2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2课件：第一章 推理与证明 1.1

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§1 归纳与类比

1.1 归纳推理

学

习

目

标 核 心 素 养

1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)

2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.

1．归纳推理的定义

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．

2．归纳推理的特征

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？

[提示] 不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．

1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )

①归纳推理是由一般到一般的推理过程；

②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；

③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；

④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．

A．①② B．②③

C．①③ D．③④

A [归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]

2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )

A．至多等于3 B．至多等于4

C．等于5 D．大于5 第 2 页 共 16 页 B [n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]

3．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，……的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为________．

2n [集合{a1}有两个子集和{a1}，集合{a1，a2}的子集有，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个子集，集合{a1，a2，a3}有8个子集，由此可归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为2n个．]

- 1 - 1.2 类比推理

学 习 目 标 核

心 素 养

1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点)

2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点) 1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.

1．类比推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．

类比推理是两类事物特征之间的推理．

2．合情推理

合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、 - 2 - 公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

合情推理的结果不一定正确．

思考：合情推理的结果为什么不一定正确？

[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．

1．下面使用类比推理恰当的是( )

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”

B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”

D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”

C [由实数运算的知识易得C项正确．]

2．下列推理是合情推理的是( )

(1)由圆的性质类比出球的有关性质；

(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

(3)a≥b，b≥c，则a≥c；

(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°.

A．(1)(2) B．(1)(3)(4)

C．(1)(2)(4) D．(2)(4)

C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]

1 第一章 推理与证明

走近学科思想

推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,演绎推理具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.

本章导读

知识要点 重要指数 链接考题 学习策略

合情推理 ★★ P5，例1（2007浙江高考，理8）；P6，例2（2007福建高考，理16） 通过对具体实例的推理过程的分析、体会,概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法

综合法和分析法 ★★★★ P22，例4（2006辽宁高考，理18文19）；

P24，例5（2007海南、宁夏高考，理22（A）） 弄清综合法和分析法的证明方法特征,通过一些实例证明熟练两种证明方法的证明过程

反证法 ★★★ P42,例6（2007河南郑州模拟）；

P43，例7（2007江西高考，理16） 弄清楚使用反证法的常见情形及适用条件,形成使用反证法的意识

数学归纳法 ★★★★ P60，例9（2007天津高考，理21）；

P60,例8（2006湖南高考，理19） 关键是找出从n=k到n=k+1时的递推关系式

§1 归纳与类比

在日常生活中,人们常常需要进行各种各样的推理.如医生诊断病人的病症,警察侦破案件,数学家论证命题的真假等,其中都包含了推理活动.在数学中,证明的过程更离不开推理.本节就开始学习有关数学推理的知识.

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一、推理

1.推理的概念

根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.

1 高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比同步练习 北师大版选修2-2

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基础巩固

1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1 111

1 234×9+5=11 111

12 345×9+6=111 111

A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113

答案：B

思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数,即1 111 111.

2.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则an是( )

A.2n-221 B.2n-2 C.2n-1+1 D.2n+1-4

答案：B

思路分析：当n=1,2,3时,求得a2=2,a3=6,a4=14,观察知an=2 n-2.

3.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1，则a 12的值是（ ）

A.15 B.30 C.31 D.64

答案：A

思路分析：用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a7+a9=a4+a12,故选A项.

4.已知322=232,833=383,1544=4154,…,若ba6=6ba(a,b均为实数),请推测a=________________,b=________________.

答案：6 35

思路分析：由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.

由三个等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测ba6中,a=6,b=62-1=35.