分式
概念
形如 (A、B就是整式,B中含有字母)得式子叫做分式。其中A叫做分式得分子,B叫做分式得分母。且当分式得分子得次数低于分母得次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式得分子得次数高于分母得次数时,我们把这个分式叫做假分式。
注意:判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是得形式,关键要满足:分式得分母中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。
由于字母可以表示不同得数,所以分式比分数更具有一般性。
方法:数瞧结果,式瞧形。
分式条件:
1、分式有意义条件:分母不为0。
2、分式值为0条件:分子为0且分母不为0。
3、分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。
4、分式值为1得条件:分子=分母≠0。
5、分式值为1得条件:分子分母互为相反数,且都不为0。
代数式分类
整式与分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母得式子叫做无理式。
无理式与有理式统称代数式。
分式得基本性质
分式得分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0得整式,分式得值不变。用式子表示为:
(A,B,C为整式,且B、C≠0)
运算法则
约分
根据分式基本性质,可以把一个分式得分子与分母得公因式约去,这种变形称为分式得约分。约分得关键就是确定分式中分子与分母得公因式。
约分步骤:
1、如果分式得分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积得形式,将它们得公因式
约去。
2、分式得分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。
公因式得提取方法:系数取分子与分母系数得最大公约数,字母取分子与分母共有得字母,指数取公共字母得最小指数,即为它们得公因式。
最简分式:一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。
通分:异分母得分式可以化成同分母得分式,这一过程叫做通分。
分式得乘法法则:
(1)两个分式相乘,把分子相乘得积作为积得分子,把分母相乘得积作为积得分母。
（2）两个分式相除,把除式得分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为:
分式得加减法法则:
同分母分式得加减法法则:同分母得分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用字母表示为:
异分母分式得加减法法则:
异分母得分式相加减,先通分,化为同分母得分式,然后再按同分母分式得加减法法则进行
计算。
分式得除法法则:
两个分式相除,把除式得分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。
除以一个分式,等于乘以这个分式得倒数:
乘方
分子乘方做分子,分母乘方做分母,可以约分得约分,最后化成最简:
分式方程得意义:分母中含有未知数得方程叫做分式方程。
分式方程得解法:
(1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)
(2)按解整式方程得步骤求出未知数得值
(3)验根(求出未知数得值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程得过程中,扩大了未知数得取值范围,可能产生增根)。
分式方程解法得归纳:
解分式方程得基本思路就是将分式方程化为整式方程,具体做法就是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也就是解分式方程得一般思路与做法。
【基础精讲】
一、分式得概念
1、正确理解分式得概念:
【例1】有理式(1); (2); (3); (4);(5);(6)中,属于整式得有: ;属于分式得有: 。、
2、判断分式有无意义关键就是瞧分母就是否为零、
(1) 例如,当x为时,分式有意义.
错解:时原分式有意义.
(2) 不要随意用“或”与“且”。
例如当x____时,分式有意义？
错解:由分母,得
3、注意分式得值为零必受分母不为零得限制.
当时,分式有意义.当时,分式无意义.当时,分式值为0.
二、分式得基本性质:
1、分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变、
(1)分式得基本性质就是分式恒等变形得依据,它就是分式得约分、通分、化简与解分式方
程基础,因此,我们要正确理解分式得基本性质,并能熟练得运用它.理解分式得基本性质时,必须注意:
①分式得基本性质中得A、B、M表示得都就是整式.
②在分式得基本性质中,M≠0.
③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0),不要只乘分子(或分母).
④性质中“分式得值不变”这句话得实质,就是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式得值就是相等得。但就是变形前后分式中字母得取值范围就是变化得.
(2)注意:
①根据分式得基本性质有:分式得分子、分母与分式本身得符号,改变其中任何两个,分式得值不变.
②分式得基本性质就是一切分式运算得基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零得整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式
【例3】下列变形正确得就是( ).
A.;
B.
C.
D.
【例4】如果把分式中得都扩大3倍,那么分式得值一定( ) .
A、扩大3倍
B、扩大9倍
C、扩大6倍
D、不变
2、约分
约分就是约去分式得分子与分母得最大公约式,约分过程实际就是作除法,目得在于把分式化为最简分式或整式,根据就是分式得基本性质、
【例5】(1)化简得结果为( )A. B. C. D.
(2)化简得结果A. B. C. D.
(3)化简得结果就是A. B. C. D.
3、通分
通分得依据就是分式得基本性质,通分得关键就是确定最简公分母、最简公分母由下面得方法确定:
(1)最简公分母得系数,取各分母系数得最小公倍数;
(2)最简公分母得字母,取各分母所有字母得最高次幂得积;
三、分式得运算
1、分式运算时注意:
(1)注意运算顺序.例如,计算,应按照同一级运算从左到存依次计算得法则进行.错解:原式
(2)通分时不能丢掉分母.例如,计算,出现了这样得解题错误:原式=.分式通分就是等值变形,不能去分母,不要同解方程得去分母相混淆;
(3)忽视“分数线具有括号得作用”:分式相减时,若分子就是多项式,其括号不能省略.
(4)最后得运算结果应化为最简分式.
2、分式得乘除
注意分式得乘除法应用关键就是理解其法则、
(1)先把除法变为乘法;
(2)接着对每个相乘得分式得分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;
(3)再把每个分式得分子与分子相乘、分母与分母相乘;
(4)最后还应检查相乘后得分式就是否为最简分式.
3、加减得加减
1)同分母分式加减法则:分母不变,分子相加减。
2)异分母分式加减法则:
运算步骤:①先确定最简公分母;②对每项通分,化为分母相同; ③按同分母分式运算法则进行;④注意结果可否化简,化为最简.
4、分式得混合运算
注意分式得混合运算得顺序:先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,
遇有括号,先算括号内得、如果分式得分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分得先约分,再进行运算、
【例6】计算:(1); (2);
（3） (4)已知,则代数式得值
分式运算中得技巧与方法1
在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当得运算方法,常常收到事半功倍得效果。现就分式运算中得技巧与方法举例说明。
一、整体通分法
例1.化简:a1
分析将后两项瞧作一个整体,则可以整体通分,简捷求解。
解:a1=(a+1)= ==
二、逐项通分法
例2.计算
分析:注意到各分母得特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法
解:
=
=
=
==0
三、先约分,后通分
例3.计算:+
分析:分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算
解:+=+=+==2
四、整体代入法
例4.已知+=5求得值
解法1:∵+=5∴x y≠0,、所以====
解法2:由+=5得,=5, x+y=5xy
∴====
五、运用公式变形法
例5.已知a25a+1=0,计算a4+
解:由已知条件可得a≠0,∴a+=5
∴a4+=(a2+)22=[(a+)22]22=(522)22=527
六、设辅助参数法
例6.已知= = ,计算:
解:设= = =k,则b+c=ak;a+c=bk;a+b=ck;
把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0,a+b= c,则k= 1
若a+b+c≠0,则k=2
==k3
当k=1时,原式= 1
当k=2时,原式= 8
七、应用倒数变换法
例7.已知=7,求得值
解:由条件知a≠0,∴=,即a+=
∴=a2++1=(a+)21=
∴=
八、取常数值法
例8.已知:xy z≠0,x+y+z=0,计算++
解:根据条件可设x=1,y=1,z=2、
则++=3、当然本题也可以设为其她合适得常数。
九、把未知数当成已知数法
例9.已知3a4bc=0,2a+b8c=0,计算:
解:把c当作已知数,用c表示a,b 得,a=3c, b=2c
∴==、
十、巧用因式分解法
例10.已知a+b+c=0,计算++
解:∵a+b+c=0,∴a=bc,b=ac,c=ab
∴2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(bc)+bc=(ab)(ac)
同理可得2b2+ac=(bc)(ba),2c2+ab=(ca)(cb)
++=++
=+=
==
===1
分式运算得几种技巧(二)
1、先约分后通分技巧例1计算+
分析:不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算
解:原式=+
=+=
2、分离整数技巧例2计算
分析:两个分式得分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简。解:原式=
=1+1
=
===
3、裂项相消技巧例3 计算++
分析:此类题可利用=裂项相消计算。
解:原式=++
==
4、分组计算技巧例4 计算+
分析:通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a24,第二项、第三项分母乘积为a21,采取分组计算简捷。
解:原式=+
=+=
5、变形技巧例5 已知x23x+1=0,求x2+得值。
分析:将已知两边同除以x(x≠0)可变出x+,然后利用完全平方公式得逆用可求出x2+得值。
解:由x23x+1=0,两边同除以x(x≠0),得
x3+=0,即x+=3
所以x2+=(x+)22=322=7
二、分式求值中得整体思想
例1 若分式得值为,则得值为( )
A、1
B、1
C、
D、
解:由已知=得2y2+3y+7=8
2y2+3y=1,4y2+6y=2所以==1,故选A。
例2 已知+=4,则= 。
分析:由已知可得到a+b与ab得关系式,所求式通过分解因式可得到用a+b与ab得表达式,然后将a+b用ab代换即可求出所求式得值。
解:由已知得=4 ∴a+b=4ab
===
点评:本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到
=
然后将已知式代入求值,这种方法也就是常用得一种方法。
例3 已知a23a+1=0,求得值。
解:由已知a23a+1=0知a≠0,将已知等式两边同除以a得a3+=0,∴a+=3
所以=a2+=(a+)22=322=7∴=
点评:①所求式得倒数与已知式有联系时,先求所求式得倒数,再得所求式。
②a2±=(a±)22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。
例4 已知+=,+=,+=,求得值。
分析:将所求式分子、分母同除以abc可得到,只要将已知式变换出++即可。
解:因为+=①,+=②,+=③,将①、②、③左、右分别相加,得
2(++)=++
∴++= 所以==
例5 有一道题:“先化简再求值:,其中”,小明做题时把“”错抄成了“”,但她得计算结果也就是正确,请您通过计算解释这就是怎么回事？
解析:首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理、
、
因为当与时, 得值都就是2009,所以小明把“”错抄成了“”,计算结果也就是正确得、
例6 已知x23x+1=0,求x2+得值。
分析:将已知两边同除以x(x≠0)可变出x+,然后利用完全平方公式得逆用可求出x2+得值。
解:由x23x+1=0,两边同除以x(x≠0),得
x3+=0,即x+=3所以x2+=(x+)22=322=7
三、分式运算新型题
例2 请利用、与这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式得商减去第三个分式得差,并化简、
解析:本题为开放性问题,答案不唯一、按题目得要求可得到10多个不同得算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便得算式,以减少运算量,提高正确率、
如, ÷=
==,等等、
温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力与创新意识得培养,已成为各类考试得热点,但所考查得知识却就是我们所熟悉得、
例3 先化简代数式÷,然后选取一个合适
．．得值,代入求值、
解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中得含义,即选取得得值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便、
原式=
=、
由题意知,得值不能取2与2,所以当=0时,原式=4、
温馨提示:本题既检测了同学们分析问题得能力,又考查了识别隐含信息得能力,题目得形式也体现了鼓励解题者得主动参与意识、这类题目也就是近年出现得热点题型,为我们提供了较为广阔得思考空间,但所选字母得值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”、
一、开放性问题
例1在下列三个不为零得式子中,任选两个您喜欢得式子组成一个分式就是 ,把这个分式化简所得得结果就是、
分析:此例就是答案不唯一得开放题,分式由学生自主构造,题型新颖活泼,呈现出人性化与趣味化、
解:本题存在6种不同得结果,任选其一即可、
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6) 、
说明:其实解决本题得关键就就是分式得约分,但它又不完全等同于分式得约分,它需要我们先构造出分式后再约分,让我们在分析探索后解决问题,而不就是直接把问题摆在我们面前、
二、探索运算程序
例2任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出得结果就是( )
A. B. C.+1 D.1
分析:本题设计新颖,意在创新,明确计算程序就是正确解答本题得前提、
解:计算程序可表示为:,化简:原式= =m1+2=m+1,故选C、
说明:这就是一道比较容易得题,但要注意其运算得顺序,否则就会出现错误得答案、
三、自选数值求解
例3化简,并选择您最喜欢得数代入求值.
分析:这就是近年来出现得一种新题型,具有一定得灵活性。此题从难度上来说并不大,但就是要注意混合运算得运算顺序,运算结果要化成最简形式、在选取x得数值时,一定要保证原式有意义,而且尽量使运算简便为好、
解:原式,当x=2时,原式=2、
说明:这里得x不能取0与1,否则分母得值为0,原式就没有意义了、
四、运算说理题
例4在解题目:“当时,求代数式得值”时,聪聪认为只要任取一个使原式有意义得值代入都有相同结果.您认为她说得有理吗？请说明理由.
分析:本题就是说理型试题,有很强得创新性,但将其转化为代数式得化简与求值,解决问题就很方便,同时要注意说得“理由”要充分合理、
解:聪聪说得有理.
∴只要使原式有意义,无论取何值,原式得值都相同,为常数1.
说明:解决此类问题,首先要化简所给得代数式,然后再根据化简得结果去解释题目所问得问题、
先观察下列等式,然后用您发现得规律解答下列问题.
┅┅
(1) 计算 .
(2)探究 .(用含有得式子表示)
(3)若得值为,求得值.
解:(1) (2)
(3)
=+ ┄ +
==
由= 解得
经检验就是方程得根,∴
【精练】计算:
【分析】本题中有四个分式相加减,如果采用直接通分化成同分母得分式相加减,公分母比较复杂,其运算难度较大、不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却就是非常简单得、因此我们可以采用逐项相加得办法、
【解】=
=
=
1.顺次相加法例1:计算:
【分析】本题得解法与例1完全一样、
【解】=
=
=
2.整体通分法【例2】计算:
【分析】本题就是一个分式与整式得加减运算、如能把(a1)瞧作一个整体,并提取“”后在通分会使运算更加简便、通常我们把整式瞧作分母就是1得分式、
【解】==、
3.化简后通分
分析:直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简得余地,显然,化简后再通分计算会方便许多.
4.巧用拆项法
例4计算:、
分析:本题得10个分式相加,无法通分,而式子得特点就是:每个分式得分母都就是两个连续整数得积(若a就是整数),联想到,这样可抵消一些项、
解:原式=
=
==
5.分组运算法
例5:计算:
分析:本题项数较多,分母不相同、因此,在进行加减时,可考虑分组、分组得原则就是使各组运算后得结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便、
解:
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式得基本性质
例1化简
错解:原式
分析:分式得基本性质就是“分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式得基本性质、
正解:原式
二、错在颠倒运算顺序
例2计算
错解:原式
分析:乘除就是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误、
正解:原式
三、错在约分
例1 当为何值时,分式有意义？
[错解]原式、
由得、
∴时,分式有意义、
[解析]上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母得公因式,扩大了未知数得取值范围,而导致错误、
[正解]由得且、
∴当且,分式有意义、
四、错在以偏概全
例2 为何值时,分式有意义？
[错解]当,得、
∴当,原分式有意义、
[解析]上述解法中只考虑得分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全得错误、
[正解] ,得,
由,得、
∴当且时,原分式有意义、
五、错在计算去分母
例3 计算、
[错解]原式
=、
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算就是等值代换,不能去分母,、
[正解]原式
、
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时,分式得值为零、
[错解]由,得、
∴当或时,原分式得值为零、
[解析]当时,分式得分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错得原因就是忽视了分母不能为零得条件、
[正解]由由,得、
由,得且、
∴当时,原分式得值为零、
类型一:分式及其基本性质
1.当x为任意实数时,下列分式一定有意义得就是( )
A、B、C、D、
2.若分式得值等于零,则x＝_______;
3.求分式得最简公分母。
【变式1】(1)已知分式得值就是零,那么x得值就是( )
A.－1
B.0
C.1
D.±１
(2)当x________时,分式没有意义.
【变式2】下列各式从左到右得变形正确得就是( )
A. B.
C. D.
(一) 通分约分
4.化简分式:
【变式1】顺次相加法计算:
【变式2】整体通分法计算:
(二)裂项或拆项或分组运算
5.巧用裂项法
计算:
【变式1】分组通分法
计算:
【变式2】巧用拆项法计算:
类型三:条件分式求值得常用技巧
6.参数法已知,求得值.
【变式1】整体代入法已知,求得值、
【变式2】倒数法:在求代数式得值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式得分子、分母颠倒后,变形就非常得容易,这样得问题适合通常采用倒数法.
已知:,求得值.
【变式3】主元法:当已知条件为两个三元一次方程,而所求得分式得分子与分母就是齐次式时,通常我们把三元瞧作两元,即把其中一元瞧作已知数来表示其它两元,代入分式求出分式得值.
已知:,求得值.
解分式方程得基本思想就是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母得去分母得方法,现再介绍几种灵活去分母得技巧.
(一)与异分母相关得分式方程
7.解方程=
【变式1】换元法解方程:
（二）与同分母相关得分式方程
8.解方程
【变式1】解方程【变式2】解方程
9.甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖、甲进货得策略就是:每次买1000元钱得糖;乙进货得策略就是每次买1000斤糖,最近她俩同去买进了两次价格不同得糖,问两人中谁得平均价格低一些？
【变式1】甲开汽车,乙骑自行车,从相距180千米得A地同时出发到B.若汽车得速度就是自行车得速度得2倍,汽车比自行车早到2小时,那么汽车及自行车得速度各就是多少？
【变式2】 A、B两地路程为150千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时后相遇,相遇后,各以原来得速度继续行驶,甲车到达B后,立即沿原路返回,返回时得速度就是原来速度得2倍,结果甲、乙两车同时到达A地,求甲车原来得速度与乙车得速度.
(一)、分式定义及有关题型
题型一:考查分式得定义
【例1】下列代数式中:,就是分式得有: 、
题型二:考查分式有意义得条件
【例2】当有何值时,下列分式有意义
(1) (2) (3) (4) (5)
题型三:考查分式得值为0得条件
【例3】当取何值时,下列分式得值为0、
(1) (2) (3)
题型四:考查分式得值为正、负得条件
【例4】(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数、
练习:
1.当取何值时,下列分式有意义:
(1) (2) (3)
2.当为何值时,下列分式得值为零:
(1) (2)
3.解下列不等式
(1) (2)
(二)分式得基本性质及有关题型
1.分式得基本性质:
2.分式得变号法则:
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式得值,把分子、分母得系数化为整数、
(1) (2)
题型二:分数得系数变号
【例2】不改变分式得值,把下列分式得分子、分母得首项得符号变为正号、
(1) (2) (3)
题型三:化简求值题
【例3】已知:,求得值、
提示:整体代入,①,②转化出、
【例4】已知:,求得值、
【例5】若,求得值、
练习:
1.不改变分式得值,把下列分式得分子、分母得系数化为整数、
(1) (2)
2.已知:,求得值、
3.已知:,求得值、
4.若,求得值、
5.如果,试化简、
(三)分式得运算
题型一:通分【例1】将下列各式分别通分、
(1); (2);
(3); (4)
题型二:约分【例2】约分:
(1);(3);(3)、
题型三:分式得混合运算
【例3】计算:
(1); (2);
(3); (4);
(5);
(6);
(7)
题型四:化简求值题【例4】先化简后求值
(1)已知:,求分子得值;
(2)已知:,求得值;
分式运算的几种技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 整体通分法 例1 计算： 2 11 a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】 22 22(1)(1) (1)(1) 11(1)11 111 1 a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算2221 232 4x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法 例3计算21-a +12 +a -12-a -21+a 分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。 解：原式=（21-a -21+a ）+（12 +a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 四、 分离整数法 例4 计算 3 x 4 x 4x 5x 2x 3x 1x 2x --- --+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)1 1243x x x x x x x x =1111(1 )(1)(1)(1)1243x x x x =1111 1243 x x x x =。。。
分式运算中的常用技巧与方法1 在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、 整体通分法 例1．化简： 21 a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 解： 21 a a --a-1= 21 a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1 a a a -+-= 22(1) 1a a a ---=11 a - 二、 逐项通分法 例2．计算 1 a b --1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b -- 1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b -= 22 ()() a b a b a b +---- 22 2b a b +- 344 4b a b - =222b a b --222b a b +- 344 4b a b -= 222244 2()2() b a b b a b a b +---- 344 4b a b - = 344 4b a b -- 344 4b a b -=0 三、 先约分，后通分 例3．计算： 2262a a a a +++ 22444 a a a -++
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解： 2262a a a a +++ 22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2 (2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242 a a ++=2 四、 整体代入法 例4．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵ 1x + 1y =5∴xy ≠0,.所以 2522x xy y x xy y -+++= 225112y x y x -+++= 11 2()5112x y x y +-++=25552 ?-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ?-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法 例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+4 1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+4 1a =(a 2+2 1a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2 -2=527 六、设辅助参数法 例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()() a b b c c a abc +++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；
初中数学分式计算题精选 一．选择题（共2小题） 1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程汽车多20千米/中正确的是（） A．B．C．D． =有增根，则m的值为（?齐齐哈尔）分式方程）20112．（3 1 D．1和﹣2 C A．0和3 B．． 小题）二．填空题（共15的结果是_________．3．计算 ，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________4．若 2222．，=3，=2已知等式：．52+×3+×4+_________a+b=则，均为正整数）b，a（，×=1010+，…， ×=4 =．?）x+y6．计算（_________
，其结果是7．化简_________． =．化简：8_________． ．化简：=_________9． ．10．化简：=_________ 有增根，则．11．若分式方程：k=_________ _________的解是12．方程． a13．已知关于x的方程只有整数解，则整数的值为_________． _________m=x=5有增根，则14．．若方程
x_________的分式方程a=无解，则．．若关于15 _________．的解析式为）的一次函数，m，则经过点（的解为16．已知方程m0y=kx+3 17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为_________． 三．解答题（共13小题） 2 / 16 ．计算：18 ．19．化简： 20．A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克． （1）哪种玉米的单位面积产量高？ ．化简：=_________．21 ．．化简：22
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak ===
初中数学专题：分式运算中的常用技巧 编稿老师徐文涛一校雪二校黄楠审核敏 知识点考纲要求命题角度备注分式的性质掌握利用分式的基本性质进行约分和通分 分式的运算综合运用 1. 利用设k的方法进行分式化简与计算 2. 利用公式进行分式化简与计算 3. 利用整体通分的思想对分式进行化简 与计算 常考 二、重难点提示 重点： 1. 掌握设参数法进行分式运算； 2. 利用公式变形进行分式运算； 3. 掌握整体通分的思想方法。 难点： 会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。 微课程1：设k求值 【考点精讲】 运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要容之一。除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k求值，也叫做设参数法。通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。参数法，是许多解题技巧的源泉。 【典例精析】 例题1 已知0 345 a b c ==≠，求 32 2 a b c a b c -+ -- 的值。 思路导航：首先设 345 a b c k ===，则可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，然后将其代入32 2 a b c a b c -+ -- ，即可求得答案。
答案：解：设 345 a b c k ===（k≠0） ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ?-?+-?-＝610k k -＝35 - 点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。 例题2 已知a ，b ，c 均不为0，且232537a b b c c a +--== ，求223c b b a -+的值。 思路导航：仔细观察 223c b b a -+，只要a 、b 、c 用同一个未知数表示，就可以约去分式中 的未知数。所以，设232537 a b b c c a +--== ＝k ，用k 来表示a 、b 、c ，然后将其代入所求的分式即可。 答案：解：设 232537 a b b c c a +--== ＝k ， 则a ＋2b ＝5k ，① 3b －c ＝3k ，② 2c －a ＝7k ，③ 由①＋③得，2b ＋2c ＝12k ， ∴b ＋c ＝6k ，④ 由②＋④，得4b ＝9k ， ∴b ＝9 4 k ，分别代入①、④得， a ＝ 1 2k ， c ＝154 k ， ∴223c b b a -+＝159 4 29322 k k k k -+＝346k k -＝18- 例题3 已知 b c a c a b a b c +++== ，计算()()() a b b c c a abc +++。 思路导航：设b c a c a b a b c +++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；然后将三式相加即可求出k 的值，代入即可求值。 答案：解：设 b c a c a b a b c +++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；把这3个式子相加得2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k 若a ＋b ＋c ＝0，a ＋b ＝－c ，则k ＝－1 若a ＋b ＋c≠0，则k ＝2
分式 概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式； 当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。 注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 方法：数看结果，式看形。 分式条件: 1.分式有意义条件：分母不为0。 2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。 3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。 5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 代数式分类 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式和有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
（A,B,C为整式，且B、C≠0） 运算法则 约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤： 1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约 去。 2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的乘法法则： （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为： 分式的加减法法则：
分式运算综合题 1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷1 1 2-x ，其中x=2 2、先化简，再求值：21+-a a ·124 22+--a a a ÷1 12-a ，其 中a 满足a 2 -a=12。 3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2 232y x y x --。 4、化简： 12+x x -1422-+x x ÷1 22 2+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。 5、已知M=222y x xy -，N=2 22 2y x y x -+，P=224x y xy -，用“＋” 或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。请你任选 一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。 6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a( b 1+ c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b 1 )的值。 7、已知两个式子：A= 442-x ，B=21+x ＋x -21 ，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A 大于B 8、已知1＜x ＜2，则式子| 2|2 --x x －1|1|--x x ＋x x ||化简的结果 是（ ） A.－1 B.1 C.2 D.3 9、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +b a = 。 10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。 11、已知 3-x m －2+x n =) 2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2 的值。 12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M= 1+a a +1+b b ，N=1 1+a ＋1 1 +b ，试确定M ，N 的大小关系。 13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1 22 2++-x x x ,其中x 满足x 2 +x-2=0. 14、已知A=（x-3）÷ 4 ) 96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x, (2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。 1- 3x ＜3 4 ， 15、计算：21-x －12-x ＋12+x －2 1+x 。 16、计算：3 22 3223322342b b a ab a b a ab b a b a b a a ---++-+ 17计算：2 121111x x x ++++-
分式 概念 形如(A、B就是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式。 注意:判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是的形式,关键要满足:分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式。无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。 由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性。 方法:数瞧结果,式瞧形。 分式条件: 1、分式有意义条件:分母不为0。 2、分式值为0条件:分子为0且分母不为0。 3、分式值为正(负)数条件:分子分母同号得正,异号得负。 4、分式值为1的条件:分子=分母≠0。 5、分式值为-1的条件:分子分母互为相反数,且都不为0。 代数式分类 整式与分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式与有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。用式子表示为:
(A,B,C为整式,且B、C≠0) 运算法则 约分 根据分式基本性质,可以把一个分式的分子与分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分。约分的关键就是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤: 1、如果分式的分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积的形式,将它们的公因式 约去。 2、分式的分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。 公因式的提取方法:系数取分子与分母系数的最大公约数,字母取分子与分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式。 最简分式:一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。约分时,一般将一个分式化为最简分式。 通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分。 分式的乘法法则: (1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除,把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为: 分式的加减法法则: 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 用字母表示为:
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一. 分段分步法 例1. 计算： 解：原式 说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。 同类方法练习题：计算 （答案：） 二. 分裂整数法 例2. 计算： 解：原式=
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6，圆圆的卡片比这些多2，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少卡片？（答案：团团8，圆圆4） 三. 拆项法 例3. 计算： 解：原式 说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。 同类方法练习题：计算： （答案：） 四. 活用乘法公式 例4. 计算： 解：当时，
原式 说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。 同类方法练习题：计算： （答案：） 五. 巧选运算顺序 例5. 计算： 解：原式 说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号的。 同类方法练习题：解方程
（答案：） 六. 见繁化简 例6. 计算： 解：原式 说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。 同类方法练习题：解方程 （答案：） 在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。
分式计算常用技巧 专题 典例引路—分式运算的常用技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。 1、整体 例1 计算(1)242++-a a （2）11 32+--+x x x x 例2 .3353,511)1(的值求若y xy x y xy x y x ---+=- .1 11,1)2(的值求 已知++++++++=c ac c b bc b a ab a abc .3515x 5,411x )3(224242的值求如果x x x x +-=++ 整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。 2、倒数求值法 例3 的值求已知1 a ,51)1(242 ++=+a a a a
.1 x ,71)2(242 2的值求若++=+-x x x x x 3、连等设k 法 例4 .32x ,543x )1(的值求已知z y x y z y +-+== .) )()((abc ,)2(的值求已知 a c c b b a c b a b a c a c b ++++=+=+ .))()((xyz ,543)3(的值求已知 z x z y y x z x z y y x ++++=+=+ 4、分组运算法 例5 3 4123112112222++-++-++++x x x x x x x x 计算
分式的运算技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式 概念 形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式； 当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。 注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 方法：数看结果，式看形。 分式条件: 1.分式有意义条件：分母不为0。 2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。 3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。 5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 代数式分类 整式和分式统称为有理式。 带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式和有理式统称代数式。 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
（A,B,C为整式，且B、C≠0） 运算法则 约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。 约分步骤： 1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约 去。 2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的乘法法则： （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 用字母表示为： 分式的加减法法则： 同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用字母表示为：
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念,能确定分式有意义 的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质: a c ad bc b d =?=,比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性(交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）:a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= (k 为任意实数) ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法:a c a c b d b d ??=? 分式的除法:a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方:()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数） 整数指数幂运算性质: ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) 知识点睛 中考要求 分式的运算技巧
§17.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示：bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方 1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bc ad c d b a d c b a =?=÷n n n b a b a =??? ??
多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）b c a b c b a ±=±
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) 知识点睛 中考要求 分式的运算技巧
分式中考计算题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
中考《分式》计算题精选 1、（1+）÷ 2、（+）?（x 2﹣1） 3、 （a 2+3a ）÷ 4、（a 2b +ab ） ÷ 5、﹣ 6、÷ 7、 （+2）（x ﹣2）+（x ﹣1）2 8、÷﹣1 9、﹣÷ 10、2424 4422223-+-÷+-+-x x x x x x x x 11、化简求值：?（），其中x =． 12、先化简，再求值： 1 )11(22 -?+a a a ，其中3=a . 13、先化简，再求值：（﹣）?（x ﹣1），其中x =2． 14、先化简，在求值：（+）÷，其中x =2．
15、先化简，再求值：?﹣3（x﹣1），其中x=2． 16、先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0． 17、先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0． 18、解分式方程：+=1． 19、=1．20、． 21、 22、+=1 23、 24、 25、 26．、 27、 28、某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
一、考点突破 微课程1：设k 求值 【典例精析】 例题1 已知0345a b c ==≠，求322a b c a b c -+--的值。 思路导航：首先设345 a b c k ===，则可得a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，然后将其代入 322a b c a b c -+--，即可求得答案。
答案：解：设 345 a b c k ===（k≠0），则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ， 所以322a b c a b c -+--＝332453245k k k k k k ?-?+-?-＝610k k -＝35 - 点评：本题考查了运用设k 值的方法求分式的值，用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。 232a b b c c a +--2c b -式相加即可求出k 的值，代入即可求值。 答案：解：设 b c a c a b a b c +++==＝k ，得b ＋c ＝ak ，a ＋c ＝bk ，a ＋b ＝ck ；把这3个式子相加得2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k 若a ＋b ＋c ＝0，a ＋b ＝－c ，则k ＝－1 若a ＋b ＋c≠0，则k ＝2
()()()a b b c c a abc +++＝ck ak bk abc ??＝3 k 当k ＝－1时，原式＝－1， 当k ＝2时，原式＝8。 点评：用含k 的代数式表示出a ，b ，c 的值是解决本题的突破点。 【总结提升】 设k 求值解题的基本步骤 所以44242411122a a a a a a +=+??+-=2221()2a a +-＝22 211(22)a a a a +??+-－2 ＝22 1[()2]2a a +--＝（52－2）2－2＝527 点评：本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。解答本题的关键是将1 a a + 看做一个整体代入。
分式 概念 △ 形如忍（A、B是，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的低于分母的次数时，我们把这个分式叫做；当分式的分子的高于分母的次数时，我们把这个分式叫做。 注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是豆的形式，关键要满足：分式的中必须含有，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 方法：数看结果，式看形。 分式条件： 1. 分式有意义条件：分母不为o。 2. 分式值为0条件：分子为0且分母不为0。 3. 分式值为正（负）数条件：分子分母同号得正，异号得负。 4. 分式值为1的条件：分子=分母工0 5. 分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。 代数式分类 和分式统称为。 带有且根号下含有字母的式子叫做无理式。 无理式和有理式统称式。 分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为:
A _A K C_ A^-C B ~ Bx C ~ B^C（为整式，且B、80） 运算法则 约分 根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的。 约分步骤： 1. 如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式，将它们的公因式约去。 2. 分式的分子和分母都是，将分子和分母分别，再将公因式约去。 公因式的提取方法：取分子和分母系数的，字母取分子和分母共有的字母，取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 :一个分式不能时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 分式的乘法法则： （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 （2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 a G ac —X —=— 用字母表示为：b i bd 分式的加减法法则： 同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用字母表示为： a c ad b匚 nd 士be
分式运算的八种技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式运算综合题 1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷1 12-x ，其中x=2 2、先化简，再求值： 2 1 +-a a ·12422 +--a a a ÷1 1 2 -a ，其中a 满足a 2-a=12。 3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2 232y x y x --。 4、化简： 12+x x -1422-+x x ÷1 22 2+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。 5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=2 24x y xy -，用 “＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。 6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b 1 )的 值。 7、已知两个式子：A= 442-x ，B=21+x ＋x -21 ，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 大于B 8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋x x | |化简的结 果是（ ） A.－1 9、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +b a = 。 10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。 11、已知3-x m －2+x n =) 2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。 12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1 +b b ，N= 11+a ＋1 1 +b ，试确定M ，N 的大小关系。 13、先化简，再求值：（x- 13+x x ）÷1 22 2++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0. 14、已知A=（x-3）÷4 ) 96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x, (2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。 1- 3x ＜3 4 ， 15、计算：21-x －12-x ＋12+x －2 1+x 。 16、计算：3 22 3223322342b b a ab a b a ab b a b a b a a ---++-+