中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
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中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）
1．下列命题正确的是( )
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
2．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则以下说法错误的是( )
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG.下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF.其中正确的结论是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝14S△ABC.其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.
6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．
7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.
(1)如图1，求证：CE＝BH；
(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．
8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____． 9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 参考答案
1．A 2．C 3．A 4．D
5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略
8．6
解析：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AC⊥BD，AO＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD＝4.
∵S菱形ABCD＝12AC·BD＝24，
∴AC＝6，
∴AO＝3，
∴AB＝√𝐴𝑂2+𝐵𝑂2＝5＝AD.
∵BE＝BF＝CG＝AH，
∴AE＝CF＝DH＝DG，
∴𝐵𝐸𝐴𝐸＝𝐵𝐹𝐶𝐹，
∴EF∥AC.
同理可得GH∥AC，
设BE＝BF＝CG＝AH＝a，则有DH＝5－a，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴𝐵𝐸𝐴𝐵＝𝐸𝐹𝐴𝐶，即𝑎5＝𝐸𝐹6，
∴EF＝65a，
同理可得𝐷𝐻𝐷𝐴＝𝐺𝐻𝐶𝐴，即5−𝑎5＝𝐺𝐻6，
∴GH＝6－65a，
∴EF＋GH＝6. 9．(1)证明略
(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略
(3)DE＝3＋√19
10．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF＋∠DFC＝90°.
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF＋∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF.
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE＝CF.
∵CH＝DE，
∴CF＝CH.
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°.
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC＝∠H.
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H.
(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG.
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11.
∵CF＋CG＝FG，
∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，
即CF的长为3.
