概率论大学课件

设10件产品中有3件次品现无放回的抽取2件在第一次抽到次品的条件下northuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案二乘法公式12131211nnpapaapaaapaaanorthuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案1212paaaa1212paapaa无放回取球求northuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案ababababnorthuniversitychina上一页上一页下一页下一页回回结结录录第一章随机事件与概率概率统计电子教案第i个人摸到黑球i12
随机现象的统计规律性
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
概率论是一门研究客观世界随机现象统计
规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》 来描述;
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《概率统计》电子教案
第一章 随机事件与概率
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
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《概率统计》电子教案

性质 4：对任一 A，P 事 (A)件 1. 上一页 下一页 返 回
性质 5：对任一A事，件有 P(A)1P(A).
性 质 6： 对 于 任 意 两A,个 B，事有件 P(AB)P(A)P(B)P(AB)
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3、古典概型 定义1.4：
设随机试验E满足如下条件:
(1) 试验的样本空间只有有限个样本点，即
(1)A1 {4个数字排成一个}偶 ; 数 (2)A2 {4个数字排成一个四}位 ; 数 (3)A3 {4个数字中 0恰好出现两}.次
因 为 是 有 放 ,所 回以 抽样 样本 空 间总中数样 1为 04.本 若使 4个数字组,成 则偶 只数 需末位数即字可 . 为
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这 有 5种 可 能 :0,2,4,6,8,
P ( A3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
C
2 4
•
9
2
10 4
0 .0486
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例4： (一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6 与不出现双6的概率哪个大?
解：设A {出现双6},B {不出现双6},
一对骰子掷1次,有66 36种结果.
掷25次共有3625种结果,
掷一次出现双6只有1种结果,不出现双6共有
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解 : (1) A (B C ); (2) AC B或 AB C; (3 ) A B C A B C A B C ;
(4) ABCABCABCABC或 A BA CB;C
(5) AB 或 A C BC; (6) A BAC BC
或 AC BABCABC AB. C
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乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:

应用场景
强大数定律在统计学中用于 估计极端事件发生的概率和 风险，在决策理论中用于评 估最优策略和期望收益，在 可靠性工程中用于分析系统 的可靠性和寿命。
注意事项
强大数定律的应用有一定的 限制条件，例如随机序列必 须是独立同分布的。此外， 强大数定律并不能保证每个 随机事件的绝对正确性，而 只是给出了最大值分布的稳 定性。
连续随机过程
如布朗运动，每一步都是连续 的，每一步的状态都是连续的
。
随机游走与布朗运动
随机游走
一个随机过程，其中每一步都是随机的，通 常用来描述粒子的无规则运动。
布朗运动
一种连续随机过程，由大量微小粒子在流体 中无规则运动产生，通常用来描述微观粒子 的运动。
马尔科夫链与马尔科夫过程
马尔科夫链
一个随机过程，其中下一个状态只依赖于当前状态，与过去状态 无关。
注意事项
大数定律的前提是试验次数必须足够多，并且随 机事件之间必须是独立的。此外，大数定律并不 能保证每个随机事件的绝对正确性，而只是给出 了频率趋于概率的稳定性。
强大数定律
总结词
强大数定律是概率论中的重 要定理之一，它描述了随机 序列中最大值的分布性质。
详细描述
强大数定律指出，对于任意 给定的正整数序列$a_n$和 $b_n$，有$lim_{n to infty} frac{a_n}{b_n} = 1$的概率 为1。这个定理说明了随机 序列中最大值的分布具有很 强的稳定性。
随机变量的性质
随机变量具有可测性、可加性和有限 可加性。
离散型随机变量及其分布
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在样本空间中取有 限个或可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布

解
令
Ai={第
i次取到一等品}， A1
P A2
A1
1 2
（1）
46
例2 某种动物由出生算起活20岁以上旳概率为 0.8, 活到25岁以上旳概率为0.4, 假如目前有一只 20岁旳这种动物, 问它能活到25岁以上旳概率是 多少?
解：设 A = {活 20 岁以上} ， B = {活 25 岁以上}
例如从6个正品2个次品旳袋中，无放回抽 取2次，一次取一种。A={第一次为正品}， B={第二次为次品}，求（1）第二次才取 到次品旳概率（2）已知第一次取到正品， B发生旳概率。
44
性质
条件概率是概率
(1) 非负性 : P(B A) 0;
(2) 规范性 : P( A) 1, P( A) 0;
(3) 可列可加性 : 设 B1, B2 , 是两两互斥的事
件 , 则有
P Bi A P(Bi A).
i1
i1
(4) P(B A) 1 P(B | A).
(5) P[(B1 B2）A] P[(B1 B2）A] P(B1 A) P(B1B2 A);
例1 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个45 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 已知 第一次取得一等品，求第二次取得旳是二等 品旳概率.
（2）取三次，第三次才取得一等品旳概率;
解 令 Ai ={第 i 次取到一等品}
(1)P( A1A2 ) P( A1)P( A2
A1 )
3 5
2 4
3 10
（1）（也可直接按古典概型算CC3511CC2411 )
49
(2)P( A1 A2 A3) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 (2) 213 1 15310430.5 10 3 5

i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：

xi R, i 1, 2, , n.
对于固定的 n ，我们称{FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ),ti T}
为随机过程{X (t),t T}的 n 维分布函数族。
注:可以证明（柯尔莫哥洛夫），在一定条件下 ，随机过程的统计特性完全由它的有限维分布函 数族决定。
（二）二维随机过程的联合分布函数
p
2 (1, )
2 1 2
(0, 1 ) 4
1
2
三 随机过程的数字特征
1.单个随机过程的情况
① 函数 X (t) E[X (t)], t T
为{X(t),tT}的均值函数.
②
2 X
(t)
E[ X
2
(t )]
为{X(t),tT}的均方值函数.
③
2 X
(t
)
DX (t) D[ X (t)]
为{X(t),tT}的方差函数.
例3: 考虑抛掷一颗骰子的试验，(i)设 X是n 第n次 （n ）1 抛掷的点数，对于n=1,2…的不同值, 是X不n 同的随机变量，因而 { Xn构, n成 1一} 随机过程，称为 贝努利过程或贝努利随机序列，(ii)设Xn是前n次
抛掷中出现的最大点数，
也{是X一n , n随机1}过程。
例 4 在时间 [0,t]内某地段出现的交通事故次数
2. n维分布函数族
对 任 意 正 整 数 n 可 取 定 t1,t2, ,tn T 则 (X (t1), X (t2 ), , X (tn )) 是一个n 维随机变量，他的分 布函数为
FX (x1, x2 , , xn; t1, t2, , tn )
P( X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn ),

物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。

练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：

先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。

称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……

(3) Ef (X) g(X) E[f (X)] E[g(X)]
特别地 E[X Y] E[X] E[Y]
E[aX bY c] aE[X] bE[Y] c
(4) 若X, Y相互独立，则E[XY] E[X] E[Y]
(5) 若a X b,则E[X]存在，且a E[X] b
注：这些性质可以推广到多个随机变量上。
E[X] (1) 125 75 2 15 3 1 17 216 216 216 216 216
由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注 者是不利的。
离散型随机变量函数的数学期望
已知P( X xk ) pk，当 g( xk ) pk 时，
k
g(X)的数学期望为
E[g(X)] g(xk )P(X xk )
E[ X ] 1 0.910 11（1 - 0.910） 7.513 10
结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区
间[xi, xi+1)的概率是
阴影面积近似为
9 P(X 9) 10 P(X 10)
由于打出环数的概率不同，所以不 是1到10的算术平均.
1.离散型随机变量的数学期望
设随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk ,
若当 xk pk 时，则称 xk pk 为随机
k
k
变量X的数学期望或均值，记作 E[ X ] ，即有
E[ X ] xk pk xk P(X xk )
均匀分布的期望
例7 设X服从均匀分布，其分布密度为
x
b

考虑前边例子： 考虑前边例子： 记 Ai = {球取自 i 号箱 ， 球取自 号箱}， i =1, 2, 3; B = {取得红球 。 取得红球}。 取得红球 所求为 所求为 P(A1|B)。 。
P( A B) 1 = P( A | B) = 1 P(B)
运用全概率公式 计算P(B) 计算
P( A )P(B | A ) 1 1
全概率公式
为实验E的样本空间 的样本空间， 为一事件 为一事件， 设 Ω 为实验 的样本空间 ， B为一事件， A1, A2,…, An为 Ω 的一个划分，且P(Ai)>0, i =1, 2, 的一个划分， … …, n，则 有 ，
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
i =1 n
例 6： 一批同型号的螺钉由编号为 ： 一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的 的 三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占 三台机器共同生产。 这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各 这批螺钉的比例分别为 。 台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2% 台机器生产的螺钉的次品率分别为 和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。 。现从该批螺钉中抽到一颗次品。 求该批螺钉的次品率。 求该批螺钉的次品率。
。
件产品中有5件不合格品 例1：100件产品中有 件不合格品，而5件不合 ： 件产品中有 件不合格品， 件不合 格品中又有3件是次品 件是次品， 件是废品 现从100 件是废品。 格品中又有 件是次品 ， 2件是废品 。 现从 件产品中任意抽取一件， 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同， 的可能性都相同，求 (1).抽到的产品是次品的概率； (1).抽到的产品是次品的概率； 抽到的产品是次品的概率 (2).在抽到的产品是不合格品条件下 在抽到的产品是不合格品条件下, (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是 次品的概率。 次品的概率。 解： 设 A={抽到的产品是次品 ， 抽到的产品是次品}， 抽到的产品是次品 B={抽到的产品是不合格品 。 抽到的产品是不合格品}。 抽到的产品是不合格品 按古典概型计算公式， (1). 按古典概型计算公式，有 3 P( A) = ; 100

P( A) m( A)
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称

当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时， 称事件Ａ发生．
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地：
基本事件 由一个样本点组成的单点集 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
(2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
例如 只包含两个样本点的样本空间
{H,T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
三、随机事件及其发生
随机事件：
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也 可能不发生的结果。 根据这个说法不难发现 随机事件和样本空间的 子集有一一对应关系！
Ω
.
样本点e
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T }.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.