√31的化简结果

第三节平方根的简化计算-学而思培优
在这一节中，我们将探讨如何对平方根进行简化计算。

1. 什么是平方根？
平方根是一个数字的平方的反操作。

对于任意非负实数 a，其
平方根是一个非负实数 b，使得 b² = a。

平方根可以用符号√a 来表示。

2. 简化平方根的方法
对于一些特定的数字，我们可以使用简化方法来计算其平方根。

以下是一些常见的简化平方根的方法：
2.1 完全平方数的平方根
如果一个数是另一个整数的平方，那么它的平方根是一个整数。

例如，√4 = 2，因为 2² = 4。

同样地，√9 = 3，因为 3² = 9。

2.2 整数倍关系的平方根
如果两个数之间存在整数倍的关系，那么它们的平方根也存在相同的倍数关系。

例如，√16 = 4，因为 4² = 16。

根据同样的逻辑，√64 = 8。

2.3 分解因式的平方根
对于一些非完全平方数，我们可以将其分解因式，然后简化计算平方根。

例如，√12 = √(2² × 3) = 2√3。

3. 总结
平方根的简化计算能够帮助我们更加快速地进行数学计算。

掌握了简化平方根的方法，我们可以更加高效地解决各种与平方根相关的问题。

以上是关于平方根简化计算的学而思培优内容。

希望本节的内容能够帮助你更好地理解和应用平方根的计算。

参考资料：。

专题07 复合二次根式的化简【例题讲解】，只要我们找到两个正数a b ，，使a b m ab n +==，，即22m +==)a b ==>．，这里712m n ==，，由于4374312+=´=，．即227+==2===请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：(1)=___________=___________；(2)写出计算过程(3)n 为正整数1．观察下列各式及其化简过程：1===，====(1)(2)；(3))=>中，m，n与a，b之间的关a b系．2．先阅读材料，然后回答问题(1)问题的过程如下，=①=②==在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)因为21)3=+，1,=因为2(27=-，2=请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：次根式”去掉一层根号，达到化简效果．解：设24+=（a ，b 为非负有理数），则4a b +=++∴43a b ab +=ìí=î①②由①得，4b a =-，代入②得：()43a a -=，解得11a =，23a =∴13b =，21b =∴224(1+==1==请根据以上阅读理解，解决下列问题：(1)的化简结果是__________；(2)；(3)理由．完全平方式进行化简，如：1．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)(2)；(3)若2+=()，且a，m，n为正整数，求a的值．a m6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m ，n ，使22m n a +=并且mn =则将a +变成()2222m n mn m n +±=±化简．∵(22231211+=++=++=1==仿照上例化简下列各式：7．先阅读下列解答过程：的式子的化简，只要我们找到两个正数a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +=， =)a b ==>．．7m =，12n =，由于437+=，4312´=，即227+==2===+请根据材料解答下列问题：(1)=______；(2)（请写出计算过程）；a±m2+n2±2mn，即变成(m±n)2例如，222+，请仿照上例解下列问题：(1) ；(2) .∵==，∴==+1mn =a ±，变成2222()m n mn m n +±=±因为2223121(1+=++=++=1==+仿照上例化简下列各式：（1（210∵)2×1+122，1=；仿照上例化简下列各式：11．阅读下面材料，回答问题：(1)======请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．(2)．12．阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2化简．例如：∵2+=）2请你仿照上例将下列各式化简（1（2x m2+n2±2mn＝(m±n)2化简．解：∵＝122＝2==1请你仿照上面的方法，化简下列各式：可将a ±变成222m n mn +±，即变成()2m n +.例如：=22++=2请仿照上例化简下列各式：15．先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一===|1|＝1解决问题：①=_________________＝________________＝_________________②根据上述思路，试将下列各式化简：； .。

二次根式的化简与比较大小二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示为根号下一个数的形式。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和比较大小的操作。

本文将探讨二次根式的化简和比较大小的方法。

一、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。

最简形式是指分子和分母互质，且分母不含根号的形式。

1. 化简含有相同根号的二次根式当二次根式中含有相同根号时，可以将它们合并为一个根号下的数。

例如，化简√3 + √3。

由于√3 + √3 = 2√3，所以√3 + √3可以化简为2√3。

2. 化简含有不同根号的二次根式当二次根式中含有不同根号时，可以尝试将其化简为一个根号下的数。

例如，化简√2 + √8。

首先，我们可以将√8写成√(2 × 4)，即√(2 × 2 × 2)。

然后，我们可以将√2 + √(2 × 2 × 2)化简为√2 + 2√2，即3√2。

二、二次根式的比较大小比较二次根式的大小时，可以使用以下方法：1. 平方比较法平方比较法是将二次根式的平方进行比较。

由于平方是非负数，所以比较二次根式的平方可以得到它们的大小关系。

例如，比较√5和√7的大小。

首先，我们可以计算它们的平方，即5和7。

由于5小于7，所以√5小于√7。

2. 通分比较法通分比较法是将二次根式的分母进行通分，然后比较分子的大小。

通分后，分母不再含有根号，可以直接比较分子的大小。

例如，比较√3/√2和√5/√2的大小。

首先，我们可以将分母通分为2，得到√3/2和√5/2。

由于√3小于√5，所以√3/2小于√5/2。

三、综合运用在实际问题中，我们常常需要综合运用化简和比较大小的方法来解决问题。

例如，我们需要比较√3 + √2和√5的大小。

首先，我们可以将√3 + √2化简为√6。

然后，我们可以比较√6和√5的大小。

由于6大于5，所以√6大于√5。

因此，√3 +√2大于√5。

又如，我们需要比较√3 - √2和√5的大小。

化简求值50道(你值得拥有)1.先化简，再求值：(+)/(÷)，其中x=-1.2.化简求值：(a^2+1)/(a-1)，a取-1、0、1、2中的一个数。

3.先化简，再求值：(√3-1)/(√3+1)。

4.先化简，再求值：(1-1/3+1/5-1/7+1/9)/(1+1/3+1/5+1/7+1/9)。

5.先化简，再求值：(1/(1+x)+x/(1-x^2)),其中x=(-1)+(-1)*tan60°。

6.先化简，再求值：(a^2+1)/(a^3-a)，其中a=-1.7.先化简，再求值：(1-x)/(x^2-x-1)，其中x满足x^2-x-1=0.8.先化简，再求值：(a+2)/(a^2+3a-1)，其中a满足a^2+3a-1=0.9.先化简，再求值：(x-max)/(x-min)，其中x为数据-1，-3，1，2的极差。

10.先化简，再求值：(√2+1)/(√2-1)。

11.化简求值：(1+√2)/(√2-1)。

12.先化简，再求值：(x^2-3)/(x-√3)。

13.先化简，再求值：(a+b)/(a-b)，其中a=-1，b=1+√2.14.先化简，再求值：(x+1)/(x^2-1)其中x≠-1.15.先化简，再求值：(x-2)/(x^2+1)，其中x=2.16.先化简，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值：(x+1)/(x-2)。

17.先化简，再求值：(1/x)+(x/1)，其中x的值为方程2x=5x-1的解。

18.先化简：(x^2-1)/(x+1)。

19.先化简，再求值：(√(x+3)-1)/(√(x+3)+1)，其中x=-1.20.先化简，再求值：(-2)/(x^2-4)，其中x=2.21.先化简，再求值：(1-a)/(a^2+2a+1)，其中a=-1/2.22.先化简，再求值：(-1)/(a^2-b^2)，其中a=1，b=-1.23.先化简代数式(-a)/(a^2+1)，再从1，2三个数中选择适当的数作为a的值代入求值。

二次根式的化简及材料分析目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (2)类型一、利用二次根式的性质化简 (2)类型二、复合二次根式的化简 (4)类型三、二次根式的混合运算 (7)类型四、新定义问题 (11)类型五、材料探究题 (16)压轴能力测评（12题） (21)2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于03.最简二次根式的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母；③分母中不含根号二次根式的性质1.双重非负性:如0a ³³ 2.22(0)a a =³(0)||(0)a aa a a ³ì==í-<î，，0,0)a b =³³0,0)a b ³³类型一、利用二次根式的性质化简【例121=-，则a 的取值范围是 ．【例2】已知 5x y +=-，4xy =，求的值．【变式训练1】已知01x <<，且111x x +=的值为 ．【变式训练2】若0xy >，则二次根式化简的结果为 ．【变式训练3】先化简再求值：当3a =-时，求a 的值．甲、乙两人的解答如下：甲：原式()11a a a ==+-=；乙：原式()1217a a a a ==+-=-=-．(1)______的解答是错误的，错误的原因是______；(2)若9a =-，计算a 的值．类型二、复合二次根式的化简【例3】已知a 、b 为有理数，且满足a +=a b -等于（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【例4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：(2231211+=++=++=这样小明就找到了一种把部分a +方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)试着把7+化成一个完全平方式．(2)若a 是216的立方根，b 是16．【变式训练1】观察下列各式：2225(23)+=++=++=+，2228(17)121(1+=++=++´=，……．请运用以上的方法化简= ．【变式训练2的整数部分为a ，小数部分为b ，则334a b a b+=++- 【变式训练3】先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，肖战解决这个问题的过程如下，=①②=在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)类型三、二次根式的混合运算【例5a b ，则()63a a b +-=．【例6】小明在解决问题：已知a =2281a a -+的值．他是这样分析与解答的：因为2a ===2a -=．所以2(2)3a -=，即2443a a -+=．所以241a a -=-．所以()222812412(1)11a a a a -+=-+=´-+=-．请根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)=_______；(2)若a =2481a a -+的值：(3)+×××．【变式训练1】已知，2a =，2b =，求，(1)ab =_____________；22a b ab +-=_____________；(2)若m 为a 整数部分，n 为b 小数部分，求m n的值.【变式训练2】在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a =和b =a 和b 分别平方，∵221218a b ==，，则22a b <，∴a b <．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c =d =c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想 m =n =之间的大小，并证明．(3)= （直接写出答案）．【变式训练3】阅读下面材料：将边长分别为a ，a ，a +a +……的正方形面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，……．则2221([(][(]S S a a a a a a -=-=+×-(22a b ==+；2232(([(((S S a a a a a a -=+-=+++-(232a b =++……根据以上材料解答下列问题：(1)根据材料中的规律可得面积记为n S 的正方形边长是 ；(2)猜想1n n S S +-的结果，并证明你的猜想；(3)令121t S S =-，232t S S =-，343t S S =-，…，1n n n t S S +=-，且12n T t t t =+++ ，求T 的值．类型四、新定义问题【例7】我们规定用(),a b 给出如下定义：记m =n =，其中（0a >，0b >），将(),m n与(),n m 称为数对(),a b 的一对“对称数对”．若数对(),a b 的一个“对称数对”是，则ab 的值是 ．【例8】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数f m T n <<∶，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“麓外区间”为(),m n ，如12<<区间为()1,2．(1)“麓外区间”是 ；(2)若b =b 的“麓外区间”；(3)实数x y n ，，=+，求n 的算术平方根的“麓外区间”．【变式训练1】对于任意两个非零实数a 、b ，定义运算Ä如下：()()00a a a b bab a ì>ïÄíï<î＝如：2255Ä=，()252510-Ä=-´=-．根据上述定义，解决下列问题：=______，(1Ä(1=______；(2)若()()112x x -Ä+=，求x 的值．【变式训练2】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如()2222a ab b a b ±+=±||a b ±．如何将双5±转化为222±+=完全平方的形式，因=±材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y 和(),Q x y ¢给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ³ì=í-<¢î，则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点()2,5-的“横负纵变点”为()2,5--．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______________________，点()2--的“横负纵变点”为______________________；(2)(3)已知a 为常数()12a ££，点()M m且m =，点M ¢是点M 的“横负纵变点”，则点M ¢的坐标是_________________________．【变式训练3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数:T m T n <<，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“行知区间”为(),m n ，如12<<的行知区间为()1,2．(1)的“行知区间”是________；(2)若a ，求a 的“行知区间”；(3)实数x ，y ，n =n 的算术平方根的“行知区间”．类型五、材料探究题【例9】阅读以下材料：如果两个正数a b ､，即00a b >>､，由完全平方式的非负数性质可得：20³Q =即a b =时，取等号），0a b \-+³a b \+³a b =时取等号）结论：对任意两个正数,a b ，都有a b +³；上述不等式当且仅当a b =时等号成立．当这两个正数,a b 的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数,a b 的和的最小值．例如：当x 为正数时，两数x 和4x 均为正数，且44x x ×=（常数），则有424x x +³==当且仅当4x x =即2x =时取等号\当2x =时，4x x +有最小值，最小值为4.利用以上结论完成下列问题：(1)已知m 为正数，即0m >，则当m = 时，1m m+取到最小值，最小值为 ；(2)当y x ､均为正数，即0,0y x >>时，求函数41y x x =++的最小值；(3)如图，四边形ABCD 的对角线AC BD ､相交于点,O AOB COD V V ､的面积分别是4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【变式训练1】【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12Rt A A O △的面积）；22313OA =+=，2S =2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA=+=，3S =3S 是34Rt A A O △的面积）；．=【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S = _________，11OA = _________；(2)求122334455611111S S S S SS S S S S +++++++++的值．【变式训练2】阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：有意义，则需20a -³，解得：2a ³；()221111n n +++，而()221111n n +++()()()222222111n n n n n n ++++=+()()2222221211n n n n n n n +++++=+()()2222212211n n n n n n ++++=+=()()()1111111111n n n n n n n n ++==+=+-+++．(1)=成立，求a 的取值范围；(2)利用①中的提示，请解答：如果1b =，求a b +的值；(3)利用②中的结论，【变式训练3】阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：(231+=+，善于思考的小青进行了以下探索：设(2a m +=+（为方便探究规律．设a ，b ，m ，n 均为正整数），则有2222a m n +=++∴222a m n =+，2b mn =．这样小青就找到了一种把部分形如a +下列问题：当a ，b ，m ，n 均为正整数时，(1)若(2a m +=+，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得=a __________，b =__________；(2)①若(27m +=+，则m =__________，n =__________；②若(2a m +=+，且m n >，求a 的值．1．已知a =b =ab 的值应在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间2．已知14a -<<的结果是（ ）A ．3-B ．3C ．23a -D ．32a -3．已知=a =b c a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b<c<a4．若,a b ,a a b ==-的有理化因式”互称为“有理化因式”．令()F x =结论：（ ）=②若()()()()44334b c F F F F -=+-+（其中,b c 为有理数）则3b c =；③若()()43114F m F m ---=，则()()43118F m F m -+-=；④()()()()()()()()11111212322343342024202320232024F F F F F F F F +++¼+=++++以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1==例2===特例3===应用发现的运算规律求）A ．2024B ．C ．2023D ．6．化简的结果是．7===…，则第7个等式是 ．8．非零实数x ，y 满足)32024x y -=，则2222232x xy y x y ++=+ ．三、解答题9．无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是3p -．请回答下列问题：(1)2的整数部分是 ，小数部分是 ；(2)已知x 是5y 是其小数部分，求(5x y -的值．10,m n ，使22m n a +=且mn222a m n mn ±=+±变成2()m n ±例如：化简3-．解：31-===-．仿照上例化简下列各式：11．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．(1)【回顾旧知，类比求解】2=．解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得x = ．经检验，x = 是原方程的解．(2)【学会转化，解决问题】31x =；7？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．12．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如)334=-，1=，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个==7==+中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：(1)“>”“<”或“=”填空）；(2)+×××(3)设实数x ，y 满足(2023x y =，求2023x y ++的值．。

二次根式的化简方法二次根式在数学中是一个常见的概念，它们经常出现在代数、几何等各个领域的数学问题中。

对于二次根式的化简，很多学生常常感到困惑，不知道如何下手。

其实，二次根式的化简并不难，只要掌握一些基本的方法和技巧，就能轻松应对各种化简问题。

本文将介绍几种常见的二次根式化简方法，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下二次根式的定义。

一般来说，形如√a的数称为二次根式，其中a为一个非负实数。

如果a是一个非负实数，那么√a就是一个实数；如果a是一个负数，那么√a就是一个虚数。

在实际运用中，我们经常需要对二次根式进行化简，使其更加简洁和方便计算。

下面就介绍几种常见的化简方法。

第一种方法是利用因式分解。

对于形如√ab的二次根式，我们可以将其化简为√a乘以√b。

这是因为二次根式具有乘法性质，即√ab = √a √b。

例如，对于√12，我们可以将其化简为√4乘以√3，即2√3。

这样一来，我们就成功地将二次根式化简为一个更加简洁的形式。

第二种方法是利用有理化的技巧。

有时候，我们会遇到形如a+ √b的二次根式，这时可以利用有理化的方法进行化简。

有理化的基本思想是，通过乘以适当的形式为1的数，将二次根式中的根号消去。

例如，对于√3 + 2，我们可以将其有理化为(√3 + 2)乘以(√3 2)，这样就可以消去根号，得到一个更加简洁的形式。

第三种方法是利用配方法。

有时候，我们会遇到形如√a + √b的二次根式，这时可以利用配方法进行化简。

配方法的基本思想是，通过加减适当的数，将二次根式中的根号消去。

例如，对于√5 +√3，我们可以将其配成(√5 + √3)乘以(√5 √3)，这样就可以消去根号，得到一个更加简洁的形式。

总的来说，化简二次根式并不是一件困难的事情，只要掌握了一些基本的方法和技巧，就能轻松应对各种化简问题。

希望本文介绍的几种化简方法能够帮助读者更好地理解和掌握二次根式的化简，从而在数学学习和解题中游刃有余。

简单的根式化简方法1. 引言根式是数学中经常出现的一种表达形式，它可以表示数字的平方根、立方根等。

根式的化简是指将一个根式表示为最简形式，以便更好地研究和计算。

本文将介绍一种简单的根式化简方法，帮助读者更好地理解和应用根式。

2. 相关概念在讨论根式化简之前，首先需要了解一些相关的数学概念。

2.1 平方根平方根是指一个数的平方等于给定的数。

例如，2的平方根是±√2，因为（±√2）²= 2。

2.2 立方根立方根是指一个数的立方等于给定的数。

例如，3的立方根是∛3，因为∛3³= 3。

2.3 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

例如，1/2、3.5和-4是有理数。

有理数可以表达为整数和分数的形式。

3. 简单的根式化简方法在化简根式时，我们可以尝试以下几个步骤：3.1 因式分解对于一个根式，我们首先尝试对里面的数进行因式分解。

例如，对于√8，我们可以将8因式分解为2²×2，于是√8可以变为√（2²×2），进一步可以化简为2√2。

因式分解可以大大简化根式的表达形式。

3.2 合并根式当一个根式中含有多个相同的根时，我们可以将它们合并在一起。

例如，√3 + √3 可以合并为2√3。

同样地，√5 + √20 可以合并为√(5+20)，进一步可以化简为√25，即5。

3.3 有理化分母当根式出现在分母中时，我们可以尝试有理化分母。

有理化分母的方法是将分母中的根式通过乘以一个适当的数使其变为一个整数。

例如，1/√2 可以有理化分母为√2/2。

3.4 同底提出公因子当根式中含有不同的底数时，我们可以尝试将它们化为相同的底数。

例如，√a + √b 可以将它们化为相同的底数√ab，进一步可以进行合并根式。

3.5 平方倍化当根式中含有分母时，我们可以尝试对整个式子进行平方倍化的操作。

例如，(1/√2)²可以变为1/2，进一步化简结果。

化简求值1．先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣1．2．化简求值：，a取﹣1、0、1、2中的一个数．3．先化简，再求值：÷﹣,其中x=﹣4．4．先化简,再求值：（1﹣）÷，其中x=（+1)0+（）﹣1•tan60°．5．先化简,再求值：，其中．6．先化简,再求值：，其中a=﹣1．7．先化简,再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2﹣x﹣1=0．8．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0．9．先化简，再求值:÷(x﹣）,其中x为数据0，﹣1,﹣3，1,2的极差．10．先化简,再求值：（+)÷，其中a=2﹣．11．化简求值：（﹣）÷,其中a=1﹣，b=1+．12．先化简，再求值:(x﹣）÷，其中x=cos60°．13．先化简，再求值：（﹣）÷,其中x=﹣1．14．先化简,再求值：（x+1﹣）÷，其中x=2．15．先化简，再求值：(﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．16．先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．17．先化简，再求值：÷（﹣）+，其中x的值为方程2x=5x﹣1的解．18．先化简：(x﹣）÷,再任选一个你喜欢的数x代入求值．19．先化简，再求值：÷（2+)，其中x=﹣1．20．先化简，再求值：(﹣），其中x=2．21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=．22．先化简，再求值：(﹣1)÷,其中a=+1，b=﹣1．23．先化简代数式（﹣)÷,再从0，1，2三个数中选择适当的数作为a的值代入求值．24．先化简，再求值：(x﹣1﹣)÷，其中x是方程﹣=0的解．25．先简化，再求值：(﹣）+，其中a=+1．26．先化简,后计算:（1﹣）÷（x ﹣），其中x=+3．27．先化简,再求值：(1﹣）÷,其中x=3．28．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=（）﹣1﹣（π﹣1）0+．29．先化简，再求值：（）÷，其中a，b 满足+｜b ﹣|=0．30．先化简，再求值：（﹣）÷，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．31。

二次根式 50 题（含解析）1.计算：2．先分解因式，再求值：b2－2b+1－a2，其中a=－3，b=+4．3．已知，求代数式（x+1）2－4（x+1）+4的值．4．先化简，再求值：．5．（1）计算：；（2）化简，求值：，其中x=－1．6．先化简、再求值：+，其中x=，y=．7．计算：（1）（－2）2+3×（－2）－（）－2；（2）已知x=－1，求x2+3x－1的值．8．先化简，再求值：，其中．9．已知a=2+，b=2－，试求的值．10．先化简，再求值：，其中a=+1，b=．11．先化简，再求值：，其中，．12．先化简，再求值：，其中a=－1．13．先化简，再求值：（x+1）2－2x+1，其中x=．14．化简，将代入求值．15．已知：x=+1，y=－1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2－y2．16．先化简，再求值：，其中．17．先化简，再求值：，其中．18．求代数式的值：，其中x=2+．19．已知a为实数，求代数式的值．20．已知：a=－1，求的值．21．已知x=1+，求代数式的值．22．先化简,再求值：，其中x=1+，y=1－．23．有这样一道题：计算－x2（x＞2）的值，其中x=1005，某同学把“x=1 005”错抄成“x=1 050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由．24．已知：x=，y=－1，求x2+2y2－xy的值．25．已知实数x、y、a满足：，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．26．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．27．（1）计算28.（2）解不等式组．29．已知a=+2，b=－2，则的值为（）30．已知a=2，则代数式的值等于（）31．已知x=，则代数式的值为（）32．已知x=，则•（1+）的值是（）33．若，则的值为（）34．已知，则的值为（）35．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=．36．若最简根式与是同类二次根式，则ab=．37．计算：①= ；②=．38．化简－= ．39．化简－的结果是．40．计算：= ．41．计算：+=．42．化简：= ．43．化简：－+=．44．计算：= ．45．先化简－（－），再求得它的近似值为（精确到0.01，≈1.414，≈1.732）．46．化简：的结果为．47．计算：= ．48．化简：= ．49．化简：+（5－）=．50．计算：= ．解析：1．解：原式=2+（2+）－（7+4）=－－5．2．当a=－3，b=+4时，原式=×（+6）=3+6．3．解：原式=（x+1－2）2=（x－1）2，当时，原式==3．4．解：原式=－===．当时，=．5．解：（1）原式=4－－4+2=；（2）原式===x+1，当x=－1时，原式=．6．解：原式=－===x－y，当x=，y=时，（2）方法一：当x=－1时，x2+3x－1=（－1）2+3（－1）－1=2－2+1+3－3－1=－1；方法二：因为x=－1，所以x+1=，所以（x+1）2=（）2即x2+2x+1=2，所以x2+2x=1所以x2+3x－1=x2+2x+x－1=1+x－1=－1．8．解：原式====－x－4，当时，原式===．9．解：∵a=2+，b=2－，∴a+b=4，a－b=2，ab=1．而=，∴===8．10．原式==，∵∴．11．解：===，把，代入上式，得原式=．12．解：====；当a=－1时，原式====－（－1）=1．13．解：原式=x2+2x+1－2x+1=x2+2；当．14．解：原式=•=x－3；当x=3－，原式=3－－3=．15．解：（1）当x=+1，y=－1时，原式=（x+y）2=（+1+－1）2=12；（2）当x=+1，y=－1时，原式=（x+y）（x－y）=（+1+－1）（+1－+1）=4．16．解：===x－2；当时，原式=．17．解：原式=a2－3－a2+6a=6a－3，当a=时，原式=6+3－3=6．18．解：原式=+=+=；当x=2+时，原式==．19．解：∵－a2≥0∴a2≤0而a2≥0∴a=0∴原式=．20．解：原式=，当a=－1时，原式=．21．解：原式=－==，当x=1+时，原式=．22．解：原式===；当x=1+，y=1－时，原式=．23．解：原式==+－x2=－x2=－2．∵化简结果与x的值无关，∴该同学虽然抄错了x的值，计算结果却是正确的．24．解：当时，x2+2y2－xy==．25．解：根据二次根式的意义，得，解得x+y=8，∴+=0，根据非负数的意义，得解得x=3，y=5，a=4，∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为6．26．解：（1）S=，=；P=（5+7+8）=10，又S=；（2）=（－）=，=（c+a－b）（c－a+b）（a+b+c）（a+b－c），=（2p－2a）（2p－2b）•2p•（2p－2c），=p（p－a）（p－b）（p－c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）27．解：27.（1）原式=3－－+1=3－－+1=+1；28.（2）由①得x+1＞3－x，即x＞1；由②得4x+16＜3x+18，即x＜2；不等式组的解集为1＜x＜2．29．解：原式=====5．30．解：当a=2时，=2－=2－=2－3－2=－3．31．解：=．32．当x=时，=－1，∴原式=1－（）=2－．33．解：原式==•－•=a－b，34．解：∵a==，b==，∴==5．35．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a－8=17－2a，解得：a=5．36．解：∵最简根式与是同类二次根式，∴，解得：，∴ab=1．37．解：①×===4；②－=2－=．38．解：原式=2－3=－．39．解：原式=2－=．故答案为：．40．解：原式=3－4+=0．41．解：原式=2+=3．42．解：原式=4－=3．43．（2010•聊城）化简：－+=．44．解：原式=2－=．45．解：原式=－（－）=－（－）=－+=3≈3×1.732≈5.196≈5.2046．解：原式=－20=－14．47．解：原式=2－3=－．48．解：=5．49．解：原式=+5－=5．50．解：原式=2－+=2．。