原式 说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。 同类方法练习题：计算： （答案：） 五. 巧选运算顺序 例5. 计算： 解：原式 说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号的。 同类方法练习题：解方程
（答案：） 六. 见繁化简 例6. 计算： 解：原式 说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。 同类方法练习题：解方程 （答案：） 在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。
分式的运算技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式 概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式； 当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。 注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 方法：数看结果，式看形。 分式条件: 1.分式有意义条件：分母不为0。 2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。 3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。 5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 代数式分类 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式和有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
（A,B,C为整式，且B、C≠0） 运算法则 约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤： 1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约 去。 2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的乘法法则： （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为： 分式的加减法法则： 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用字母表示为：
支点教育内部学习资料 ——初二数学 1、分式的乘除运算法则？分式的乘方、乘除乘方混合运算。 分式的加减运算法则？ 例1：（1）、32493b c c b ?；（2）、)8(5122 y x a xy -÷；（3）、a a a a 21222 +?-+；（4）、41441222--÷+--a a a a a 练习1：（1）、x b ay by x a 22 22?；（2）、222222x b yz a z b xy a ÷；（3）、63128422-?-a ab b a a ；（4）、 )(22b a a ab ab a +÷-+ 例2、（1）、（223)2a b （2）、)()()(44 25mn m n n m -÷-? 练习2、（1）、????? ? ++-?+÷+--963)3(44182222x x x x x x x （2）、x x x x x x x -++?+÷+--3)2)(3()3(444622 例3、（1）、x x x 473+- （2）、b a b a b a b a +-+++3 练习3、（1）、2 22x c x b x a -+ （2）、y x x y x y -+-
例4、（1）、2 2212) (21)(2x y y x y x xy -+--+ （2）、x x x x 231632710--+-- 练习4、（1）、a b b b a a 234325--+ + （2）、x y y y x y x 2324-+-+ 例5、（1）、23---x x x x （2）、a a -+ -21 442 （3）、112++-a a a 练习5、（1）、12914+--x x （2）、37 9 52++ -x x （3）、b a b b a ++-22 过关：（1）、x x x x x x x x -÷+----+4)44122(22 （2）、2 2 2 4442y x x y x y x y x y y x x +÷--+?- 2、整数指数幂的运算及负整数指数幂的运算；科学计数法的表示方法。 例1、将负整数指数幂化为正整数指数幂 （1）（X-1）-2 （2）、（-3 1 ）-2 （3）、（0.1）-3
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++
分式的概念、运算及分式方程中考要求 例题精讲 模块一分式的概念 【例1】x为何值时，分式 29 1 1 3 x x - + + 有意义？ 【解析】根据题意可得： 1 10 3 30 x x ? +≠ ? + ? ?+≠ ? ，解得3 x≠-且4 x≠-; 如果问：x为何值时，分式 29 1 1 3 x x - + + 值为零，答案为3 x=. 【答案】3 x= 【巩固】⑴若分式 216 (3)(4) x x x - -+ 有意义，则x; ⑵若分式 216 (3)(4) x x x - -+ 无意义，则x; 【解析】⑴若分式 216 (3)(4) x x x - -+ 有意义，则3 x≠且3 x≠-且4 x≠-; ⑵若分式 216 (3)(4) x x x - -+ 无意义，则3 x=或3 x=-或4 x=-； 【答案】⑴3 x≠且3 x≠-且4 x≠-；⑵3 x=或3 x=-或4 x=- 【例2】解下列不等式：①5 3 x x - < - ；② 5 2 3 x x - > - 【解析】①由题意可知 50 30 x x -> ? ? -< ? 或者 50 30 x x -< ? ? -> ? ，解得3 x<；5 x>， 所以原不等式的解集为3 x<或5 x>；
② 5203x x -->-，即11303x x ->-，由题意可知113030x x ->?? ->?或者113030x x -；11 33 x <<． 【巩固】⑴解不等式3 04x x +<- ； ⑵解不等式3 34 x x +>- . 【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>??-? , 由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<； ⑵由题意可知3304x x +->-，15204x x ->-，可得：152040x x ->?? ->?或者152040x x -
教师寄语：通过训练，夯实基础，提升能力，形成技能与技巧。只有如此，才能在有关分式运算中游刃有余。 分式运算 【考点链接】 1.因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式） ，三“用”（十字相乘法） 2.乘法公式：(1)（a ＋b ）(a －b)＝ ；(2) (a ±b)2 ＝ ；(3)22b a += ；(4)ab = ； (5)22b a +=(a+b)2 － =(a －b)2 + ；(6)(a +b)2 =(a －b)2 + ； (7)(a －b)2＝ (a+b)2 － ； 3.分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果B 中含有 ，那么称 A B 为分式；（分式只看 形式不看化简结果）；若A B 有意义，则 ；若 A B 无意义，则 ；若A B ＝0，则 . 若A B >0，则 .若A B <0，则 . 4.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的 ． 5.通分的关键是确定n 个分式的 ，约分的关键是确定分式的分子、分母中的 。 6.分式的运算： ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： 乘方法则： ⑶ 除法法则： 。 7.整数指数幂：一个不为零的数的负整数幂等于这个数 .即=-n a . 【典例精析】 1.代数式1t ，(2)3x x +，2 211x x x -+-，24x x +，a a 2，m a 1+，21 321x x x +--，3πx -，323a a a +，中分式有（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.分式:①2 23 a a ++,②22 a b a b --,③ 412() a a b -,④ 12 x -⑤12(1) x x --⑥ 2 1 2 x x x ---中,最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列分式变形正确的是（ ） A. ab a b a 2 = B. 1 121 12 2 -++= -+a a a a a C ． x y x y -+--= x y x y +- D. 2 b ab b a = 4.如果下列分式有意义，则x 的取值是任意实数的是（ ） 2 2 2 2 2 521.. . . 1 2 1 x x x x A B C D x x x x ++--++ 5．使分式 ) 3)(1()3)(1(-++-x x x x 有意义，则x ；使分式 2 ) 1(1+x 有意义，则x ；分式 x -11- 11无意义，则x . 6．使分式 12 2 --x x x 的值为零的所有x 的值是（ ）A 0=x B ．1=x C ．0=x 或1=x D ．0=x 或1±=x 7．⑴若分式 2 |2|12x x x +---的值为0，则x ＝ ；⑵若分式 2 2 4 2 x x x ---的值为零,则x 的值是 . 8.已知当x =-2时，分式 x b x a --无意义；x=4时，分式值为0．则a+b = ． 9．将分式323x y xy -中的字母x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变; B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍; D ．缩小为原来的13 10.把分式)0(2≠-a a b a 中的分子，分母的a 同时缩小3倍，那么分式的值是（ ） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、改变 D 、不改变 11.用科学记数法表示：－0.0003085＝__________________（保留两个有效数字） 12．⑴若1 3 +a 表示一个整数，则整数a ＝ . ⑵若分式23x x -的值为负数，则x 的取值范围 ． 13．将分式 的分子、分母各项系数化为整数，其结果为 ． 13 2132a b a b +-
§17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示：bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bc ad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ??
多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）b c a b c b a ±=±
分式及分式方程计算题练习 1.分式计算： （1）)2(216322b a a bc a b -?÷2（2）93234962 22-?+-÷-+-a a b a b a a （3）2322233()()91x x x x x +--?---（4）22266(3)443x x x x x x x -+-÷+?-+- （5） （6）1596234122--÷???? ??+---+-+y y y y y y y y （7） ?? ? ??--+?+-y x x y x y x x 2121
（8）22229631y xy x y x y x y x +--÷--- （9）221(2).1a a a a -+---（10）4222x x x x x x ??-÷ ?-+-?? （11）2()x y xy x xy --÷ （12）（x+y ）? （13） （14）
（15） （16） （17）（18）（19）（20）
（21） （22） （23）)2(216322b a a bc a b -?÷ （24）93234962 2 2-?+-÷-+-a a b a b a a （25）23x x +-·22694x x x -+-（26）4 232???? ??-???? ??-÷??? ? ??-yz x xz y x y x （27）21x x -－x －1（28）11 11322+-+--+a a a a
（29）b a b b a ++-22（30）2 9631a a --+ （31）1311112+÷--+x x x x )( （32）4 )223(2-÷+--x x x x x x （33）11)11(2+-+-x x x x （34）（1+1x 1-）÷1 x x 2- （35）23. ??? ??--+÷--25223x x x x （36）（11x y x y +-+）÷22xy x y -