山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题及答案
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2020~2021学年度第一学期期末学业水平检测
高三数学试题
2021.01
本试卷6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹
的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的
答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；
3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．若全集RU=
，集合2
{R|60}Axxx=∈+−≥
，集合{R|lg(1)0}Bxx=∈−<
，则
R()AB=ð
（ ）
A．(1,2)−
B．(1,2)
C．(3,2)−
D．(3,1)−
2
．
21sin70
22sin10+°
=
−°（ ）
A．2
B．1−
C．1
D
．1
2
3．
“4
0,
2xax
x∀>≤+
+”的充要条件是（ ）
A．2a>
B．2a≥
C．2a<
D．2a≤
4．《莱茵德纸草书》（Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：
把93
个面包分给5
个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一
份的四分之三，则最小的一份为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
5．
已知双曲线22
22:1(0)
cossin2xyπ
θ
θθΓ−<<
的焦点到渐近线的距离等于1
2，则θ=
（ ）
A
．
3π
B
．
4π
C
．
6π
D
．
12π
6．已知函数()fx
的部分图象如下所示，则()fx
可能为（ ）
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A
．cos1
()
22xxx
fx
−+
=
+
B
．cossin
()
22xxxxx
fx
−+
=
+
C．cossin
()
22xxxxx
fx
−+
=
−
D．cossin
()
22xxxxx
fx
−+
=
+
7．设α
，β
是两个不同的平面，l
是一条直线，以下结论正确的是（ ）
A．若lα⊥
，//αβ
，则lβ⊥
B．若//lα
，//lβ
，则//αβ
C．若lα⊥
，αβ⊥
，则lβ⊂
D．若//lα
，αβ⊥
，则lβ⊥
8．某种芯片的良品率X
服从正态分布2
N(0.95,0.01)
，公司对科技改造团队的奖励方案如下：
若芯片的良品率不超过95%
，不予奖励；若芯片的良品率超过95%
但不超过96%
，每张芯片
奖励100
元；若芯片的良品率超过96%
，每张芯片奖励200
元．则每张芯片获得奖励的数学期
望为（ ）元
A．52.28
B．65.87
C．50.13
D．131.74
附：随机变量ξ
服从正态分布2
(,)Nµσ
，则()0.6826Pµσξµσ−<<+=
，
(22)0.9544Pµσξµσ−<<+=
，(33)0.9974Pµσξµσ−<<+=
．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知向量1ab⋅=
，||1a=
，||3ab−=
，设a
，b
所成的角为θ
，则（ ）
A．||2b=
B．()aba⊥−
C．//ab
D．60θ=°
10．定义在R
上的函数()fx
满足：x
为整数时，()2021fx=
；x
不为整数时，()0fx=
．则（ ）
A．()fx
是奇函数 B．()fx
是偶函数
C．Rx∀∈
，(())2021ffx=
D．()fx
的最小正周期为1
11．已知函数()sin()fxxωϕ=+
（其中0,0ωϕπ><<
）图象的两条相邻的对称轴之间的距离
为
2π
，()1
6fπ
=
，下列结论正确的是（ ）
A．()sin(2)
6fxxπ
=+
B．将函数()yfx=
的图象向右平移
6π
个单位后得到函数sin2yx=
的图象
C．当(0,)
2xπ
∈
时，()fx
有且只有一个零点
D．()fx
在[0,]
6π
上单调递增
y
O
x
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12．在三棱柱
111CBAABC−
中，ABC∆
是边长为32
的等边三角形，侧棱长为34
，则（ ）
A．直线CA
1与直线
1BB
之间距离的最大值为3
B． 若
1A
在底面ABC
上的投影恰为ABC∆
的中心，则直线AA
1与底面所成角为°60
C．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB
与CA
1所成的角为30°
D．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为π64
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知i
是虚数单位，复数1
1zi
i=+
−，则||z= ．
14．若二项式(12)n
x+*
(N)n∈
的展开式中所有项的系数和为243
，则该二项式展开式中含有3
x
项
的系数为 ．
15．设函数()(1)x
fxex=+
的图象在点(0,1)
处的切线为yaxb=+
，若方程||x
abm−=
有两个
不等实根，则实数m
的取值范围是 ．
16．
如图所示，在平面直角坐标系中，25
(0,),(3,0)
5QL−−
，圆Q过坐标原点O，圆L与圆Q
外切．则（1）圆L的半径等于 ；（2）已知过点L和抛物线22(0)xpyp=>焦点
的直线与抛物线交于BA,
，且3OAOB⋅=−
，则p= ．
（第一空2分，第二空3分）
xOLy
Q
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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在①2
42
nnnSaa=+
，②
112,2
nnanaS
+==
这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并
解答．
已知正项数列{}
na
的前n
项和为
nS
， ．
（1）求数列{}
na
的通项公式；
（2）若数列{}
nb
满足
1
31
log1
2nnba=−
，且
nnncab=
，求数列{}
nc
的前n
项和
nM
．
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．
18．（12分）
在如图所示的平面图形中，2AB=
，3BC=
，
6ABCAECπ
∠=∠=
，AE
与BC
交于点
F
，若CAEθ∠=
，(0,)
3π
θ∈
．
（1）用θ
表示,AEAF
；
（2
）求AE
AF取最大值时θ
的值．
19．（12分）
如图，在直角梯形ABED
中，//BEAD
，,DEADBCAD⊥⊥
，4AB=
，23BE=
．将
矩形BEDC
沿BC
翻折，使得平面ABC⊥
平面BCDE．
（1）若BCBE=
，证明：平面ABD⊥
平面ACE
；
（2）当三棱锥ABCE−
的体积最大时，求平面ADE与平面ABC
所成的锐二面角的余弦值．
A B
C E
F
A B C D
E
A
B E D C
⇒
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