2020年湖南省株洲市高考数学二模试卷(理科)
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2020年湖南省株洲市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{1，2} D．{1，2，3}
2．（3分）i为虚数单位，复数的虚部是（
）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
3．（3分）如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3335，6665，则图形Ω面积的估计值为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）已知双曲线C：﹣＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲线C的方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．x2﹣
5．（3分）已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10＝4，则a8的取值范围是（ ）
A．（2，4） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（4，+∞）
6．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则的值为（ ）
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A．1 B． C． D．
7．（3分）已知命题p：∀x＞0，ex＞x+1，命题q：∃x∈（0，+∞），lnx≥x，则下列命题正确的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
8．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）
A．96 B．120 C．144 D．180
9．（3分）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A．① B．② C．④ D．⑤
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10．（3分）若函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣a（x∈[0，]）恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（ ）
A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]
11．（3分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AA1＝2，AD＝1，正方形CC1D1D所在平面记为α，若经过点A的直线l与长方体ABCD﹣A1B1C1D1所有的棱所成角相等，且l∩α＝M，则线段AM的长为（ ）
A． B．3 C． D．
12．（3分）设函数f（x）＝，其中a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＜3的x取值范围是（ ）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（0，+∞）
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13．（3分）已知实数x，y满足条件，则y﹣2x的最大值为
．
14．（3分）在（1﹣）（1+x）5的展开式中，x2项的系数为 （用数字作答）．
15．（3分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，4Sn＝a1+a2+……+an+1（n≥1），则an＝ ．
16．（3分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝，AD＝3，sin∠BCD＝，连接BD，3BD＝4BC．
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（Ⅰ）求∠BDC的值；
（Ⅱ）若BD＝，∠AEB＝，求△ABE的面积最大值．
18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为边长为2的菱形，∠BAD＝，PA＝PB，M为AB中点，连接MD．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PMD；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，且二面角B﹣AP﹣D的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）经过点A（1，2），过A作两条不同直线l1，l2，其中直线l1，l2关于直线x＝1对称．
（Ⅰ）求抛物线E的方程及准线方程；
（Ⅱ）设直线l1，l2分别交抛物线E于B、C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线E的准线相切，求直线BC的方程．
20．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
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（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（175.6＜Z＜224.4）；
（ii）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值Z∈（175.6，224.4）的定价为16元；若为次品（质量指标值Z∉（175.6，224.4），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元．若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这件产品的利润，求E（Y）．
附：≈12.2．若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）＝0.68，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）＝0.95．
21．设函数f（x）＝ex（ax+2），g（x）＝x2+4x+2
（Ⅰ）讨论y＝f（x）的极值；
（Ⅱ）若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）在点P（0，2）处有相同的切线，且当x≥﹣2时，mf（x）≥g（x），求m的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设P，Q是圆C上的两个动点，且∠POQ＝，求|OP|+|OQ|的最大值．
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[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．
（Ⅰ）若a＝﹣2，解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．
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2020年湖南省株洲市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{1，2}
D．{1，2，3}
【解答】解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|1≤x≤3}；
∴M∩N＝{1，2}．
故选：C．
2．（3分）i为虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
【解答】解：∵＝，
∴复数的虚部是1．
故选：B．
3．（3分）如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子分别为3335，6665，则图形Ω面积的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设图形Ω的面积为S，
因为由电脑随机从正方形中抽取10000个点，落在Ω图形内和图形Ω外的豆子分别3335，6665，
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所以＝，
故选：A．
4．（3分）已知双曲线C：﹣＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲线C的方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．x2﹣
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为（±c，0），
∴，解得b＝，a＝1．
∴双曲线的方程为：x2﹣＝1．
故选：D．
5．（3分）已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10＝4，则a8的取值范围是（ ）
A．（2，4） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（4，+∞）
【解答】解：设公差为d，则
∵a1+a10＝4，
∴2a1+9d＝4，
∴a1＝2﹣，
∴a8＝a1+7d＝2+d，
∵d＞0，
∴a8＝2+d＞2．
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故选：C．
6．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD＝60，∴△ABD为正三角形，由＜ ＞＝60°，可得＜＞＝180°﹣60°＝120°．
∴＝（+）•＝+═2×2×cos60°+1×2×cos120°＝2﹣1＝1，
故选：A．
7．（3分）已知命题p：∀x＞0，ex＞x+1，命题q：∃x∈（0，+∞），lnx≥x，则下列命题正确的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
【解答】解：令f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞） 单调递增，f（x）＞f（0）＝0，∴∀x＞0，ex＞x+1，p真；
令g（x）＝lnx﹣x，g′（x）＝﹣1＝，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，即当x＝1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）＝﹣1＜0，
所以g（x）≤0 在（0，+∞） 恒成立，则q为假命题；
则p∧（￢q）为真命题，
故选：C．
