第七1章 正交分解

专题 受力分析 正交分解法【学习目标】1.掌握力的正交分解法，分析简单的日常生活和生产中的问题. 【预习案】1： 在图3－5－15中，用绳AC 和BC 吊起一个重100 N 的物体，两绳AC 、BC 与竖直方向的夹角分别为30°和45°.求：绳AC 和BC 对物体的拉力的大小.2.如图所示，AO 、BO 和CO 三根绳子能承受的最大拉力相等，O 为结点，OB 与竖直方向夹角为θ，悬挂物质量为m 。

求：（1）OA 、OB 、OC 三根绳子拉力的大小 。

（2）A 点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变化？【探究案】3.正交分解法把力沿两个互相垂直的方向进行分解的方法叫做力的正交分解法.正交分解是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算来解决矢量运算.利用正交分解法解题的步骤如下：（1）正确选定直角坐标系.通常以共点力的作用点为坐标原点.选取坐标轴应使尽可能多的力与坐标轴重合.（2）正交分解各力.将每一个不在坐标轴上的力分解到x 坐标轴和y 坐标轴上，并求出各分力的大小，如图3－5－4所示.（3）分别求出x 轴和y 轴上各力的分力的合力即 F x =F 1x+F 2x +…… F y =F 1y+F 2y +……（4）求F x 与F y 的合力即为共点力的合力.合力的大小：F=22y x F F +，合力θ OB AC的方向由F 与x 轴间的夹角α确定，即α=arctanxy F F正交分解法的应用例1：在同一平面上共点的四个力F 1、F 2、F 3、F 4的大小依次是19 N 、40 N 、30 N 和15 N ，方向如图3－5－13所示，求其合力.点评：如果物体受到多个力的作用，易采用正交分解的方法.选取坐标轴时，可以是任意的，不过选择合适的坐标轴可以使问题简化，通常坐标系的选取有两个原则：（1）使尽量多的力分布在坐标轴上； （2）尽量使未知量处在坐标轴上.正交分解法不仅可以应用力的分解，也可以应用于其他任何矢量的分解. 警示：:注意“死节”和“活节”问题。

北师大版物理《第七章运动和力》知识点归纳一、力的定义：力是物体之间的相互作用。

（1）力拥有物质性：力不可以走开物体而存在。

说明：①对某一物体而言，可能有一个或多个施力物体。

②并不是先有施力物体 , 后有受力物体（2）力拥有相互性：一个力老是关系着两个物体，施力物体同时也是受力物体，受力物体同时也是施力物体。

说明：①相互作用的物体可以直接接触，也可以不接触。

②力的大小用测力计丈量。

（3）力拥有矢量性：力不但有大小，也有方向。

（4）力的作用成效：使物体的形状发生改变；使物体的运动状态发生变化。

（5）力的种类：①依据力的性质命名：如重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力等。

②依据成效命名：如压力、拉力、动力、阻力、向心力、回复力等。

说明：依据成效命名的，不一样名称的力，性质可以相同；同一名称的力，性质可以不一样。

二、重力定义：因为遇到地球的吸引而使物体遇到的力叫重力。

说明：①地球周边的物体都遇到重力作用。

②重力是由地球的吸引而产生的，但不可以说重力就是地球的吸引力。

③重力的施力物体是地球。

④在两极时重力等于物体所受的万有引力，在其余地点时不相等。

（1）重力的大小： G=mg说明：①在地球表面上不一样的地方同一物体的重力大小不一样的，纬度越高，同一物体的重力越大，因此同一物体在两极比在赤道重力大。

②一个物体的重力不受运动状态的影响，与能否还受其余力也没关系。

③在办理物理问题时，一般以为在地球周边的任何地方重力的大小不变。

（2）重力的方向：竖直向下（即垂直于水平面）说明：①在两极与在赤道上的物体，所受重力的方向指向地心。

②重力的方向不受其余作用力的影响，与运动状态也没有关系。

（3）重心：物体所受重力的作用点。

重心的确定：①质量分布平均。

物体的重心只与物体的形状有关。

形状规则的平均物体，它的重心就在几何中心上。

②质量分布不平均的物体的重心与物体的形状、质量分布有关。

③薄板形物体的重心，可用悬挂法确立。

说明：①物体的重心可在物体上，也可在物体外。

§1.2 空间向量基本定理 第1课时 空间向量基本定理学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解． 导语回顾平面向量基本定理，如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a ，b ，c 表示呢？ 一、空间向量基本定理问题1 如图，设i ，j ，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O ，对于任意一个空间向量p ＝OP →，p 能否用i ，j ，k 表示呢？提示 如图，设OQ →为OP →在i ，j 所确定的平面上的投影向量，则OP →＝OQ →＋QP →. 又向量QP →，k 共线，因此存在唯一的实数z ，使得QP →＝z k ，从而OP →＝OQ →＋z k .在i ，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OQ →＝x i ＋y j .从而OP →＝OQ →＋z k ＝x i ＋y j ＋z k .问题2 你能证明唯一性吗？提示 假设除(x ，y ，z )外，还存在有序实数组(x ′，y ′，z ′)，使得p ＝x ′i ＋y ′j ＋z ′k ，则x ′i ＋y ′j ＋z ′k ＝x i ＋y j ＋z k .不妨设x ′≠x ，则(x ′－x )i ＝(y －y ′)j ＋(z －z ′)k . 两边同除以(x ′－x )，得i ＝y －y ′x ′－x j ＋z －z ′x ′－xk .由平面向量基本定理可知，i ，j ，k 共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x ，y ，z )是唯一的．知识梳理1．空间向量的基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .2．基底：我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底． 解 假设OA →，OB →，OC →共面．则存在实数λ，μ使得OA →＝λOB →＋μOC →， ∴e 1＋2e 2－e 3＝λ(－3e 1＋e 2＋2e 3)＋μ(e 1＋e 2－e 3) ＝(－3λ＋μ)e 1＋(λ＋μ)e 2＋(2λ－μ)e 3， ∵e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＋μ＝1，λ＋μ＝2，2λ－μ＝－1此方程组无解，∴OA →，OB →，OC →不共面，∴{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一个基底． 反思感悟 基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 跟踪训练1 (多选)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有( ) A ．{a ，b ，x } B ．{x ，y ，z } C ．{b ，c ，z } D ．{x ，y ，a ＋b ＋c }答案 BCD解析 如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→，由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面． 二、空间向量的正交分解 知识梳理1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示．2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k ，使a ＝x i ＋y j ＋z k .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解． 三、用基底表示空间向量例2 如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点．用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12(OB →＋OC →)－12OA → ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.OQ →＝12OM →＋12OP →＝14OA →＋112OA →＋16OB →＋16OC → ＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 反思感悟 用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12 D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12AB →－12AA 1→＝12(a －c )＝12a －12c .(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ，又D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1．知识清单： (1)空间的基底． (2)空间向量基本定理． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件． (2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心．1．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇏q ，q ⇒p .2．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的是( ) A.OA → B.OB → C.OC → D.OA →或OB → 答案 C解析 ∵OC →＝12(a －b )，∴OC →与a ，b 共面，∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间内任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →可用a ，b ，c 表示为( )A ．a －b ＋2cB ．a －b －2cC ．－12a ＋12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 D解析 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋12BA →＝OC →＋12(OA →－OB →)＝12a －12b ＋c .4．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，AC ′—→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，则( ) A ．x ＝y ＝z ＝12B ．x ＝y ＝z ＝1C ．x ＝y ＝z ＝22D ．x ＝y ＝z ＝2答案 B解析 AC ′—→＝AB →＋BC ′—→＝AB →＋BB ′—→＋BC →＝AB →＋AA ′—→＋AD →＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′—→)＋12(AA ′—→＋AD →)＝12AC →＋12AB ′—→＋12AD ′—→＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→，对比AC ′—→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，得x ＝y ＝z ＝1.课时对点练1．(多选)若{a ，b ，c }是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A ．a ,2b ,3cB ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋aC ．a ＋b ＋c ，b ＋c ，cD ．a ＋2b ,2b ＋3c ,3a －9c答案 ABC解析 因为{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，对于A ，B ，C 选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D ，a ＋2b ,2b ＋3c ,3a －9c 满足3a －9c ＝3[(a ＋2b )－(2b ＋3c )]， 所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底． 2．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．已知A ，B ，M ，N 是空间中的四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底 答案 ABC解析 A 中，假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与已知条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面，即A 是真命题；B 中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B 是真命题；C 中，由BA →，BM →，BN →有公共点B ，所以A ，B ，M ，N 四点共面，即C 是真命题； D 中，因为a ，b ，c 共面，所以{a ，b ，c }不能构成基底，故D 错误．3．在正四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则用a ，b ，c 表示OE →为( ) A.OE →＝13a ＋13b ＋13cB.OE →＝12a ＋23b ＋cC.OE →＝12a ＋12b ＋12cD.OE →＝12a ＋14b ＋14c答案 D解析 OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋14(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)，所以OE →＝12a ＋14b ＋14c . 4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则( ) A ．a ，p ，q 是空间的一组基底 B ．b ，p ，q 是空间的一组基底 C ．c ，p ，q 是空间的一组基底D ．p ，q 与a ，b ，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底 答案 C解析 假设c ＝k 1p ＋k 2q ，即c ＝k 1(a ＋b )＋k 2(a －b )，得c ＝(k 1＋k 2)a ＋(k 1－k 2)b ，这与{a ，b ，c }是空间的一个基底矛盾，故c ，p ，q 是空间的一组基底，故选C.5.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可表示为( )A.－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC.－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c答案 A解析 取AC 的中点N ，连接BN ，MN ，如图所示，∵M 为A 1C 1的中点，AB →＝a ，BC →＝b ，AA 1→＝c ，∴NM →＝AA 1→＝c ，BN →＝12(BA →＋BC →)＝12(－AB →＋BC →)＝－12a ＋12b ，∴BM →＝BN →＋NM →＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋c ＝－12a ＋12b ＋c . 6．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别在棱BB 1，BC ，BA 上，且满足BE →＝34BB 1→，BF →＝12BC →，BG →＝12BA →，O 是平面B 1GF 、平面ACE 与平面B 1BDD 1的一个公共点，设BO →＝xBG →＋yBF →＋zBE →，则x ＋y ＋z 等于( ) A.45 B.65 C.75 D.85 答案 B解析 因为BO →＝xBG →＋yBF →＋zBE →＝xBG →＋yBF →＋3z 4BB 1→，O 在平面B 1GF 内，所以x ＋y ＋3z 4＝1，同理可得x 2＋y2＋z ＝1，解得x ＋y ＝25，z ＝45.所以x ＋y ＋z ＝65.7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝____________.答案 12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)解析 ∵2AC 1→＝2AA 1→＋2AD →＋2AB →＝(AA 1→＋AD →)＋(AA 1→＋AB →)＋(AD →＋AB →)＝AD 1→＋AB 1→＋AC →， ∴AC 1→＝12(AD 1→＋AB 1→＋AC →)．8．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为________．答案 －23，－16，16解析 取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM →－PE →)＝12CD →－⎝⎛⎭⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝ －16，z ＝16.9.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1→，BE →，AF →； (2)化简DD 1→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果． 解 (1)DB 1→＝DC →＋CB 1→＝DC →＋BB 1→－BC →＝a －b ＋c . BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E —→＝－a ＋12b ＋c .AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )＝a ＋12b ＋12c .(2)DD 1→＋DB →＋CD →＝DD 1→＋(CD →＋DB →)＝DD 1→＋CB →＝DD 1→＋D 1A 1—→＝DA 1→. 如图，连接DA 1，则DA 1→即为所求．10．如图所示，在空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用向量a ，b ，c 表示向量GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝13OA →＋23OD →＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )，又OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝OH →－OG →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .11.如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 12．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝αa ＋βb ＋γc 时，α＋β＋γ＝________. 答案 3解析 由已知得，d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3. 又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.13.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OG →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 16a ＋13b ＋13c解析 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →) ＝12OA →＋23⎝⎛⎭⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC → ＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 14．如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，点G 为△ACO 1的重心，若OA →＝a ，OC →＝b ，OO 1→＝c ，OG →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ＋y ＋z ＝________.答案 1解析 易知△ACO 1为正三角形，连接OB ，设AC ，BO 相交于点M ，连接O 1M ，如图所示，显然点G 在线段O 1M 上，且满足O 1G —→＝2GM →，有OG →－OO 1→＝2(OM →－OG →)，得OG →＝23OM →＋13OO 1→，即OG →＝23×12(OA →＋OC →)＋13OO 1→＝13OA →＋13OC →＋13OO 1→＝13a ＋13b ＋13c ，可得x ＋y ＋z ＝1.15．已知四面体O －ABC ，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，23答案 A解析 如图所示，连接AG 1并延长，交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)，∵OG →＝3GG 1→，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →. ∴x ＝14，y ＝14，z ＝14.16.如图，在三棱锥P －ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段P A ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →＝mP A →，PE →＝nPB →，PF →＝tPC →，求证：1m ＋1n ＋1t为定值，并求出该定值．解 连接AG 并延长交BC 于点H ，连接DM (图略)． 由题意，可令{P A →，PB →，PC →}为空间的一个基底， PM →＝34PG →＝34(P A →＋AG →)＝34P A →＋34×23AH →＝34P A →＋12×AB →＋AC →2＝34P A →＋14(PB →－P A →)＋14(PC →－P A →)＝14P A →＋14PB →＋14PC →. ∵点D ，E ，F ，M 共面，∴存在实数λ，μ使得DM →＝λDE →＋μDF →，即PM →－PD →＝λ(PE →－PD →)＋μ(PF →－PD →)，∴PM →＝(1－λ－μ)PD →＋λPE →＋μPF →＝(1－λ－μ)mP A →＋λn PB →＋μt PC →， 由空间向量基本定理，知14＝(1－λ－μ)m ，14＝λn ，14＝μt ，∴1m ＋1n ＋1t ＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．。

第1讲电场的力的性质一、点电荷、电荷守恒定律1．点电荷：有一定的电荷量，忽略形状和________的一种理想化模型．2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体________到另一个物体，或者从物体的一部分________到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持________．(2)起电方式：________、________、感应起电．(3)带电实质：物体带电的实质是________．二、库仑定律1．内容：________中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的________成正比，与它们的距离的________成反比．作用力的方向在它们的连线上．2．表达式：F＝________，式中k＝________ N·m2/C2，叫静电力常量．3．适用条件：(1)________中；(2)________．三、电场强度、点电荷的场强1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的________．2．定义式：E＝________．单位：N/C或V/m.3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝________．4．方向：规定________在电场中某点所受________的方向为该点的电场强度方向．5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的________和，遵从________定则．四、电场线1．定义：为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的________和________，在电场中画出一条条有方向的曲线，曲线上每点的________表示该点的电场强度方向，曲线的________表示电场强度的大小．2.五、处于静电平衡状态的导体的特点1．导体内部的场强________．2．导体是一个等势体，导体表面是等势面．3．导体表面处的场强方向与导体表面________．4．导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的________上．5．在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷．,生活情境1.如图所示，塑料梳子与头发摩擦后能吸引纸屑，经检验梳子所带的电荷为负电荷，则(1)梳子失去了一些电子( )(2)梳子得到了一些电子( )(3)头发得到了一些电子( )(4)头发和梳子间没有电子转移( )教材拓展2.[人教版选修3－1改编]如图所示，两个不带电的导体A和B用一对绝缘柱支持使它们彼此接触．把一带正电荷的物体C置于A附近，贴在A、B下部的金属箔都张开，则( )A．此时A带正电，B带负电B．此时A电势低，B电势高C．移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合D．先把A和B分开，然后移去C，贴在A、B下部的金属箔都闭合3．[人教版选修3－1P15T5改编]如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )A．这个电场可能是正点电荷形成的B．D处的场强为零，因为那里没有电场线C．点电荷q在A点所受的电场力比在B点所受电场力小D．负电荷在C点受到的电场力方向沿C点切线方向考点一 库仑定律的理解与应用1．对库仑定律的理解 (1)F ＝kq 1q 2r 2，r 指两点电荷间的距离．对可视为点电荷的两个均匀带电球，r 为两球的球心间距．(2)当两个电荷间的距离r →0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大．2．库仑力具有力的共性(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律． (2)库仑力可使带电体产生加速度． (3)库仑力可以和其他力平衡．(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力．跟进训练1．如图所示，真空中两个完全相同的绝缘带电金属小球A 、B (均可看做点电荷)，分别带有－12Q 和＋Q 的电荷量，两球间静电力为F .现用一个不带电的同样的金属小球C 先与A 接触，再与B 接触，然后移开C ，接着再使A 、B 间距离增大为原来的2倍，则它们间的静电力大小为( )A ．3128F B ．5128F C ．364F D ．564F2．如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m 的点电荷A 、B ，A 带电＋Q ，B 带电－9Q .现引入第三个点电荷C ，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C 的带电性质及位置应为( )A ．正，B 的右边0.4 m 处 B ．正，B 的左边0.2 m 处C ．负，A 的左边0.2 m 处D ．负，A 的右边0.2 m 处3．[2022·四川乐山模拟]如图，带电量分别为q a、q b、q c的小球，固定在等边三角形的三个顶点上，q a所受库仑力的合力F方向垂直于q a、q b的连线，则( ) A．q b、q c异号，且q c＝2q bB．q a、q b异号，且q b＝2q aC．q a、q c同号，且q c＝2q aD．q a、q b同号，且q b＝2q a4．如图所示，用两根长度均为l的绝缘轻绳将带正电的小球悬挂在水平的天花板下，小球的质量为m，轻绳与天花板的夹角均为θ，小球正下方距离也为l的A处一绝缘支架上同样有一个带电小球，此时轻绳的张力均为0，现在将支架水平向右移动到B处，B处位置与两轻绳结点的连线与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，若已知θ＝30°，则( ) A．A处的带电小球带负电B．支架在A处与在B处时两小球之间的库仑力大小之比为2∶3mgC．支架在B处时，左边绳子的张力为mg－√32mgD．支架在B处时，右边绳子的张力为mg＋√32[思维方法]解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了电场力．具体步骤如下：考点二电场强度的理解及计算2.电场强度的三个计算公式：例.[2021·湖南卷，4]如图，在(a，0)位置放置电荷量为q的正点电荷，在(0，a)位置放置电荷量为q的负点电荷，在距P(a，a)为√2a的某点处放置正点电荷Q，使得P点的电场强度为零．则Q的位置及电荷量分别为( )A．(0，2a)，√2q B．(0，2a)，2√2qC√2q√2q跟进训练5．[人教版必修第三册P17T6改编]如图所示，一个质量为30 g、带电荷量为－1.7×10－8C的半径极小的小球用绝缘丝线悬挂在某匀强电场中，电场线与水平面平行．当小球静止时，测得悬线与竖直方向夹角为30°，则匀强电场方向和大小为(g取10 m/s2)( )A.水平向右，5×106 N/CB．水平向右，1×107 N/CC．水平向左，5×106 N/CD．水平向左，1×107 N/C6．如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向B．Q1<Q2C．在A、B连线上还有一点与P点电场强度相同D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零7．(多选)如图所示，在圆心为O、半径为R的圆周上等间距分布着三个电荷量均为q 的点电荷a、b、c，其中a、b带正电，c带负电．已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )A.a受到的库仑力大小为√3kq23R2B．c受到的库仑力大小为√3kq23R2，方向由O指向cC．a、b在O点产生的场强为√3kqR2D．a、b、c在O点产生的场强为2kq，方向由O指向cR2考点三电场线的理解和应用1．电场线的应用(1)在同一电场里，电场线越密的地方场强越大．(2)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向．(3)沿电场线方向电势逐渐降低．(4)电场线和等势面在相交处互相垂直．2．两种等量点电荷的电场线等量异种点电荷等量同种点电荷O点最大，向外逐渐减小O点为零，向外先变大后变小跟进训练8．如图所示是真空中两点电荷的周围的电场分布情况．图中O点为两点电荷连线的中点，MN为两点电荷连线的中垂线，OM＝ON.下列说法正确的是( )A．同一电荷在O、M、N三点所受的电场力相同B．同一电荷在O、M、N三点的电场力方向相同C．O、M、N三点的电场强度大小关系是E M＝E N>E OD．把另一自由电荷从M点静止释放，将沿MON做往复运动9．如图所示为静电场的一部分电场线的分布，下列说法正确的是( )A．这个电场可能是负点电荷形成的B．C点处的场强为零，因为那里没有电场线C．点电荷q在A点受到的电场力比在B点受到的电场力大D．负电荷在B点时受到的电场力方向沿B点切线方向10．如图是一带电球体和一可视为点电荷的带电小球周围电场线的分布图，球体和小球所带电荷量相同，A为球体球心与小球连线在球体外的部分的中点，B、C为关于连线对称的两点．取无穷远处电势为零，以下说法正确的是( )A．小球一定带正电，带电球体一定带负电B．A点处的电势为零，B、C两点电场强度相同C．将带电粒子从B点移到C点电场力做功为零D．A点的电场强度小于B、C两点的电场强度第七章 静电场第1讲 电场的力的性质必备知识·自主排查一、 1．大小2．转移 转移 不变 摩擦起电 接触起电 得失电子 二、1．真空 电荷量的乘积 二次方 2．kq 1q 2r 29.0×1093．(1)真空 (2)点电荷 三、 1．比值 2． Fq 3．k Qr 24．正电荷 电场力 5．矢量 平行四边形 四、1．大小 方向 切线方向 疏密2．(1)正电荷 (2)相交 (3)场强 (4)场强方向 (5)降低 (6)垂直 五、(1)处处为零 (3)垂直 (4)外表面生活情境1．(1)× (2)√ (3)× (4)× 教材拓展2．解析：由感应起电可知，近端感应出异种电荷，故A 带负电，B 带正电，故A 项错误；处于静电平衡状态下的导体是等势体，故A 、B 电势相等，故B 项错误；先移去C ，则A 、B 两端的等量异种电荷又重新中和，而先分开A 、B ，后移走C ，则A 、B 两端的等量异种电荷就无法重新中和，故C 项正确，D 项错误．答案：C 3．答案：C关键能力·分层突破1．解析：根据库仑定律知：F ＝kQ·12Qr 2＝12kQ 2r 2，用不带电的小球C 与A 接触，则A 、C 的电荷量为Q A ＝Q C ＝－14Q ，C 与B 再接触，则B 的电荷量为Q B ＝＋38Q ，根据库仑定律知此时静电力大小：F ′＝k14Q·38Q (2r )2＝3128k Q 2r 2＝364F ，故C 正确，A 、B 、D 错误．答案：C2．解析：根据库仑定律，当C 在A 的左侧时，C 受到A 、B 库仑力的合力才可能为0，则C 在A 的左边；为使A 受到B 、C 的库仑力的合力为0，C 应带负电；设C 在A 左侧距A 为x 处，由于C 处于平衡状态，所以k Qqx 2＝9kQ·q(0.4+x )2，解得x ＝0.2 m ，C 正确．答案：C3．解析：根据题意可知，小球a 、c 之间存在排斥力，q a 、q c 同号，小球a 、b 之间存在吸引力，q a 、q b 异号，所以q b 和q c 异号，根据平行四边形法则，排斥力是吸引力的两倍，根据库仑定律F ＝kq 1q 2r 2，故F ac ＝kq a q c r 2、F ab ＝kq a q b r 2，根据题意得F ac ＝2F ab ，所以有q c ＝2q b ，故B 、C 、D 错误，A 正确．答案：A4．解析：当绝缘支架上的带电小球在A 位置时，轻绳的张力均为0，对其受力分析可知其只受重力和库仑力，因此两小球之间的库仑力为斥力，则A 处的带电小球带正电，故A 错误；根据库仑定律可得F ＝k Qqr 2，因此绝缘支架在A 处与在B 处时，两小球之间的库仑力大小之比F AF B＝r 22 r 12 ＝1cos 230°＝43，故B 错误；根据平衡条件知，F A ＝mg ，则支架在B 处时，两球间的库仑力为F B ＝34F A ＝34mg ，设左、右绳的张力分别为F 1和F 2，则由正交分解可得F 1cos 30°＋34mg sin 30°＝F 2cos 30°，F 1sin 30°＋34mg cos 30°＋F 2sin 30°＝mg ，解得F 1＝mg －√32mg, F 2＝mg －√34mg ，故C 正确，D 错误．答案：C例 解析：(a ，0)和(0，a )两点处的电荷量为q 的点电荷在P 点产生的电场强度的矢量和E ＝√2kq a 2，方向如图所示[由点(a ，a )指向点(0，2a )]，由在距P 点为√2a 的某点处放置的正点电荷Q 使得P 点电场强度为零可知，此正电荷位于(0，2a )点，且电荷量Q 满足kQ(√2a)2＝√2kq a 2，解得Q ＝2√2q ，B 正确．答案：B5．解析：分析小球受力如图所示，重力mg竖直向下，丝线拉力F T沿丝线方向向上，因为小球处于平衡状态，还应受水平向左的电场力F，小球带负电，所受电场力方向与场强方向相反，所以场强方向水平向右，小球在三个力作用下处于平衡状态，三个力的合力必为零，所以F＝mg tan 30°，又F＝Eq，则E＝mg tan30°q，代入数据得：E＝1×107N/C，故选项B正确．答案：B6．解析：根据题述可知P点的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上其余各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，M点和P点关于O点对称，P点电场强度为零，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误．答案：A7．解析：根据几何关系得ab间、bc间、ac间的距离r＝√3R，根据库仑力的公式得a、b、c间的库仑力大小F＝k q2r2＝k q23R2，a受到的两个力夹角为120°，所以a受到的库仑力为F a＝F＝k q23R2，c受到的两个力夹角为60°，所以c受到的库仑力为F c＝√3F＝√3kq23R2，选项A错误，B正确；a、b在O点产生的场强大小相等，根据电场强度定义有E0＝k qR2，a、b带正电，故a在O点产生的场强方向是由a指向O，b在O点产生的场强方向是由b指向O，由矢量合成得a、b在O点产生的场强大小E＝k qR2，方向由O→c，选项C错误；同理c在O点产生的场强大小为E0＝k qR2，方向由O→c，运用矢量合成法则得a、b、c在O点产生的场强E′＝2k qR2，方向由O→c.选项D正确．答案：BD8．解析：O、M、N三点的电场强度方向相同，但大小不同，O点场强最大，E M＝E N<E O，同一电荷在三点所受的电场力大小不同，方向相同，故选项A、C错误，B正确；把另一电荷从M点静止释放，由于受到水平的电场力作用不会沿MON做往复运动，故选项D错误．答案：B9．解析：负电荷的电场线是指向负电荷的直线，故A错误；电场线只是形象地描述电场，没有电场线的地方，场强不一定为零，故B错误；电场线的疏密表示电场的强弱，E A ＞E B，F＝qE，所以F A＞F B，故C正确；负电荷在B点所受电场力的方向与B点的切线方向相反，故D错误．答案：C10．解析：如果小球带正电，带电球体带负电，带电球体的电荷较分散，在小球右侧空间中，电场线应该始终不可能有向左的分量，故小球应带负电，带电球体带正电，A错误；带电球体不能看成点电荷，所以A点的电势一定不为零，B错误；根据对称性可知，B、C 两点的电场强度大小相等，电势也相等，所以将带电粒子从B点移到C点电势能变化量为零，电场力做功也为零，C正确；A点在小球和带电球体的连线上，且二者带异种电荷，结合库仑定律分析可知，A点的电场强度大小大于B、C两点的电场强度，D错误．答案：C11。

第1讲动量与冲量动量定理1.试题特点:从近几年高考来看,本单元考查的重点是动量定理和动量守恒定律这两大规律。

命题特点是:(1)若单独考查动量定理或动量守恒定律则以选择题的形式出现,难度不大,而且动量定理还可能与图象相结合考查。

(2)若动量定理与力学的主干学问综合,往往以计算题的形式出现,重在对建模实力的考查。

(3)动量与能量综合考查则以计算题的形式出现,这类问题具有过程错综困难、图景“扑朔迷离”、条件隐晦难辨、学问覆盖广的特点。

2.命题动向:2024年的高考考纲改《选修3-5》为必考内容,首考都以选择题的形式出现,且难度不大,随着各地对《选修3-5》教学的重视程度的逐步提高,预料2024年高考对动量考查的深度和题目的综合性有所增加,很有可能以计算题的形式出现。

综合应用动量和能量观点解决碰撞模型问题将仍是今后命题的热点。

第1讲动量与冲量动量定理1 冲量(1)定义:力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。

(2)公式:I=Ft,中学阶段只要求会用I=Ft计算恒力的冲量。

对于变力的冲量,中学阶段只能利用动量定理通过物体的动量变更间接求得。

(3)冲量是矢量,它的方向由力的方向确定(不能说和力的方向相同)。

1.1(2024江西南昌模拟考试)(多选)如图所示,一个物体在与水平方向成θ角的拉力F的作用下沿水平面匀速运动了时间t,则()。

A.拉力F对物体的冲量大小为FtB.拉力对物体的冲量大小为Ft sin θC.摩擦力对物体的冲量大小为Ft sin θD.合力对物体的冲量大小为零【答案】AD2 动量(1)定义:物体的质量和速度的乘积叫作动量。

(2)表达式:p=mv。

(3)单位:千克·米/秒。

符号:kg·m/s。

(4)动量是描述物体运动状态的一个状态量,它与时刻相对应。

(5)动量是矢量,它的方向和速度的方向相同。

(6)动量的变更:Δp=p t-p0。

由于动量为矢量,在求解动量的变更时,其运算遵循平行四边形定则。