画线段的和差倍

三、比例法　、　

例３如图，已知ＡＤ为ＡＡＢＣ的中线，　为ＣＤ上　的点，ＥＧ＃ａＯ交ＡＣ于Ｆ，交ＢＡ延长线于Ｇ　

求证ＥＦ＋ＥＧ＝２ＡＤ　

证明’．。ＡＤ∥ＧＥ，　

ＥＦ　ＣＥ　ＥＧ　８Ｅ　—ＡＤ—ＣＤ’ＡＤ—ＢＤ；　

又‘．　ＢＤ＝Ｄｃ．　ＥＦ　ＥＧ　ＣＥ　ＢＥ　・　‘　面　历　Ｂ　

２ＣＤ　。ＣＤ　‘‘　

．ＣＥ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＥＧ＝２ＡＤ．　’　注因题设中有平行的条件，可考虑用此法证．　

四、代数法　

例４如图，已知锐角ＡＡＢＣ中，ＡＤ上ＢＣ且ＡＤ＝　

ＡＢＤ　Ｈ＇－＂ＡＤＣ．＿　／ＤＨ　／

ＢＤ　／　△　ｌ、　设　＝　，　＝），，　ｌ，ｌ＼　

＝五　一一　Ｉ　、　（２）设　Ｂ＝ＬＡＣＢ＝　

ａ，则ＰＥ＝ＰＢ・ｓｉｎｃ￣，　

ＰＦ：ＰＣ・ｓｉｎａ．　

．‘．ＰＥ＋ＰＦ＝ｆ　ＰＢ＋　Ｂ　Ｄ　

ｅｃ）・ｓｉｎａ＝ＢＣ・ｓｉｎｏｔ．－－ＣＤ＝ＢＣ・ｓｉｎａ．　

．ＰＥ　ＰＦ：ＣＤ．　

注求证ａ＋ｂ：ｃ类型问题的重要方法是用面积　

法．　

六、补形法　例６如图，ＡＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ平分ＬＢＡＣ，过　

点曰作ＢＥ－ＬＡＤ交ＡＤ延长线于Ｅ点Ｄ为ＡＥ中点．　求证ＡＢ＝３ＡＣ．　

简证延长ＢＥ、ＡＣ交于　Ａ　

曰　．　

过Ｅ作ＥＫ∥ＢＣ，交ＡＢ　

于　

－．‘ＥＫｆｆＢＣ，ＡＤ＝ＤＥ．　Ｂ　

．。．ＡＣ＝ＣＫ　二，　、　

Ｅ　Ｂ，　

’．‘　１＝／＿２　．ＢＥ＝点　．（　＝１６９　．ＡＣ＝ＣＫ＝　

ＫＢ’。即ＡＢ＝３ＡＣ　

七、借助辅助四法　

例７　如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ平分　／＿ＤＡＢ，若／＿ＤＡＢ　１２０。，ＬＢ与ＬＤ互补，试证明Ａ曰＋　

ＡＤ＝ＡＣ　

析证　题设中有“　．Ｂ　

与ＬＤ互补”则必有Ａ、曰、Ｃ、　

Ｄ四点共圆，作出此圆。由　ＡＣ平分ＬＤＡＢ．　

，－、，＿、　得ＢＣ：ＤＣ，ＢＣ：ＤＣ，作　

ＣＥＬＡＤ予Ｅ。ＣＦ＿ＬＡＢ于Ｆ，　

则ＤＥ＝ＣＥ・ｃｏｓＬＣＥＤ，　＝ＢＣ・ｃｏｓＬＣＢＦ，　

．。ＬＣＢＦ＝　ＣＤＥ．．‘．ＤＥ＝ＢＦ．　

．‘．ＡＢ＋ＡＤ：（ＡＦ＋　Ｆ）＋（ＡＥ—ＯＥ）＝ＡＦ＋ＡＥ，　

课 题 线段的相等与和、差、倍

教学目的 理解线段的概念，掌握线段和、差、倍的画法

教学重难点 运用尺规正确作图

教学内容

一、 线段大小的比较

1. 直线、射线、线段的区别与联系

2.线段的表示方法

1）用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点.记作线段AB.

2）用一个小写英文字母，如a，记作线段a.

3.线段的大小比较

定义：把比较两条线段的长短称为两条“线段的大小的比较”.

方法：

1)观察法，直接观察

2)度量法，用尺测量

3)叠合法，将他们移到一起，把一端对齐，便可直接比较他们的高矮，长短了.

【例题】 比较线段AB和线段CD的大小.

※将线段AB的端点A与CD的端点C重合.

※线段AB沿着线段CD的方向落下，线段AB与线段CD叠合.

※若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记作AB=CD.

若端点B落在D上，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD.

若端点B落在D外，则得到线段AB 大于线段CD，可以记作AB＞CD.

如图

C D C D C D

└─────┘ └─────┴─┘ └─────┴──┘

4.两点之间的距离

如果一条线段的两个端点的位置确定了，那么这条线段的位置就确定了.即两点确定一条以这两点为端点的线段.

连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.

两点之间，线段最短.

【例题】 考虑过马路到对面的商店怎样走最近引出两点间线段最短（解释为什么人们会喜欢乱穿马路）

二、线段的和、差、倍

5.线段的和差 两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）

6.线段的中点

将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.

1 专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62]

一 线段的和差倍分计算

(教材P153作业题第4题)

已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝12AB.D为线段BC的中点．

(1)求CD的长；

(2)若AD＝3 cm，求a的值．

在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是( )

A．6 cm B．8 cm

C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm

如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在(

)

A．在AB之间 B．在CD之间 C．在AC之间 D．在BD之间

如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，求线段CD的长度．

如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．

2 如图5，线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长．

如图6，点C分线段AB为5∶7，点D分线段AB为5∶11，已知CD＝2 cm，求AB的长．

如图7，已知线段AB上有两点C，D，且AC＝BD，M，N分别是线段AC，AD的中点．若AB＝a cm，AC＝BD＝b cm，且a，b满足(a－10)2＋b2－4＝0.求线段MN的长度．

二 角的和差倍分计算

如图10，已知直线AB上一点O，∠AOD＝44°，∠BOC＝32°，∠EOD＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．

已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α，∠β.

如图11，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝100°，OF平分∠BOC，∠AOE＝∠DOE，∠EOF＝140°，求∠COD的度数．

1 线段的和差倍分作图与计算1、已知线段AB=80，M为AB中点，P在MB上，N为PB中点，且NB=14，求AP长。2、已知P为线段AB上一点，M、N分别是AP、BP中点，试说明MN=21AB。3、线段AB＝1.8，延长AB至C，使得BC＝3AB，D为BC中点，求BD的长。4、已知线段AB上有C、D两点，AD=35，BC=44，AC=2/3BD，求AB的长。5、如图，C、D是AB上两点，E、F分别是AC、DB中点，EF＝m，CD＝n，求AB长。6、已知线段AB＝12，点C在直线AB上，且BC＝6，M是AC中点，求AM长。（提示：不只一种可能哦）

2 7、已知线段AB=12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC∶CD∶DB=1∶2∶3，AM=21AC，DN=41DB，求MN的长。（提示：……上题提示了，还要提示？！）8、如图，C、D将AB分成2∶3∶4三部分，E是AB中点，ED＝2，求AB的长。9、在一条直线上有A、B、C三点，M为AB中点，N为BC中点，若AB=a，BC=b，试用a、b表示线段MN的长度。10、已知：线段a、b，求作：①a+b② 2a+b③ 2b－a