线段与角的和差倍分计算

三、比例法　、　

例３如图，已知ＡＤ为ＡＡＢＣ的中线，　为ＣＤ上　的点，ＥＧ＃ａＯ交ＡＣ于Ｆ，交ＢＡ延长线于Ｇ　

求证ＥＦ＋ＥＧ＝２ＡＤ　

证明’．。ＡＤ∥ＧＥ，　

ＥＦ　ＣＥ　ＥＧ　８Ｅ　—ＡＤ—ＣＤ’ＡＤ—ＢＤ；　

又‘．　ＢＤ＝Ｄｃ．　ＥＦ　ＥＧ　ＣＥ　ＢＥ　・　‘　面　历　Ｂ　

２ＣＤ　。ＣＤ　‘‘　

．ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＥＧ＝２ＡＤ．　’　注因题设中有平行的条件，可考虑用此法证．　

四、代数法　

例４如图，已知锐角ＡＡＢＣ中，ＡＤ上ＢＣ且ＡＤ＝　

ＡＢＤ　Ｈ＇－＂ＡＤＣ．＿　／ＤＨ　／

ＢＤ　／　△　ｌ、　设　＝　，　＝），，　ｌ，ｌ＼　

＝五　一一　Ｉ　、　（２）设　Ｂ＝ＬＡＣＢ＝　

ａ，则ＰＥ＝ＰＢ・ｓｉｎｃ￣，　

ＰＦ：ＰＣ・ｓｉｎａ．　

．‘．ＰＥ＋ＰＦ＝ｆ　ＰＢ＋　Ｂ　Ｄ　

ｅｃ）・ｓｉｎａ＝ＢＣ・ｓｉｎｏｔ．－－ＣＤ＝ＢＣ・ｓｉｎａ．　

．ＰＥ　ＰＦ：ＣＤ．　

注求证ａ＋ｂ：ｃ类型问题的重要方法是用面积　

法．　

六、补形法　例６如图，ＡＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ平分ＬＢＡＣ，过　

点曰作ＢＥ－ＬＡＤ交ＡＤ延长线于Ｅ点Ｄ为ＡＥ中点．　求证ＡＢ＝３ＡＣ．　

简证延长ＢＥ、ＡＣ交于　Ａ　

曰　．　

过Ｅ作ＥＫ∥ＢＣ，交ＡＢ　

于　

－．‘ＥＫｆｆＢＣ，ＡＤ＝ＤＥ．　Ｂ　

．。．ＡＣ＝ＣＫ　二，　、　

Ｅ　Ｂ，　

’．‘　１＝／＿２　．ＢＥ＝点　．（　＝１６９　．ＡＣ＝ＣＫ＝　

ＫＢ’。即ＡＢ＝３ＡＣ　

七、借助辅助四法　

例７　如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ平分　／＿ＤＡＢ，若／＿ＤＡＢ　１２０。，ＬＢ与ＬＤ互补，试证明Ａ曰＋　

ＡＤ＝ＡＣ　

析证　题设中有“　．Ｂ　

与ＬＤ互补”则必有Ａ、曰、Ｃ、　

Ｄ四点共圆，作出此圆。由　ＡＣ平分ＬＤＡＢ．　

，－、，＿、　得ＢＣ：ＤＣ，ＢＣ：ＤＣ，作　

ＣＥＬＡＤ予Ｅ。ＣＦ＿ＬＡＢ于Ｆ，　

则ＤＥ＝ＣＥ・ｃｏｓＬＣＥＤ，　＝ＢＣ・ｃｏｓＬＣＢＦ，　

．。ＬＣＢＦ＝　ＣＤＥ．．‘．ＤＥ＝ＢＦ．　

．‘．ＡＢ＋ＡＤ：（ＡＦ＋　Ｆ）＋（ＡＥ—ＯＥ）＝ＡＦ＋ＡＥ，　

第1页学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题角的和差倍分

教学目标1、理解角的概念,掌握角的有关名称2、掌握角的大小比较方法3、理解两个角的和差倍的意义,并会用等式表示角的和差倍的关系，会画角的和差倍4、理解余角补角的概念教学内容

知识点1：角的大小的比较方法（1）量角器（2）叠合法知识点2：角的和、差、倍（1）两个角可以相加，它们的和也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和。（2）两个角可以相减，它们的差也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的差。知识点3：角平分线（1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。（2）角平分线的作法

【例题1】能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（）

ABCD【解析】A

第2页【检测1】如图,能用∠1、∠ABC、∠B三种方法,表示同一个角的是（）

ABCD【解析】B

【例题2】8点30分时,时钟的时针与分针所夹的锐角是（）A.70°B.75°C.80°D.60°

【解析】解：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2.5份，8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2.5=75°，故选：B．

【检测2】时钟的时针在不停的旋转,时针从上午的6时到9时,时针旋转的旋转角是（）A.30°B.60°C.90°D.9°

【解析】解：∵时针从上午的6时到9时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故选：C．【例题3】用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A.角的度数扩大了B.角的度数缩小了C.角的度数没有变化D.以上都不对【解析】C

第3页【检测3】下列说法正确的是（）A.两点之间直线最短B.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D.直线l经过点A,那么点A在直线l上

【解析】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．（4）直线过A点，则A一定在直线上．综上可得只有D正确．故选：D．

利用三角形全等证明线段和差倍分问题

1. 已知：D是AB中点，∠ ACB=90°，求证：12CDAB

2. 已知：AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证： AC=AB+BD

3. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B D A

B C

4·如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

5·已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

6．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

7．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：BD=2CE．

8·在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①ADC≌CEB；②BEADDE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

PEDCBAFEDCBA9·如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

10·如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

（1） 若BD平分∠ABC，求证CE=12BD；

（2） 若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

EDCBA

1 线段的和差倍分作图与计算1、已知线段AB=80，M为AB中点，P在MB上，N为PB中点，且NB=14，求AP长。2、已知P为线段AB上一点，M、N分别是AP、BP中点，试说明MN=21AB。3、线段AB＝1.8，延长AB至C，使得BC＝3AB，D为BC中点，求BD的长。4、已知线段AB上有C、D两点，AD=35，BC=44，AC=2/3BD，求AB的长。5、如图，C、D是AB上两点，E、F分别是AC、DB中点，EF＝m，CD＝n，求AB长。6、已知线段AB＝12，点C在直线AB上，且BC＝6，M是AC中点，求AM长。（提示：不只一种可能哦）

2 7、已知线段AB=12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC∶CD∶DB=1∶2∶3，AM=21AC，DN=41DB，求MN的长。（提示：……上题提示了，还要提示？！）8、如图，C、D将AB分成2∶3∶4三部分，E是AB中点，ED＝2，求AB的长。9、在一条直线上有A、B、C三点，M为AB中点，N为BC中点，若AB=a，BC=b，试用a、b表示线段MN的长度。10、已知：线段a、b，求作：①a+b② 2a+b③ 2b－a