2021年中考数学 一轮专题训练：矩形、菱形(含答案)
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2021中考数学 一轮专题训练：矩形、菱形
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.2
2. （2019·上海）下列命题中，假命题是( )
A．矩形的对角线相等 B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．矩形的对角线互相平 D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
3. （2020·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
4. (2020·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证．．．．△ABE和△ADF一定全等的条件是( )
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( )
A. AB＝AD B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠BAC＝∠DAC
6. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是(
)
E
A
B
7. （3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8. （2020·武威）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
9. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
CDFEOBA
图5
A．485 B．325 C．245 D．125
10. (2020·绥化)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE＋∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝25．其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是 .
12. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .
13. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．
14. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．
15. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为 .
图K24-8
16. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，则菱形的面积是________． G F
D C
B
17. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是
.
18. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．
19. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．
20. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是 .
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.
求证：四边形AODE是矩形．
22. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
23. 如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长.
24. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形．
26. 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
2021中考数学 一轮专题训练：矩形、菱形-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】C
2. 【答案】D
【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D错误，是假命题.
3. 【答案】C
【解析】利用三角形的中位线定理，可得中点四边形有如下结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形的中点四边形
是正方形．由此可知，该题选项C符合题意．
4. 【答案】C
【解析】由菱形的性质可知AB＝AD，∠B＝∠D，因此△ABE与△ADF已具备了一边一角相等．当选项A做条件时可用“ASA”判定全等；当选项B或选项D做条件时，可用“SAS”判定全等．选项C做条件时是“边、边、角”，不能判定两个三角形全等．故选C．
5. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得对角线是角平分线，所以D正确．
6. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC、BD交于点O，由于点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，所以0＜x＜2.当0＜x＜1时，△AMN∽△ABD⇒APAO＝MNBD⇒x1＝MN1⇒MN＝x⇒y＝12x2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝0，此时y随x的增大而增大. 所以B和D均不符合条件．当1＜x＜2时，△CMN∽△CBD⇒CPCO＝MNBD⇒2－x1＝MN1⇒MN＝2－x⇒y＝12x(2－x)＝－12x2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x＝1，此时y随x的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C是符合条件的．
7. 【答案】B
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，然后利用勾股定理列式求出BC，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OBBD6＝3，OA＝OCAC8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，BC5，
∴AD＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OEAD＝2.5．
8. 【答案】连结AE，
∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
∴AC＝20cm，
∵菱形的边长AB＝20cm，
∴AB＝BC＝20cm，
∴AC＝AB＝BC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠DAB＝120°．
故选：C．
9. 【答案】C
【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD的面积为24，OA为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF的值．过程如下：
∵AOEEODAODSSS
∴111222OAOEODEF 即11551222OEEF，∴OE+EF=245，因此本题选C．
10. 【答案】D
