2020年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(理科)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑦|𝑦=𝑒𝑥,𝑥∈𝑅}，𝐵={𝑥∈𝑅|𝑥2−𝑥−6≤0}，则𝐴∩𝐵等于( )

A. (0,2) B. (0,3] C. [−2,3] D. [2,3]

2. 在复平面内，复数21+𝑖对应的点与原点的距离是(

)

A.

1 B. √2 C. 2 D. 2√2

3. 双曲线𝑦23−𝑥2=1的渐近线的方程为( )

A. 𝑦=±√3𝑥 B. 𝑥=±√3𝑦 C. 𝑦=±3𝑥 D. 𝑥=±3𝑦

4. 如图统计的是2008年至2017年全国SUV的销售量(万辆)以及年增长率，则下列说法错误的是( )

A. 2008至2017年期间，全国SUV的销量逐年增长

B. 2008至2017年期间，全国SUV的销量增长最快的为2010年

C. 2008至2017年期间，全国SUV的销量高于600万辆的年份有3个

D. 2008至2017年期间，全国SUV的平均销量超过400万辆

5. 设x，y满足约束条件{𝑥−2𝑦+3≥0𝑥−𝑦+1≥0𝑦≥1，则𝑧=−3𝑥+4𝑦的最大值为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且𝑎=1，𝐵=45°，𝑆△𝐴𝐵𝐶=2，则△𝐴𝐵𝐶的外接圆直径为( )

A. 4√5 B. 5 C. 5√2 D. 6√2

7. 在△𝐴𝐵𝐶中，若点D满足𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E为AC的中点，则𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 56𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

+13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

B.

14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

8. 在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，M，N分别是线段𝐴𝐵1，𝐵𝐶1的中点，以下结论：①𝐴𝐴1丄MN；②𝑀𝑁与AC异面；③𝑀𝑁丄面𝐵𝐷𝐷1𝐵1；其中正确的是( )

A. ①

B. ①②

C. ①③

D. ②③

9. 曲线𝑦=𝑒𝑥在点𝐴(0,1)处的切线为( )

A. 𝑦=𝑥+1 B. 𝑦=1 C. 𝑦=𝑒𝑥+1 D.

10. 斐波拉契数列0，1，1，2，3，5，8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：𝐹(0)=0，𝐹(1)=1，𝐹(𝑛)=𝐹(𝑛−1)+𝐹(𝑛−2)(𝑛≥2,𝑛∈𝑁).某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是( )

A. 𝑐=𝑎，𝑖≤14

B. 𝑏=𝑐，𝑖≤14

C. 𝑐=𝑎，𝑖≤15

D. 𝑏=𝑐，𝑖≤15

11. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋6)+cos𝜔𝑥(𝜔>0)在[0,𝜋]内有且仅有3个零点，则𝜔的取值范围是( )

A. [83,113) B. (83,113] C. (103,133] D. [103,133)

12. 抛物线𝑦2=4𝑥的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率𝑘(𝑘>0)的直线交抛物线于𝐴,𝐵两点，F为抛物线的焦点，若|𝐹𝐴|=3|𝐹𝐵|，则直线AB的斜率𝑘=( )

A. √33 B. √32 C. 2√33 D. 23

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设函数𝑓(𝑥)={𝑓(𝑥+1),𝑥<32𝑥,𝑥≥3，则𝑓(log25)=______． 14. 若𝛼为锐角，且cos(𝛼+𝜋6)=35，则sin(2𝛼+𝜋3)= ______ ．

15. 为支援西藏教育事业，重庆市教委计划安排A、B、C、D、E这5名教师到甲乙丙三所学校支教，每所学校至少安排一名教师，且教师A因特殊原因不能到学校甲支教，则不同的安排方法种数是________.(用数字作答)

16. 已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）

17. 在等差数列{𝑎𝑛}与等比数列{𝑏𝑛}中，已知𝑎𝑛>0，且𝑎1=3，𝑏1=2，数列{∁𝑛}满足∁𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛，且𝑐2=20，𝑐3=56．

(Ⅰ)求𝑎𝑛与𝑏𝑛；

(Ⅱ)设𝑇𝑛=𝑐1+𝑐2+⋯+∁𝑛，求𝑇𝑛．

18. 据长期统计分析，某货物每天的需求量𝑟(𝑟∈𝑁∗)在17与26之间，日需求量𝑟(件)的频率𝑃(𝑟)分布如下表所示：

需求量r 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

频率𝑃(𝑟) 0.12 0.18 0.23 0.13 0.10 0.08 0.05 0.04 0.04 0.03

已知其成本为每件5元，售价为每件10元．若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．假设每天的进货量必需固定．

(1)设每天的进货量为𝑋𝑛(𝑋𝑛=16+𝑛,𝑛=1,2，…，10)，视日需求量𝑌𝑖(𝑌𝑖=16+𝑖,𝑖=1,2，…，10)的频率为概率𝑃𝑖(𝑖=1,2，…，10)，求在每天进货量为𝑋𝑛的条件下，日销售量𝑍𝑛的期望值𝐸(𝑍𝑛)(用𝑃𝑖表示)； (2)在(1)的条件下，写出𝐸(𝑍𝑛)和𝐸(𝑍𝑛+1)的关系式，并判断𝑋𝑛为何值时，日利润的均值最大？

19. 如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝑃𝐴⊥底面ABC，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，H为PC的中点，M为AH中点，𝑃𝐴=𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=1．

(Ⅰ)求证：𝐴𝐻⊥平面PBC；

(Ⅱ)求PM与平面AHB所成角的正弦值．

20. 已知点𝐹1，𝐹2是椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0))的左、右焦点，椭圆上一点P满足𝑃𝐹1⊥𝑥轴，|𝑃𝐹2|=5|𝑃𝐹1|，|𝐹1𝐹2|=2√2．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过𝐹2的直线l交椭圆C于A，B两点，当△𝐴𝐵𝐹1的内切圆面积最大时，求直线l的方程．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥，若函数𝑓(𝑥)在[1,𝑒]上的最小值是32，求a的值．

22. 已知直线l经过点𝑃(1,1)，倾斜角𝛼=𝜋3．

(1)写出直线l的参数方程；

(2)设直线l与曲线𝜌=4𝑐𝑜𝑠𝜃相交于两点A，B，求1|𝑃𝐴|+1|𝑃𝐵|的值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥+1|−|𝑥|−2

(Ⅰ)解不等式𝑓(𝑥)≥0

(Ⅱ)若存在实数x，使得𝑓(𝑥)≤|𝑥|+𝑎，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：

本题考查交集的运算，根据函数性质分别计算集合A和B，得出交集．

解：𝐴={𝑦|𝑦>0}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤3}，易知𝐴∩𝐵=(0,3]，

故选B．

2.答案：B

解析：解：21+𝑖=1−𝑖

则1+𝑖对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2．

故选B．

化简21+𝑖即得．

本题考查复数的运算，属于基础题．

3.答案：A

解析：

本题考查双曲线的几何性质，求双曲线的渐近线方程．求渐近线方程只要确定出a，b值，然后直接写出方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥(焦点在x轴上的双曲线)或𝑦=±𝑏𝑎𝑥(焦点在y轴上的双曲线)．

解：双曲线方程为𝑦23−𝑥2=1，

𝑎=√3，𝑏=1，焦点在y轴上，

所以渐近线方程为𝑦=±√3𝑥．

故选A．

4.答案：D

解析：

本题考查了频率分布直方图，属基础题．

先对图象数据的分析进行分析，然后结合所得信息，逐一进行检验即可得解．

解：对于选项A，从条形图中可以看出2008至2017年期间，全国SUV的销量逐年增长，故A正确；

对于选项B，由SUV增量图可知：与上一年比，年增长率最大的是2010年，故B正确；

对于选项C，2008至2017年期间，全国SUV的销量高于600万辆的年份有2015年、2016年、2017年3个，故C正确；

对于选项D，2008至2017年期间，全国SUV的平均销量45+66+132+162+200+299+408+621+905+104310=388.1，故D错误．

故选D．

5.答案：B

解析：

本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义．

先画出约束条件的可行域，利用目标函数𝑧=−3𝑥+4𝑦的几何意义，求解目标函数的最大值．

解：作出x，y满足约束条件{𝑥−2𝑦+3≥0𝑥−𝑦+1≥0𝑦≥1，所示的平面区域，

如图：

作直线−3𝑥+4𝑦=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，

由{𝑥−2𝑦+3=0𝑥−𝑦+1=0可得𝐴(1,2)，此时𝑧=5．

故选B．

6.答案：C