2020-2021学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
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第1页，共18页
2020-2021学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 集合𝐴={−3,−2,−1,0，1，2}，集合𝐵={𝑥||2𝑥−1|<2}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {−1,0，1} B. {0,1} C. {0,1，2} D. ⌀
2. 命题“对∀𝑥∈𝑅，都有𝑠𝑖𝑛𝑥≤1”的否定为( )
A. 对∀𝑥∈𝑅，都有𝑠𝑖𝑛𝑥>1 B. 对∀𝑥∈𝑅，都有𝑠𝑖𝑛𝑥≤−1
C. ∃𝑥0∈𝑅，使得𝑠𝑖𝑛𝑥0>1 D. ∃𝑥0∈𝑅，使得𝑠𝑖𝑛𝑥≤1
3. 若角𝜃的终边经过点𝑃(−√22,√22)，则𝑡𝑎𝑛𝜃=( )
A. √22 B. −√22 C. −1 D. −√32
4. 函数𝑓(𝑥)=sin4𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−cos4𝑥的最小正周期是( )
A. 𝜋4 B. 𝜋2 C. 𝜋 D. 2𝜋
5. 已知𝑎=𝑠𝑖𝑛160°，𝑏=𝑐𝑜𝑠50°，𝑐=𝑡𝑎𝑛110°，则a，b，c的大小关系为( )
A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑐<𝑏<𝑎 C. 𝑐<𝑎<𝑏 D. 𝑎<𝑐<𝑏
6. 已知函数𝑓(𝑥)=1−lg1−𝑥1+𝑥，若𝑓(𝑎)=12，则𝑓(−𝑎)=( )
A. −12 B. 12 C. −32 D. 32
7. 基本再生数𝑅0与世代间隔T是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在𝛼型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型
𝐼(𝑡)=𝑒𝑟𝑡描述累计感染病例数𝐼(𝑡)随时间𝑡(单位：天)的变化规律，指数增长率r与𝑅0、T近似满足𝑅0=1+𝑟𝑇，有学者基于已有数据估计出𝑅0=3.22，𝑇=10.据此，在𝛼型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至𝐼(0)的3倍需要的时间约为( )(参考数据：𝑙𝑛3≈1.10)
A. 2天 B. 3天 C. 4天 D. 5天
8. 已知函数𝑓(𝑥)={|ln(1+𝑥)|,𝑥>−1(𝑥+2)2,𝑥≤−1，若方程𝑓(𝑥)−𝑚=0有4个不相同的解，则实数m取值范围为( )
A. (0,1] B. [0,1) C. (0,1) D. [0,1]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 下列命题为真命题的是( ) 第2页，共18页 A. 若𝑎>𝑏，则1𝑎<1𝑏
B.
若𝑎<𝑏<0，则𝑎2>𝑎𝑏>𝑏2
C. √𝑥(10−𝑥)≤5
D. 𝑙𝑔𝑥<0是𝑥<1的充分不必要条件
10. 下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A. 𝑓(𝑥)=𝑥13 B. 𝑓(𝑥)=𝑡𝑎𝑛𝑥
C. 𝑓(𝑥)=3𝑥−3−𝑥 D. 𝑓(𝑥)=𝑥⋅𝑐𝑜𝑠𝑥
11. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,0<𝜑<𝜋)的部分图象如图所示，则下列正确的是( )
A. 𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+2𝜋3)
B. 𝑓(2021𝜋)=1
C. 函数𝑦=|𝑓(𝑥)|为偶函数
D. ∀𝑥∈𝑅,𝑓(𝜋6+𝑥)+𝑓(𝜋6−𝑥)=0
12. 已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)同时满足下列三个条件：①𝑓(𝑥)是奇函数；②∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥+𝜋2)=−𝑓(𝑥)；③当𝑥∈(0,𝜋4]时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1；则下列结论正确的是( )
A. 𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=𝜋
B. 𝑓(𝑥)在[−𝜋4,𝜋4]上单调递增
C. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=−𝜋2对称
D. 当𝑥=𝑘𝜋2(𝑘∈𝑍)时，𝑓(𝑥)=0
三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 已知弧长为𝜋的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为 ．
14. 已知𝛼为第二象限角，cos(𝛼−𝜋2)−2𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝛼)=34，则𝑐𝑜𝑠𝛼= ．
15. 计算：lg√5+2𝑙𝑜𝑔23+𝑙𝑜𝑔2116+lg22+ln1=
四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 某种物资实行阶梯价格制度，具体见表： 第3页，共18页 阶梯 年用量(千克) 价格(元/千克)
第一阶梯 不超过10的部分 6
第二阶梯 超过10而不超过20的部分 8
第三阶梯 超过20的部分 10
则一户居民使用物资的年花费y元关于年用量x千克的函数关系式为 ；若某居民使用该物资的年花费为100元，则该户居民的年用量为 千克．
五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 从“①∀𝑥∈𝑅，𝑓(2+𝑥)=𝑓(2−𝑥)；②方程𝑓(𝑥)=0有两个实数根𝑥1，𝑥2，𝑥1+𝑥2=4；③∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)≤𝑓(2)”三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答．
已知函数𝑓(𝑥)为二次函数，𝑓(−1)=−8，𝑓(0)=−3，_______．
(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；
(2)若不等式𝑓(𝑥)−𝑘𝑥≤0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．
18. 2006年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2018年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中𝑃1：𝑓(𝑡)=𝑎𝑡+𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)是按直线上升的地价，𝑃2：𝑔(𝑡)=𝑐𝑙𝑜𝑔2(𝑑+𝑡)(𝑐,𝑑∈𝑅)是按对数增长的地价，t是2006年以来经过的年数.2006年对应的t值为0．
(1)求𝑓(𝑡)，𝑔(𝑡)的解析式；
(2)2018年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2022年的地价相对于2018年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.(参考数据：log210≈3.32)
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19. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)(0<𝜑<𝜋2)，函数𝑦=𝑓(𝑥−𝜋12)为奇函数．
(1)求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间；
(2)将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋6个单位，然后将所得图象上的各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数𝑔(𝑥)的图象，证明：当𝑥∈[0,𝜋4]时，2𝑔2(𝑥)−𝑔(𝑥)−1≤0．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(2−2𝑥)+ln(2−2−𝑥).
(1)求函数𝑓(𝑥)的定义域；
(2)判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性，并说明理由；
(3)若𝑓(𝑥)≤𝑚恒成立，求实数m的取值范围．
21. 如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每𝜋分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为𝑑(单位：米)(在水面下d则为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间𝑡(单位：分钟)之间的关系为𝑑=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡+𝜑)+𝐾(𝐴>0,𝜔>0,−𝜋2<𝜑<𝜋2). 第5页，共18页 (1)求A，𝜔，𝜑，K的值；
(2)求盛水筒W出水后至少经过多长时间就可到达最高点？
(3)某时刻𝑡0(单位：分钟)时，盛水筒W在过点O的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过𝜋6分钟后，盛水筒W是否在水中？
22. 若函数𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的图象均连续不断，𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)均在任意的区间上不恒为0，𝑓(𝑥)的定义域为𝐼1，𝑔(𝑥)的定义域为𝐼2，存在非空区间𝐴⊆(𝐼1∩𝐼2)，满足：∀𝑥∈𝐴，均有𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)≤0，则称区间A为𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的“𝛺区间”．
(1)写出𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥和𝑔(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥在[0,𝜋]上的一个“𝛺区间”(无需证明)；
(2)若𝑓(𝑥)=𝑥3，[−1,1]是𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的“𝛺区间”，证明：𝑔(𝑥)不是偶函数；
(3)若𝑓(𝑥)=𝜋ln𝑥𝑒𝑥−1𝑒+𝑥+sin2𝑥，且𝑓(𝑥)在区间(0,1]上单调递增，(0,+∞)是𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的“𝛺区间”，证明：𝑔(𝑥)在区间(0,+∞)上存在零点．
第6页，共18页 答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了集合之间的运算，涉及了含有绝对值不等式的解法，解题的关键是掌握集合交集的定义，属于基础题．
先利用绝对值不等式的解法求出集合B，然后再利用集合交集的定义进行求解即可．
【解答】
解：因为集合𝐴={−3,−2,−1,0，1，2}，
集合𝐵={𝑥||2𝑥−1|<2}={𝑥|−12<𝑥<32}，
所以𝐴∩𝐵={0,1}．
故选B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查含有量词命题的否定．
利用全称量词命题的否定是存在量词命题，写出结果即可．
【解答】
解：∵全称量词命题的否定是存在量词命题，
∴命题“对∀𝑥∈𝑅，都有𝑠𝑖𝑛𝑥≤1”的否定为：∃𝑥0∈𝑅，使得𝑠𝑖𝑛𝑥0>1．
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
