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( 1 , 3 ), ( 3 , 2 ),
( 1 , 4 ), ( 3 , 4 )},
( 2 ,1 ),
( 2 , 3 ),
( 2 , 4 ),
AB {( 1 , 2 ),
( 1 , 3 ),
( 2 ,1 ),
( 2 , 3 ),
( 3 ,1 ),
( 3 , 2 )},
由条件概率的公式得
P (B A) P ( AB ) P(A) 6 12 9 12
P ( B1 A ) P ( A B1 )P ( B1 ) P(A)
0 . 02 0 . 15 0 . 0125
0 . 24 .
P (B2 A)
P ( A B2)P (B2 ) P(A)
0 . 64 ,
P (B3 A)
P ( A B3)P (B3 ) P(A)
0 . 12 .
P ( A B 2 ) 0 . 01 ,
P ( A B 3 ) 0 . 03 .
(1) 由全概率公式得
P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B 3 ) P ( B 3 )
0 . 0125 .
(2) 由贝叶斯公式得
P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A 3 A1 A 2 ) P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A 3 A1 A 2 ) P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A 3 A1 A 2 )
2 5 3 4 1 3 3 5 2 4 1 3 3 5 2 4 2 5 2 3 2 5
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
3. 贝叶斯公式
定义 设 为试验 E 的样本空间 A1 , A 2 , , A n 为 的一个划分 P ( A i ) 0 ( i 1 , 2 , , n ), 则 P ( Ai | B ) P ( B | Ai ) P ( Ai )
P ( B 1 ) 0 .3 , P ( B 2 ) 0 .5 , P ( B 3 ) 0 .2 ,
P ( A B 1 ) 0 . 02 , P ( A B 2 ) 0 . 01 , P ( A B 3 ) 0 . 01 ,
故 P ( A ) P ( B1 ) P ( A B1 ) P ( B 2 ) P ( A B 2 ) P ( B 3 ) P ( A B 3 )
化整为零 各个击破
An
说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解
( 5 )可加可列性 件 , 则有
P A i B P ( A i B ). i1 i1
: 设 A 1 , 2 , ,是两两不相容的事 A
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
(1 )有界性
(2) 规 范 性
: 0 P ( A B ) 1;
P ( B ) 1, P ( | B ) 0
( 3 ) P ( A 1 A 2 B ) P ( A 1 B ) P ( A 2 B ) P ( A 1 A 2 B );
( 4 ) P ( A B ) 1 P ( A B ).
n j 1
i 1 ,2 , , n .
P ( A j )P (B | A j )
[证毕]
例2
某电子设备制造厂所用பைடு நூலகம்
的元件是由三家元 的数据 :
件制造厂提供的 元件制造厂 1 2 3
. 根据以往的记录有以下 次品率 0 . 02 0 . 01 0 . 03
提供元件的份额 0 . 15 0 . 80 0 . 05 ,且
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
推广 设 A 1 , A 2 , , A n 为 n 个事件 , n 2 ,
且 P ( A 1 A 2 A n 1 ) 0 , 则有
P ( A 1A 2 A n ) P ( A 1 )P ( A 2 A 1 )P ( A 3 A 1A 2 ) P ( A n A 1 A 2 A n 1 )
P ( B ) P ( BA 1 ) P ( BA 2 ) P ( BA n )
P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) P ( An ) P ( B | An )
图示
A2
A1
B
A3
A n 1
" 被诊断者患有癌症
有 P ( A C ) 0 . 95 , P ( A C ) 0 . 95 . 现 在 对 自 然 人 群 进行普查 , 设被试验的人患有癌症 的概率为 0 . 005 ,
即 P ( C ) 0 . 005 , 试 求 P ( C A ).
解
因为
P ( A C ) 0 . 95 ,
n
贝叶斯资料
, B 为 E 的事件 , , 且 P ( B ) 0,
,
i 1, 2 , , n .
j 1
P(B | A j )P( A j )
称此为贝叶斯公式.
证明
P(A i B ) P (B | A i )P ( A i ) P (B )
P ( A i )P (B | A i )
2 则称
0
A 1 , A 2 , , A n 为样本空间
A2
A3
A n 1
的一个划分
.
A1
An
2. 全概率公式
定义 设 为试验 E 的样本空间 A1 , A 2 , , A n 为 的 一 个 划 分 ( i 1 , 2 , , n ), 则 P ( B ) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) P ( B | An ) P ( An )
解
设 A i 表示 " 第 i 人抓到有字阄
i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 .
" 的事件 ,
2 5 ,
则有
P ( A1 )
P ( A 2 ) P ( A 2 ) P ( A 2 ( A 1 A 1 ))
P ( A1 A 2 A1 A 2 ) P ( A1 A 2 ) P ( A1 A 2 )
B={第一颗掷出6点}
解:
P ( A | B) P ( AB) P ( B)
3 36 6 36 1 2
应用定义
3. 乘法定理
设 P ( A ) 0 , 则有 P ( AB ) P ( B A ) P ( A ).
设 A , B , C 为事件
, 且 P ( AB ) 0 , 则有
例2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只 二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回 抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件 B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 P(B|A). 解 将产品编号 , 1 , 2 , 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
以 ( i , j ) 表示第一次
、 第二次分别取到第
i 号、 第
j 号产品 , 则试验的样本空间为
{( 1 , 2 ), ( 4 ,1 ), ( 4 , 2 ), (1 , 3 ), (1 , 4 ), ( 2 ,1 ), ( 2 , 3 ), ( 2 ,4 ) , ,
( 4 , 3 )},
A {( 1 , 2 ), ( 3 ,1 ),
P ( A1 ) P ( A 2 A1 ) P ( A1 ) P ( A 2 A1 )
2 5 1 4 3 5 2 4 2 5
,
P ( A 3 ) P ( A 3 ) P ( A 3 ( A1 A 2 A1 A 2 A1 A 2 ))
P ( A1 A 2 A 3 ) P ( A1 A 2 A 3 ) P ( A1 A 2 A 3 )
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
.
P ( B ) 0 .4 ,
0 .4 0 .8 1 2 .
P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P(A)
抓阄是否与次序有关?
例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同?
n
, B 为 E 的事件 , , 且 P ( Ai ) 0
i 1
P ( Ai ) P ( B | Ai )
全概率公式
证明 B B B ( A1 A 2 A n )
BA 1 BA
2
BA n .
由 A i A j ( BA i )( BA j )
故这只次品来自第
2 家工厂的可能性最大
.
先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.
