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线段的相等与和、差、倍

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课题 线段的相等与和、差、倍

教学目的 理解线段的概念，掌握线段和、差、倍的画法

教学重难点 运用尺规正确作图

教学内容

一、 线段大小的比较

1.直线、射线、线段的区别与联系

2.线段的表示方法

1）用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点.记作线段AB.

2）用一个小写英文字母，如a，记作线段a.

3.线段的大小比较

定义：把比较两条线段的长短称为两条“线段的大小的比较”.

方法：

1)观察法，直接观察

2)度量法，用尺测量

3)叠合法，将他们移到一起，把一端对齐，便可直接比较他们的高矮，长短了.

【例题】比较线段AB和线段CD的大小.

※将线段AB的端点A与CD的端点C重合.

※线段AB沿着线段CD的方向落下，线段AB与线段CD叠合.

※若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记作AB=CD.

若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD.

若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD.

如图

CDCDCD

└─────┘ └─────┴─┘ └─────┴──┘

4.两点之间的距离

如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了.即两点确定一条以这两点为端点的线段.

连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.

两点之间，线段最短.

【例题】考虑过马路到对面的商店怎样走最近？引出两点间线段最短（解释为什么人们会喜欢乱穿马路）

二、线段的和、差、倍

5.线段的和差

两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和

（或差）

6.线段的中点

将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.

【例题】已知线段AB，你会画出它的中点C吗？

尺规作图：

解：（1）以点A为圆心，以大于AB21的长a为半径作弧，以点B为圆心，以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、点F；

（2）作直线EF，交线段AB于点C.

点C就是所求的线段AB的中点.

三、习题巩固

1、两点间的距离是指（）

??A.连结两点的直线的长度

??B.连结两点的线段的长度

??C.连结两点的直线

D.连结两点的线段

2、判断

(1)连接A、B两点，那么线段AB叫做A、B两点的距离.（）

(2)连接A、B两点的线段的长度，叫做A、B两点的距离.（）

(3)若AB＝BC，则B是线段AC的中点.（）

(4)若AB=AM+BM，则点M在线段AB上.（）

(5)若点M在线段AB外，则必有AB

3、填空

(1)点M把线段PQ分成两条相等的线段，点M叫做线段PQ的______，这时有PQ=_______=_______.

(2)延长线段AB到C，使BC=12AB，反向延长AC到D使AD=12AC，则CD=_______AB.

(3)如图1，如果A、B两点将MN三等分，C为BN的中点，BC=5cm，则MN=________.

(4)如图2，在直线PQ上要找一点A，使PA=3AQ，则A点应在________.

图1图2图3

(5)如图3，分别延长线段BA和CD，它们的延长线相交于P点，再延长BC到Q，使CQ=AD，连接A、Q两点，交线段CD于M点，试比较DM和CM的大小.

(6)如图4，已知线段a、b、c（a

①a+c－b;

图4 ②2a+b;

③2c－3b.

4、应用题

(1)延长线段AB到C，使BC=AB，D为AC中点，且CD=5cm，求AB的长.

(2)A、B、C、D四个点在同一直线上，且AB=8cm,BC=3cm,AD=2cm，求CD的长.

(3)、如图，点C在线段AB上，AC=8厘米，CB=6厘米，点M、N分别是AC、BC的中点。

1)求线段MN的长；

2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a厘米，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由。

3) 若C在线段AB的延长线上，且满足ACBC=b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你

能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由。

(4)AD＝12BD，E是BC的中点，BE＝2cm，AC＝10cm，求线段DE的长．

(5)如图，量出以下图形中各条线段的长度，比较它们的大小．并比较一个三角形中任意两边的和与第三边的关系．可以得出什么结论？

(6)思考小老鼠该怎么爬才能最快吃到汉堡包呢?

(7)A、B、C、D四个小区在同一条路上，为了给小区的居民出行带来方便准备在这条路上增设一个车站，车站应建在哪里使车站与各个小区的距离和最短，请同学们设计出方案．

四．课后作业：

1、如图，A、B、C、D、四点在一条直线上，图中有（）条线段.

2、根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句.

已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a+b.

解：（1）画射线OP；

（2）在射线OP上顺次截取（）=a，（）=b.

线段（）就是所要画的线段.

3、根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句.

已知线段a、b，画出一条线段，使它等于a-b.

解法一：（1）画射线OP；

（2）在射线OP上截取（）=a，在线段（）上截取（）=b.

线段（）就是所要画的线段.

解法二：（1）画射线OP；

（2）在射线OP上截取（）=a，在线段（）上截取（）=b. A A D C B E

线段（）就是所要画的线段.

4、如图，点M是线段AB上的一点，点C是线段AM的中点，点D是线段MB的中点，已知AM=8cm，MD=2cm.根据图形填空：

AC=()cm,BM=()cm,

BC=()cm,AB=()cm,

CD=()cm,CD=()AB.

5、根据所示图形填空，理解截取、顺次截取的意义，熟练掌握基本画图语句.

已知线段a、b、c，画出一条线段，使它等于2a-b+c.

解：（1）画射线OP；

（2）在射线OP上顺次截取（）=a，（）=b，（）=c；

（3）在线段（）上截取CD=b.

线段（）就是所要画的线段.

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线段的相等与和、差、倍

线段的相等与和、差、倍

1 第16讲 线段的相等与和、差、倍

知识框架

线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．

16.1

线段的大小的比较

1. 线段的表示

（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示：线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB．

（2）也可以用一个小写英文字母，如图所示：线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a．

2. 线段的大小比较

通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．

线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．

叠合法如下：

将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合．这时端点B可能的位置情况如下表：

图形 点B的位置 符号表示

情况一

点B在线段CD上（C、D之间） 记作：AB < CD（或CD > AB） A B

C D (B) (A) 知识精讲 2 情况二

点B与点D重合 记作：AB = CD

情况三

点B在线段CD的延长线上 记作：AB > CD（或CD < AB）

3. 如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．

（1）画射线AC；

（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）

线段AB就是所要画的线段．

4. 两点之间的距离：

联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．

两点之间，线段最短．

【例1】

判断题：

（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（ ）

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

数形结合，以线段图理解两数的和差及倍数关系

数形结合是数学中一种常用的教学方法，通过将抽象的数学概念与具体的几何图形进行结合，帮助学生更好地理解和记忆数学知识。在数形结合教学中，线段图可以用来理解两个数的和差及倍数关系。

我们来看两个数的和。假设有两个数a和b，我们可以用线段图来表示a和b的和。设a的长度为a单位，b的长度为b单位，我们可以将a和b的线段放在同一条直线上，然后将两个线段连接起来。连接后的线段长度就表示了a和b的和。若a=3，b=4，我们可以在纸上画一条长度为3单位的线段，然后在其右边画一条长度为4单位的线段，最后将两条线段连接起来，连接后的线段长度就是3+4=7。

通过线段图可以直观地理解两个数的和差及倍数关系。在教学中，我们可以通过实际绘制线段图的方式，让学生更加深入地理解数学概念，提升他们的数学思维能力和创造力。线段图也能够帮助学生发现数学规律，从而更好地解决数学问题。数形结合以线段图理解两数的和差及倍数关系是一种非常有效的教学方法。

和倍差倍和差问题

和倍差倍和差问题

和倍、差倍、和差问题

一、熟练掌握线段图画法

二、熟练掌握解答倍数问题

※线段图画法

画线段图非常非常非常重要，是解决中常用的一种思考策略，它能将题中抽象关系以形象的方式表达出，更清楚地反映数量关系。

画线段图不会浪费时间，越复杂的题目越需要画图，可以说，会不会画图决定着你的解题能力，决定分数！

!

※和倍、差倍、和差问题公式

和倍问题：两数之和÷（倍数 + 1）=小数

差倍问题：两数之差÷（倍数 - 1）=小数

和差问题：（和 + 差）÷ 2 =大数

（和 - 差）÷ 2 =小数

稍复杂的倍数问题可能包含两个状态，我们一般抓住倍数的那个状态。

和倍问题线段图

1. 甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）

~

2. 甲班和乙班共有图书210本。甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）

(

3. 甲班和乙班共有图书150本。甲班的图书本数是乙班的3倍少 10本，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）

4. 甲班和乙班共有图书150本。甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本（和倍）

，

差倍问题线段图

1. 甲班的图书比乙班多160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）

2. 甲班的图书比乙班多160本。甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）

—

3. 甲班的图书比乙班多160本。甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）

\

和差问题线段图

甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数比乙班的多20本，甲班和乙班各有图书多少本（和差）

和倍问题习题（一）

1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红和妈妈各几岁

"

2．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍多4岁,小红和妈妈各几岁

线段的相等与和、差、倍 2

线段的相等与和、差、倍 2

线段的相等与和、差、倍

1. 线段的相等

在线段的基本几何概念中，相等是一个重要的概念之一。相等的意思是指两条线段长度相等，当两条线段的长度相等时，我们可以说这两条线段是相等的。

在数学中，我们使用符号“=”来表示线段的相等关系。如果线段AB与线段CD相等，可以写作AB = CD。

线段的相等有以下几个基本性质：

• 自反性：对于任意线段AB，都有AB = AB，即一条线段与自身相等。

• 对称性：如果线段AB = CD，则有CD = AB，即如果两条线段相等，它们可以互相替换位置。

• 传递性：如果线段AB = CD，且线段CD = EF，则有AB = EF，即如果两条线段分别与一条线段相等，那么它们之间也相等。

线段的相等可以通过测量线段长度来确定。我们可以使用直尺或其他测量工具来测量线段的长度，然后将它们进行比较以确定线段是否相等。

2. 线段的和

线段的和是指将两条线段放在一起，形成一条新的线段。线段的和可以通过将两条线段的端点连接起来来确定。

如果有一条线段AB和一条线段CD，线段的和可以表示为AB + CD。线段的和的长度等于两条线段长度之和。

线段的和具有以下性质：

• 结合律：对于任意线段AB、CD和EF，有(AB + CD) + EF = AB + (CD

+ EF)。即线段的和满足结合律。

• 交换律：对于任意线段AB和CD，有AB + CD = CD + AB。即线段的和满足交换律。

当我们计算线段的和时，可以使用测量工具测量出各个线段的长度，然后将它们相加得到线段的和的长度。

3. 线段的差

线段的差是指从一条线段中减去另一条线段所得到的新线段。线段的差可以表示为AB - CD。 要计算线段的差，我们需要先测量出两条线段的长度，然后将被减去的线段的长度从原线段的长度中减去。差的长度可能是正数、零或负数，取决于被减去的线段的长度与原线段的长度的大小关系。

线段的差没有交换律，即AB - CD 不等于 CD - AB。