2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第三章 推理与证明 3.4

1 高中数学 第三章 推理与证明 3.3.1 综合法同步测控 北师大版选修1-2

我夯基 我达标

1.已知函数f(x)=lgxx11,若f(a)=b,则f(-a)等于( )

A.b B.-b C.b1 D.b1

解析:f(-a)与f(a)的关系,可研究f(x)的奇偶性,

f(-a)=lgaa11=lg(aa11)-1

=-lgaa11=-f(a)=-b.

答案:B

2.已知f(x)=122)12(xxa是奇函数,那么实数a的值等于( )

A.1 B.-1 C.0 D.±1

解析:f(x)是奇函数,则f(0)=0,从而求出a.

答案:A

3.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a、b、c应满足的条件是( )

A.a2b2+c2 D.a2≤b2+c2

解析:cosA=bcacb2222<0,

∴b2+c2

答案:C

4.已知p=a+21a(a>2),q=2422aa(a>2),则( )

A.p>q B.p

解析:∵a>2,∴p=a+21a=a-2+21a+2≥2+2=4.

而-a2+4a-2=-(a-2)2+2<2,

∴q=2422aa<4.

∴p>q.

答案:A

5.已知三角形的三边按从小到大的顺序成等比数列,则公比q的范围是( )

A.215

解析:设三角形三边长为a、b、c且a

则b=aq,c=aq2.

∴.,22aqaqaaqaqa

∵a>0,∴1

答案:B

6.若a、b、c∈R,且满足a>0,b>0,2c>a+b,则c2与ab的大小关系为___________.

- 1 - 1.2 类比推理

学 习 目 标 核

心 素 养

1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点)

2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点) 1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.

1．类比推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．

类比推理是两类事物特征之间的推理．

2．合情推理

合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、 - 2 - 公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

合情推理的结果不一定正确．

思考：合情推理的结果为什么不一定正确？

[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．

1．下面使用类比推理恰当的是( )

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”

B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”

D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”

C [由实数运算的知识易得C项正确．]

2．下列推理是合情推理的是( )

(1)由圆的性质类比出球的有关性质；

(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

(3)a≥b，b≥c，则a≥c；

(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°.

A．(1)(2) B．(1)(3)(4)

C．(1)(2)(4) D．(2)(4)

C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]

1 §2 数学证明

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.

2.___________是最常见的一种演绎推理形式.

第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.

高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为:

大前提:M是P,

小前提:S是M,

结论:S是P.

2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.

3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.

名师解惑

三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.”

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.

讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.

已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.

求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.

分析：本题可由三段论逐步推理论证.

[A组 基础巩固]

1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )

A．f(x) B．－f(x)

C．g(x) D．－g(x)

解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．

答案：D

2．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于( )

A．2n B.12n(n＋1)

C．2n－1 D．2n－1

解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想当n≥1时，an＝2n－1.

答案：C

3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．

试求第七个三角形数是( )

A．27 B．28

C．29 D．30

解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.

答案：B

4．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )

A．47 B．65

C．63 D．128

解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，

归纳可得：x＝26＋1＝65. 答案：B

5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．289 B．1 024

C．1 225 D．1 378

解析：由图形可得三角形数构成的数列通项an＝n2(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，若a既是三角形数又是正方形数，则a＋1为偶数，a为奇数，故排除B、D；由n2(n＋1)＝289＝17×17，知n∉N，所以排除A，而1 225＝352＝35×35×22＝49×502＝1 225，满足题意，故选C.