概率论(第四版)课件1.3

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概率论第三讲

P( A∪ B) = P( A) + P(B) P( AB) = 0.8
P ( A B ) = P( A ∪ B) = 0.2
陕西科技大学
3 September 2007
第一章随机事件与概率
第11页
课后同学问：上例中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？若是的话, 则应有 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.5中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件A1，A2 相互独立.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章随机事件与概率
第16页
思考题
口袋中有2个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球. 求第k 次取到黑球的概率.
3 September 2007
陕西科技大学
第一章随机事件与概率
第17页
例1.3.4
一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率. 解：用对立事件进行计算, 记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为
3 September 2007
陕西科技大学
第一章随机事件与概率
第20页
利用对称性
甲掷硬币n+1次，乙掷n次. (习题1.3第10题) 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率. 解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数. 因为 P(甲正>乙正)= P(n+1-甲反> n-乙反) = P(甲反-1<乙反)= P(甲反≤乙反) (对称性) = 1P(甲正>乙正) 所以 2P(甲正>乙正)=1, 由此得 P(甲正>乙正)=1/2

概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分ppt精选课件

• 性质：
1 P(A)1P(A)
P(A)0不能A； P(A)1不能AS；
A AS P(A)P(A)1 P()0
2 若 A B ，则有 P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( A )
BA AB P (B )P (A )P (A B )
P ( B ) P ( A ) P ( A B ) P ( B A ) 0P(B)P(A)
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
8
•篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性：
3 概率的加法公式： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
A B A ( B A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B A B ) 又 B A B ，由 2 。知 P ( B A B ) P ( B ) P ( A B )
✓ A B A B { x |x A 且 x B }
S AB
✓ A 的逆事件记为 A , A A A A S , 若 A A B B S , 称 A ,B 互逆、互斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计

概率论与数理统计浙大第四版

必然事件——全体样本点组成的事件,记为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的设随机试验E 具有下列特点：古典定义基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求有至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件

概率论与数理统计1.3

( N )n N! P ( A) n n N N ( N n)!
旅客车站
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.
( 7 )7 7 ! P ( A) 7 7 7 7
车祸天
例设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求：恰有2件是次品被抽出的概率. A 解法一：设样本点为从100件产品抽出3件的组合次品 5 件 M件 100 总数： 3 正品 95 件件 N-M 计算A的样本点数分两步：从5件次品中抽出2件，
1 . 2
n 的增大稳定于
实验结果与主观一致!
例2（新生儿性别）北京妇产医院6年中新生婴儿的
数量和性别统计年份 1972 1974 1975 1977 1978 1979 总计
实验结果与主观不一致!
2883 2087 2039 1883 2177 2138 13207 2661 1976 1874 1787 2073 1917 12288 0.5200 0.5137 0.5211 0.5131 0.5122 0.5273 0.5180
P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)
( n)r n! P ( A) r r n n ( n r )!
例（生日问题）假定每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均等的。设某宴会上有 n 个人（ n 365 ），问此 n 个人中至少有两人生日在同一天的概率为多少？
解： A 表示至少有两人生日在同一天设则 A 表示每个人的生日全不相同
概率的单调性
推论 P(AB) = P(A)P(AB).
A
B
B

概率论lecture1.3-1.4

概率论lecture1.3-1.4第1章 1.3-1.4主要讲解内容：概率的概念、古典概率的运算本节考研大纲：理解概率的概念、掌握概率的基本性质、会计算古典概率。

讲课过程（80分钟）：二、教学过程与教学组织设计本节课内容讲解及时间分配（80分钟）问题：本课程的对象是概率，那么概率是什么，是如何定义的呢？关于概率有不同的定义。

1.笼统定义：（5分钟）概率是随机事件发生大小的可能性的数字表征，即：概率是事件的函数。

复习：什么是函数？函数是数到数的映射（mapping ）随机事件的概率是集合到数的映射。

【0，1】2．概率的统计定义（频率派）（30分钟）A ：独立重复做n 次试验，若其中事件A 发生了k 次，事件A 发生的次数k 称为事件A 发生的频数。

比值k/n 称为事件A 发生的频率，并记成fn(A).当n → 时，fn 就会在某个值p 附近晃动，我们把这个值成为事件A 的概率，记为P(A)=p.概率的公理化定义：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A 的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A ，有01)(≤≤A p（2）规范性：对于必然事件S ，有P(S)=1（3）可列可加性：若A1,A2,…,Ak 两两互不相容，则P （A j k i 1=）=∑=ki i A p 1)( 则：P ：S —>【0.1】称为S 上的一个概率。

概率性质性质1：P(φ)=0 性质2（有限可加性）若A1,A2,…,An 是两两互不相容的事件，则有P （A j ki 1=）= ∑=k i i A p 1)(性质3：设A,B 是两个事件，若A ?B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)≥p(A)性质4：对于任一事件A ，P(A)≤1性质5：（逆事件的概率）对任一事件A ，有P(A -)=1-P(A)性质6：（加法公式）对任意两事件A ，B 有P(A B)=P(A)+P(B)-p(AB)3.主观概率定义：（5分钟）对有的自然状态无法重复试验的合理的信念的测度。

1-3,4概率论

注意：概率的定义直观地描述了事件发生的可能性大小,反映了概率的本质内容,但也有其不足,即无法根据此定义计算某事件的概率.
概率的性质
性质1 P() 0. 性质2(有限可加性) 若随机事件 A1 , A2 ,, An 互不相容，则
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
一、古典型概率
1.古典概型定义
如果一个随机试验E具有如下特征：
(1)试验所有可能的结果是有限个，设为n个，
即S {e1 , e2 ,, en };
(2)每一个结果在一次实验中发生的可能性相同,
即P ({e1 }) P ({e2 }) P ({en }),
则称该随机试验为等可能概型(或古典概型).

7 5 1 12 12
例2 P ( A) 0.7, P ( A B ) 0.3, 求P ( AB ). 解： P ( AB) P ( A) P( A B) 0.4
P ( AB) 1 P ( AB) 0.6
§1.4
古典概型与几何概型
一、古典概型二、几何概型
一般地,对于任意n个事件 A1 , A2 ,, An 有
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
i 1 n 1 i j n

P ( Ai Aj )
1 i j k n

P ( Ai Aj Ak ) (1)n1 P ( A1 A2 An ).
-P(AB)- P(BC)- P(AC)+ P(ABC)
0 ≤ P(ABC) ≤ P(AB)=0
所以有

《概率论与数理统计教程》课件

2-7
随机变量的分类
仅可能取得有限个或可数无穷多个数值
离散型随机变量随机变量连续型随机变量
2-8
§2.2 离散随机变量
一. 概率分布
二. 概率函数及其性质三. 几何分布四. 频率分布表
2-9
概率分布
定义随机变量X一切可能值为x1, x2, ... , xn, ... , 而取得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), ... , p(xn) , ... , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。可以列出概率分布表如下：
1. 当一批产品总数 N很大，而抽取样品的个数 n 远小于 N 时，可用二项分布来近似地计算超几何分布的概率，即 m n m C M C N M M m m n m Cn p q , p n N CN
2. 实际应用中，当n/N10%时，不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）区别不大。
2 - 13
课堂练习
1. P{ X i } 2a i ,i 1,2 , , 求常数a. 2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.
3. 设随机变量X的概率分布为
X P 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 a
求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概 2 - 14 率分布.
P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...)
几何分布
2 - 15
频率分布表
频率分布表
X
f n ( xi )
x1

概率论和数理统计第四版

30! 10!10!10! 18
203
休息结束
P(B) 3 C277C2100C1100 18
30!
203
10!10!10!
休息结束
§1.4 条件概率
引例
袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球， 3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到旳可能性相同。
i1
A1, A2 ,, An , 旳和事件 ——
Ai
i1
休息结束
4. 事件旳交(积) A B 或 AB
A B 发生
S
A
A B
B
—— A 与B 旳积事件
事件 A与事件B 同步发生
n
A1 , A2 ,, An 旳积事件 ——
Ai
i1
A1, A2 ,, An , 旳积事件 —— Ai
i1
休息结束
设 A: 取到旳球是白球。B:取到旳球是木球。
求：1) P(A); 2) P(AB) ;
3) 在已知取出旳球是白球旳条件下，求取出旳是木球旳概率。
休息结束
解： 1 ). P( A ) kA 7
n 10
2 ). P( AB ) kAB 4 n 10
列表白球红球小计木球 4 2 6 塑料球 3 1 4 小计 7 3 10
显然, P(A)=3/6=1/2.
P( A)
A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
休息结束
其特征为：
1）随机试验或观察旳全部可能成果为有限个，
每次试验或观察发生且仅发生其中旳一种成果；
2）每一种成果发生旳可能性相同。
对古典概型,某随机事件 A发生旳概率:

概率论课件1-3,武大

μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,

4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象古典概型

概率论1.3

例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%。问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解设 A =“任取一件是次品‛ Bi=“任取一件为 i 厂的产品号箱”， i=1, 2, 3; 显然， B , B 3 S , 1B 2S B1 B 2B 3
继续做下去就会发现，每个人抽到‚入场券‛ 的概率都是1/5。
也就是说
‚ 抽签与顺序无关 ”
例3 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10 个试题中有 4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签；甲和乙都抽到难题签；甲没抽到难题签而乙抽到难题签；甲、乙、丙都抽到难题签的概率。解设 A = “甲抽到难题签‛， B = “乙抽到难题签‛， B = “丙抽到难题签‛
=1 5
即，第 2 个人抽到入场券的概率是1/5
同理
A3 = A1 A2 A3
由乘法公式
P ( A3 ) = P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
= 4 5 3 4 3
=1 5
即，第 3 个人抽到入场券的概率是1/5
1 1 6 P ( AB ) P A B = = = 3 36 P( B)
注：已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是 B。 B中共有3 个元素，它们的出现是等可能的，其中只有 1个在集合 A中
可以证明，在古典概型下，若 P(B)>0, 有
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
可以证明，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。

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