北师大数学选修2-2配套课件：第一章 推理与证明 §1

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§1 归纳与类比

1.1 归纳推理

学

习

目

标 核 心 素 养

1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)

2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.

1．归纳推理的定义

根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．

2．归纳推理的特征

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．

思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？

[提示] 不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．

1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )

①归纳推理是由一般到一般的推理过程；

②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；

③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；

④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．

A．①② B．②③

C．①③ D．③④

A [归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]

2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )

A．至多等于3 B．至多等于4

C．等于5 D．大于5 第 2 页 共 16 页 B [n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]

3．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，……的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为________．

2n [集合{a1}有两个子集和{a1}，集合{a1，a2}的子集有，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个子集，集合{a1，a2，a3}有8个子集，由此可归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为2n个．]

1 高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明同步测控 北师大版选修1-2

我夯基 我达标

1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班,一班有51人,二班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人

D.在数列{an}中,a1=1,an=21(an-1+11na)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式

解析:演绎推理的一般形式是三段论.A符合三段论形式,B、C、D都是猜测不符合三段论,故选A.

答案:A

2.下列说法中正确的有( )

①演绎推理是由一般到特殊的推理

②演绎推理得到的结论一定是正确的

③演绎推理一般模式是“三段论”形式

④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:演绎推理在大前提和小前提都正确的情况下结论正确.(2)不对;(4)对;(1)(3)对.

答案:C

3.“因对数函数y=logax是增函数(大前提），而y=31logx是对数函数(小前提），所以y=31logx是增函数（结论）.”上面推理的错误是( )

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

解析:对数函数y=logax不一定是增函数,

当a>1时,y=logax是增函数;

当0

答案:A

4.推理:“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形.”中的小前提是„( )

A.① B.② C.③ D.①和②

1 第一章 推理与证明

走近学科思想

推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,演绎推理具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.

本章导读

知识要点 重要指数 链接考题 学习策略

合情推理 ★★ P5，例1（2007浙江高考，理8）；P6，例2（2007福建高考，理16） 通过对具体实例的推理过程的分析、体会,概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法

综合法和分析法 ★★★★ P22，例4（2006辽宁高考，理18文19）；

P24，例5（2007海南、宁夏高考，理22（A）） 弄清综合法和分析法的证明方法特征,通过一些实例证明熟练两种证明方法的证明过程

反证法 ★★★ P42,例6（2007河南郑州模拟）；

P43，例7（2007江西高考，理16） 弄清楚使用反证法的常见情形及适用条件,形成使用反证法的意识

数学归纳法 ★★★★ P60，例9（2007天津高考，理21）；

P60,例8（2006湖南高考，理19） 关键是找出从n=k到n=k+1时的递推关系式

§1 归纳与类比

在日常生活中,人们常常需要进行各种各样的推理.如医生诊断病人的病症,警察侦破案件,数学家论证命题的真假等,其中都包含了推理活动.在数学中,证明的过程更离不开推理.本节就开始学习有关数学推理的知识.

高手支招1细品教材

一、推理

1.推理的概念

根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.

1 高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比例题与探究 北师大版选修2-2

高手支招3综合探究

试探究如何进行归纳推理

归纳推理是根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F,而作出该类事物都具有属性F的结论的推理.

归纳推理的基本形式是:

∵A1具有性质F,A2具有性质F,„,An具有性质F,(A1,A2,„,An都属于A)

∴A类事物都具有性质F.

归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与否是需要严格论证的.

例如，f(x)=(x-1)(x-2) „(x-100)+2,

∵f(1)=2,f(2)=2, „,f(100)=2.∴由此归纳猜想f(n)=2(n∈N+).

但这一结果是错误的,事实上f(101)≠2,可见不完全归纳推理得出的结论是不可靠的,还需要进一步作出判断.

高手支招4典例精析

【例1】（2007浙江高考，理8）设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

思路分析：对于图A,当f(x)=ax2时,y=f′(x)的图象恰好为直线,故有可能;

对于图B,单调递增的函数为y=f(x),单调递减的函数为y=f′(x),也是可能的;

对于图C,下面的曲线为y=f(x)的图象,上面的曲线为y=f′(x)的图象,f′(x)＞0,f(x)单调增，这也是有可能的;

而对于图D,由于两个曲线均含有递增区间和递减区间,无论哪一个为y=f(x)的图象,y=f′(x)必然在x轴上方与下方均有图象.显然,图D中的两个曲线都不满足这一要求.

答案：D

【例2】（2007福建高考，理16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“—”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a∈A，都有a—a;