2020-2021学年山东省青岛市九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

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2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷

1. 下列方程是一元二次方程的是( )

A. 2𝑥2+𝑦=1 B. 9𝑦=3𝑦−1 C. 2𝑥2=1 D.

3𝑥−2𝑥2=8

2. 如图所示的4个三角形中，相似三角形有( )

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对

3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=10(𝑎、b、c为常数，𝑎≠0)的一个解x的范围为( )

x 0 0.5 1 1.5 2

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 −15 −8.75 −2 5.25 13

A. 0<𝑥<0.5 B. 0.5<𝑥<1 C. 1<𝑥<1.5 D. 1.5<𝑥<2

4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠𝐸𝐴𝐵：∠𝐸𝐴𝐷=1：3，则∠𝐸𝑂𝐴的度数为( )

A. 30°

B. 35°

C. 40°

D. 45°

5. 青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是( )

A. 13 B. 23 C. 19 D. 29

6. 如图，菱形ABCD的面积为24𝑐𝑚2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是( ) 第2页，共25页 A. 3cm B. 4cm C. 4.8𝑐𝑚 D. 5cm

7. 下列结论正确的是( )

A. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．

B. 如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．

C. 如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．

D. 一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．

8. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐶的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取𝐸𝐹=𝐵𝐸，连接𝐷𝐹.下列说法中正确的有( )

(1)𝐺𝐻：𝐹𝐷=1：2；(2)𝐵𝐷2=𝐵𝐹⋅𝐵𝐶；(3)四边形EBHD是菱形；(4)𝑆△𝐴𝐷𝐹=29𝑆△𝐴𝐵𝐶．

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

9. 已知𝑥2=𝑦4≠0，则3𝑥+𝑦2𝑦= ______ ．

10. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同.某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：

摸球的次数 100 200 500 800 1000 1200

摸到白球的次数 42 81 201 324 402 481 第3页，共25页 根据上表数据，估算口袋中黑球有______ 个.

11. 如图，直线𝑎//𝑏//𝑐，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果𝐷𝐸=2，𝐸𝐹=5，𝐴𝐶=6，那么AB的长为______ ．

12. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是______ ．

13. 如图，四边形ABCD是面积为6𝑐𝑚2的正方形，△𝐴𝐶𝐸是等边三角形，图中阴影部分的面积是______ 𝑐𝑚2．

14. 现有30张相同的菱形纸片(如图1，有一个内角为60°)，小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用______ 张菱形纸片(不得将菱形纸片剪开)．

15. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．

求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．

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16. 解方程：𝑥2+2𝑥+2=8𝑥+4(配方法)．

17. 解方程：8𝑥2−2𝑥−3=0．

18. 已知：关于x的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2+2𝑥−1=0有两个不相等的实数根.求：k的最小整数解．

19. 用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．

(1)利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；

(2)求游戏者获胜的概率． 第5页，共25页

20. 如图，AF，AG分别是△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸的高，∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐺．

(1)求证：△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴𝐷𝐸；

(2)若𝐷𝐸=3，𝐴𝐷𝐴𝐵=25，求BC的长．

21. 有一个面积为54𝑐𝑚2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．

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22. 已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐵=𝐶𝐴，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠𝐴𝐶𝑀的平分线CN与点F．

(1)求证：𝐴𝐷=𝐶𝐹；

(2)连接CD，AF，当△𝐴𝐵𝐶满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．

23. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．

(1)若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是______ 件(直接填写结果)；

(2)不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？

(3)在(2)的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．

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24. 古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是√5−12.古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．

【探索发现】：

如图1，若点𝑃1是线段AB靠近点B的黄金分割点，

则𝐴𝑃1=√5−12𝐴𝐵，所以𝐵𝑃1=(1−√5−12)𝐴𝐵=3−√52𝐴𝐵．

若𝑃2是线段𝐵𝑃1靠近点B的黄金分割点，则𝐵𝑃2=3−√52𝐵𝑃1，所以𝐵𝑃2= ______ AB．

若𝑃3是线段𝐵𝑃2靠近点B的黄金分割点，则𝐵𝑃3=3−√52𝐵𝑃2，所以𝐵𝑃3= ______ AB．

……

【归纳提炼】

若𝑃𝑛是线段𝐵𝑃𝑛−1靠近点B的黄金分割点，则𝐵𝑃𝑛= ______ AB．

【解释应用】：

如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．

在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：

作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点𝑃1为线段AB的黄金分割点；

以此类推：

作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点𝑄1为线段BC的黄金分割点；

作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点𝑃2为线段______ 的黄金分割点；

作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点𝑄2为线段______ 的黄金分割点；

……

显然，这样变换可以无限的进行下去．

借助对“𝐵𝑃2与AB，𝐵𝑄2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD的周长为a时，以𝐵𝑃2，𝐵𝑄2为领边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：______ ． 第8页，共25页 【拓展延伸】：

(1)设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为𝑎1，𝑎2，𝑎3，𝑎4，

请直接写出𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4= ______ .(用含有a的代数式表示)

(2)如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．

请直接写出这条曲线的长度：______ .(用含有a的代数式表示)

25. 已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，𝐴𝐵=6𝑐𝑚，𝐵𝐶=8𝑐𝑚.点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1𝑐𝑚/𝑠；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2𝑐𝑚/𝑠.过点Q作𝑄𝐸⊥𝐴𝐶，QE与BC相交于点E，连接𝑃𝑄.设运动时间为𝑡(𝑠)(0<𝑡≤165)，解答下列问题：

(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？

(2)设四边形BPQC的面积为𝑦(𝑐𝑚2)，求y与t之间的函数关系式；

(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△𝐶𝐷𝐹为等腰三角形？若存在，直接写出t的值(不需提供解答过程)；若不存在，请说明理由．