福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学(文)试题答案

2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D 10.D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．11．1 12．3 13．②③④ 14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin 33f x x x ππ=+………………………………………1分2sin()33x ππ=+ …………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分 （Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MN MON OM ON +-∠===. ∴90MON ∠= ，…………………………………………………………………10分 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分 方法二 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则(1(3,OM ON == . ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯= .……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥ 即 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分 方法三 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分 直线OM的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM的距离为d ==分又因为2,OM =，………………………………………………………………11分 所以△MON的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分 17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分 所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分 故X 的分布列为分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分 （Ⅱ…………7分 2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ,∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分 ∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分 （Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1),所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x 取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ， 所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EB EB ⋅=⋅ nn ==----11分 （Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ． 依题意22ab a x y a x y k k PB PA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分 整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+by a x ，a x ±≠．………5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分 由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以 ab b a k a k b b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=， 从而22)(||b a MN +>， 即b a MN +>||． ………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x a x x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ． （Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ． ……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号． 由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增． ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x x x x f ， 即)1ln(22x x x +<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分 取kx 1=，n k ,,3,2,1 =， 得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分 将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+n k nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ， 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分 （Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分 因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分． 解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ， 经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式， 得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分 所以6326≤++≤-c b a ， 当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-， 因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． --------------------7分。

数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}{}3,1,2,4,|28x A B x R =--=∈<，则AB =（ ）A ．{}3-B ．{}1,2-C ．{}3,1,2--D ．{}3,1,2,4-- 2. 已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z = （ ）A ．．10 D ．18 3. 若函数()21f x ax x=+，则下列结论正确的是 （ ） A ．a R ∀∈,函数()f x 是奇函数 B ．a R ∃∈,函数()f x 是偶函数C ．a R ∀∈,函数()f x 在()0,+∞上是增函数D ．a R ∃∈,函数()f x 在()0,+∞上是减函数4. 已知sin 2αα=，则 tan α=（ ）A ．B C.2 D 5. 在如图所示的程序框图中，若124231,log 2,log 3log 216a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则输出的x = （ ）A ．0.25B ．0.5 C. 1 D ．26. . 已知,A B 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点， P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为 （ ）A B 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．223π-B ．423π- C.53πD ．22π- 8. 已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()1,1,1,3,2,2A B C ，对于ABC ∆（含边界）内的任意一点(),,x y z ax y =+的最小值为2-，则a = （ ）A ．2-B ．3- C. 4- D ．5-9. 某商场销售A 型商品.已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售里的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位:元/件) 应为（ ）A ．4B ．5.5 C. 8.5 D ．1010. 已知三棱P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2,2AB AC BAC π==∠=，则棱PA 的长为（ ）A ．32B 3 D ．9 11. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 12. 已知函数()321132f x ax bx cx d =+++，其图象在点()()1,1f 处的切线斜率为0.若a b c <<，且函数()f x 的单调递增区间为(),m n ，则n m -的取值范围是（ ）A ． 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭ C. ()1,3 D ．()2,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两点()()1,1,5,4A B ，若向量(),4a x =与AB 垂直，则实数x = __________.14. 若函数()()2,1ln 1,1x a x f x x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15. 已知抛物线2:4C x y =的焦点,F P 为抛物线C 上的动点，点()0,1Q -，则PFPQ的最小值为 _________.16. 已知抛物线列{}n a 满足111,cos3n n n a a a π+=-=，则2016a = _________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a B c b =-.（1）求A 的大小;（2）若2a =，4,b c +=求 ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且254,30a S ==,数列{}n b 满足122...n n b b nb a +++=.（1）求n a ;（2）设1n n n c b b +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点.（1）求证: 1B C 平面 1A BD ;（2）若1160,,2,1A AB ACB AB BB AC BC ∠=∠====,求三棱锥1A ABD -的体积.20.（本小题满分12分）已知过点()0,2A 的直线l 与椭圆22:13x C y +=交于,P Q 两点. （1）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围.（2若以PQ 为直径的圆经过点()1,0E ，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()21,02xf x e x x x =--≥. （1）求()f x 的最小值;（2若()1f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，,,,A B C D 是半径为1的O 上的点，1,BD DC O ==在点B 处的切线交AD 的延长线于点E .（1）求证:EBD CAD ∠=∠； （2） 若AD 为O 的直径，求BE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程; （2）若射线()06πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数(),f x x a a R =-∈.（1）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集;（2）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-，求a 的取值范围.福建省福州市2016届高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CADDC 6-10.BAACC 11-12.DB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 3- 14.[)2,+∞15. 216.0 三、解答题17.解：（1）因为2cos 2a B c b =-,由余弦定理得, 222222a c b ac b ac+-=-,即222b c a bc +-= ，根据18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由254,30a S ==,得114545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得12,2a d ==,所以 ()2122,n a n n n N *=+-⨯=∈.（2）由（1）得,122...2n b b nb n +++=, ① 所以2n ≥时,()()1212...121n b b n b n -+++-=-, ②①-②得,()22,.n n nb b n ==* 又112b a == 也符合()*式 ,所以2,n b n N n*=∈,所以()1411411n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭,所以111111441...41223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19.解：（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 中点,D 是AC的中点, 1OD B C ∴.又OD ⊂平面11,A BD B C ⊄平面11,A BD B C ∴平面1A BD .（2）2222,1,60,2cos 3,3AC BC ACB AB AC BC AC BC ACB AB ==∠=∴=+-∠=∴=.取AB 中点M ,连结1111,,60A M AB BB AA A AB ==∠=,1ABA ∴∆为等边三角形,1A M AB ∴⊥, 且132A M =.又平面11AA B B ⊥平面ABC ,平面11AA B B 平面1,ABC AB A M =⊂平面111,AA B B A M ∴⊥平面ABC .111313,2438ABD ABC A ABD ABD S S V S A M ∆∆-∆==∴==. 20.解：（1）依题意，直线l 的方程为2y kx =+，由22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得()22311290kx kx +++=,令()()221236310k k ∆=-+>,解得1k >或1k <-,所以 k的取值范围是()(),11,-∞-+∞.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =,则()()0,1,0,1P Q -,此时以PQ 为直径的圆过点()1,0E ，满足题意.直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2,y kx =+()()1122,,,P x y Q x y ,又()1,0E ,所以()()11221,,1,EP x y EQ x y =-=-.由（1）知，121222129,3131k x x x x k k +=-=++,所以 ()()()()()121212*********EP EQ x x y y x x x x kx kx =--+=-+++++ ()()()()()22121222911212152153131k k k x x k x x k k k +⎛⎫=++-++=+--+ ⎪++⎝⎭2121431k k +=+. 因为以PQ 直径的圆过点()1,0E ，所以0EP EQ =，即21214031k k +=+，解得76k =-，满足0∆>.故直线l 的方程为726y x =-+.综上，所求直线l 的方程为0x =或726y x =-+. 21.解：（1）因为()212xf x e x x =--, 所以()'1x f x e x =--,令()1xg x e x =--,则()'1x g x e =-,所以当0x >时，()'0g x >,故()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，即()'0f x >，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，故当0x =时，取得最小值1.（2）①当0a ≤时，对于任意的0x ≥，恒有11ax +≤，又由（1）得()1f x ≥，故()1f x a x ≥+恒成立. ②当0a >时，令()2112xh x e x x ax =----，则()'1x h x e x a =---，由（1）知()1xg x e x =--在[)0,+∞上单调递增 所以()'1xh x e x a =---在[)0,+∞上单调递增，又()'00h a =-<，取x =1）得(2112e≥+，((221'11102h ea a a =--≥+--=>，所以函数()'h x 存在唯一的零点(00,x ∈，当()00,x x ∈时，()()'0,h x h x <在[)00,x 上单调递减 ，所以当()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()1f x ax <+，不符合题意. 综上，a 的取值范围为(],0-∞. 22.解：（1）因为BE 是O 的切线，所以EBD BAD ∠=∠,因为BD DC =, 所以BD DC =,所以BAD CAD ∠=∠,所以EBD CAD ∠=∠.（2）若AD 为O 的直径（如图），连结OB ，则OB BE ⊥，由1OB OD BD ===，可得60BOE ∠=，在Rt OBE ∆中，因为tan BEBOE OB∠=，所以tan 603BE ==.23.解：（1）由2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,得2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩,所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=.把cos ,sin x y ρθρθ==, 代入()2211x y -+=,得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=,化简得，曲线2C 的极坐标方程2cos ρθ=. （2）依题意可设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=,将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=,解得13ρ=.同理将()06πθρ=>曲线2C的极坐标方程得2ρ=所以123AB ρρ=-=24.解：（1）1a =时，原不等式可化为111x x --+≥, 当1x <-时，原不等式化为()()111x x -++≥,即21≥，此时，不等式的解集为{}|1x x <-.当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥,即12x ≤-，此时，不等式的的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥,即21-≥，此时，不等式的的解集为∅.综上,原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.（2）不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-,等价于30x a x -+≤,对(],1x ∈-∞-恒成立，即3x a x -≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，故a 的取值范围为[]4,2-.。

泉州一中2013届高三上学期期末数学文试题时间120分钟 满分150分一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

本题每小题5分，满分60分。

请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1．已知过点)4,(),2(m B m A 和点-的直线与直线012=-+y x 平行，则实数m 的值为（ ）A.-8B.0C.2D.102．若双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的实轴长是焦距的21，则该双曲线的离心率e 是（ ）A.1B.2C.3D.4 3．如果执行如图所示的程序框图，输入如下四个复数：①i z 21=；②i z 4341+-=；③i z 2122+=；④i z 2321-=。

那么可以输出的复数是（ ）A.①B.②C.③D.④4.高三（1）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号32号45号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（ ） A. 3 B. 12 C. 16 D.195．已知向量b a ,满足6)()2(-=-∙+b a b a 21==，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π6. 如图，水平放置的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，其正视图是边长为a 的正方形．俯视图是边长为a 的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．2a B221a C．22a D2a7．若圆心在第四象限，半径为10的圆C 与直线x y 3=相切于坐标原点O ，则圆C 的方程是（ ）A.10)1()3(22=-++y xB. 10)1()3(22=++-y xC. 10)3()1(22=++-y xD. 10)3()1(22=-++y x 8.设点M 是曲线x x y +=331上的任意一点，直线l 是曲线在点M 处的切线，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．)2,4[ππ B ．]2,4[ππ C ． ),4[ππ D ．],4[ππ9.在ABC ∆中，所对的边，分别是角C B A c b a ,,,,若1,54cos ,6=-==∆c b A S ABC 且，则a 的值为（ ）A.3B.4C.5D.610.已知圆016222=+--+y x y x 关于直线)0,(033>=-+b a by ax 对称，则ab 的取值范围是（ ）A ．]41,(-∞B ．),41[+∞C ． ]41,0(D ．]41,0[ 11.已知直线02)1()12(=--+-y m x m 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列}{n a 的第一项与第二项，若11+⋅=n n n a a b ，数列}{n b 的前项和为n T ，则10T =（ ）A ．109 B ．409 C ． 1110 D ．225 12.定义在}1,{≠∈x R x x 的函数)(x f 满足)1(+=x f y 是奇函数，当,)21()(1x x f x =>时，则函数)(x f 的图像与函数)53)(21(cos 21)(≤≤-+=x x x g π的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）A.4B.6C.8D.10 二、填空题（每小题4分，4小题，共16分）13.设}1|{<=x x P ，}4|{2<=x x Q ，则Q P ⋂=________________14．已知三角形的三个顶点)0,5(),2,3(),3,2(--C B A ，则BC 边上的中线长为________ 15．直线)3(:+=x k y l 与圆4:22=+y x O 交于B A ,两点，若22=AB ，则实数k =__________16．下列有关命题中：①2x y =是幂函数；②函数x x x f ln )(+=的零点所在区间为)1,1(e；③若ABC ∆中，点D 满足||||(AC AB +=λ，则点D 在BAC ∠的平分线上；④线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱。

某某一中集美分校2013届高三(上)文科数学期末模拟试卷参考公式：锥形的体积公式：Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高； 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1-2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a == 则公差d 等于（ ） A ．1 B ．53C ．2-D ．3 3.已知向量()()2,1,1,a b k ==-，若()//2a a b -，则k 等于（ ） A ．12-B ．12C ．12-D ．124、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =5．对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以上的人数为 A ． 300 B ． 100C ． 60D ． 206．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为。

A ．－5B ．－4C ．－2D ．3体重（kg ） （第5题图）7．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分 图象如下图所示，若0,0,2A πωϕ>><，则A .4A =B .1ω=C .6πϕ=D .4B =8.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b. 其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 9、函数xx x f 1log )(2-=的零点所在的区间为 ( ) A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,3)10．设集合0123{,,,)S A A A A =，在S 上定义运算123:A A A ⊕⊕=其中k 为i j +被4除的余数，,i j =0，1，2，3，则使关系式1210()A A A A ⊕⊕=成立的有序数（,i j ）的组数为（） A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A）2.A．1 D．23.c=）A（）A．1 D若点M在C5.）A6.已知圆柱的高为2个球的表面积等于（）A7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.执行该程序框图，则输出的）A．23 B．38 C．44 D．588. ）AC9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A10.）A．3 C． 3 D 311.左焦点和上顶点.）A3个整数解，则实12.A．1 B第Ⅱ卷（共90分）13、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14.处的切线方程为．大小为．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为19..（1（2.20.（1（2.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2取值范围.全优试卷参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题三、解答题17. 解：（12为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1则有（3由（1）中容量为105人，则该地区满意度等级为40名用户评21人，则该地区满意度等级为19.解法一：（1（22.解法二：（1.（2）同解法一.解法三：（1（2）同解法一.20.解法一：（1（2）由（1解法二：（1）同解法一. （2）由（1）知，21.解：（1. （2由（1解法二：（1）同解法一.（2..22. 解：（1（2）由（123.解：（1（2。

周长(cm)2013某某省高考压轴卷数学文试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的某某、某某号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的体积公式：343V Rπ=其中R为球的半径第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1、设集合*{|4}U x N x=∈≤，{}2,1=A,{}4,2=B，则()UA B=（）A．{1,2}B．{1,2,3,4}C．{3,4}D．{2,3,4}2、为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm的株数是（）A．70 B．60C．30 D．803、若01x y<<<,则（）A．log3log3x y<B．33y x<C．44log logx y<D．11(()44x y<4、右边程序执行后输出的结果是S=（）A．3B．6C．10D．15第4题图5、已知函数4log ,()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1[()]16f f =（ ） A ．19B ．9C ．19-D ． 9- 6、将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位长度，所得函数是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 7、“函数2()2f x x x m =++存在零点”的一个必要不充分条件是（ ） A ．1m ≤B ．2m ≤C ．0m ≤ D ．12m ≤≤8、过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点），则MA MB ⋅=（ ）A 532B ．52C 332．329、角θ的终边经过点A (3,)a -，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin θ=（ ） A ．12-B ．12C ．32-D ．3210、函数13y x x =-的图象大致为（ ）11、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆，尺寸如图，那么这个几何体的外接球的体积为（ ）A 42B 82C 5D 5512、非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中，所有元素的算术平均数记为E A ()，即123na a a a E A n++++=()．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆；②E B E A =()()，则称B为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}12345，，，，的“保均值子集”有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答卷相应位置上） 13、在复平面上,若复数1()bi b R +∈对应的点恰好在实轴上,则b =_______. 14、焦点在y 轴上，渐近线方程为2y x =±的双曲线的离心率为_______.15、已知函数164(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +=_______. 16、定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数．．．对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =； ②若n m >，(,)0f m n =； ③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-； 则(,2)f n =_______.三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答） 17．（本题满分12分） 函数()sin()4f x M x πω=-(0,0M ω>>)的部分图像如右图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()328A f π+= 其中(0,)2A π∈，且222a cb ac ，求角,,A B C 的大小.DCBA E F M NPF EA BCD18．（本题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知373,7S S =-=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设42n an b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本题满分12分） 已知向量),(),1,2(y x b a ==（Ⅰ）若{1,0,1},{2,1,2}x y ∈-∈--，求向量a b ⊥的概率； （Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组(,)x y 构成区域Ω：1122x y -<<⎧⎨-<<⎩，求二元数组(,)x y 满足22y x +≥1的概率.20．（本题满分12分）如图（1），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使EF//AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）所示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ；（Ⅱ）求证：AP ⊥平面DAE . 图（1） 图（2）21．（本题满分12分） 已知函数321()13f x x ax =-+()a R ∈． （Ⅰ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值X 围； （Ⅱ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 22．（本题满分14分）已知抛物线24y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴（垂足为T ），与抛物线交于不同的两点P 、Q ，且125F P F Q ⋅=-. （Ⅰ）求点T 的横坐标0x ；（Ⅱ）若椭圆C 以F 1,F 2为焦点，且F 1,F 2及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为1.① 求椭圆C 的标准方程；② 过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，设22F A F B λ=，若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值X 围.2013某某省高考压轴卷 数学文试题答案一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分．）1、D2、C3、C4、B5、A6、B7、B 8、D 9、B 10、A 11、D 12、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，16分．）13、0 14、6 16、22n - 三、解答题（本大题有6小题，共74分．） 17.解：（Ⅰ）由图像可知2M =………2分且34824T πππ=-=∴T π=………4分 ∴22Tπω==………5分故函数()f x 的解析式为()2sin(2)4f x x π=-………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin 28A f A π+==sin A =………7分(0,)2A π∈3A π∴=………8分由余弦定理得：2221cos 222ac b ac Bacac ………9分 (0,)B π∈3B π∴=………10分从而()3C A B ππ=-+=∴3A B C π===………12分18. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d依题意得11133232177672a d a d ⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩………2分解得121a d =-⎧⎨=⎩. ………5分∴2(1)13n a n n =-+-⨯=-………6分MNPFE ABCD（Ⅱ）由（Ⅰ）得31422n n n b n n --=⋅+=+………7分∴123n n T b b b b =++++0121(2222)(123)n n -=+++++++++………9分12(1)122n n n -+=+-………11分 (1)212n n n +=-+………12分19. 解：（Ⅰ）从{1,0,1},{2,1,2}x y ∈-∈--取两个数,x y 的基本事件有(1,2),(1,1),(1,2),(0,2),------(0,1),(0,2),(1,2),(1,1),(1,2)---，共9种 …………2分设“向量a b ⊥”为事件A若向量a b ⊥，则20x y +=…………3分∴事件A 包含的基本事件有(1,2),(1,2)-，共2种 …………5分 ∴所求事件的概率为2()9P A =…………6分 （Ⅱ）二元数组(,)x y 构成区域Ω={(,)|11,22}x y x y -<<-<< 设“二元数组(,)x y 满足22y x +≥1”为事件B则事件B =22{(,)|11,22,1}x y x y x y -<<-<<+≥如图所示…………9分∴所求事件的概率为21()11248P B ππ⨯=-=-⨯…………12分20.解：（Ⅰ）证明：连结AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点，在ACF ∆中，M 为AF 中点 ∴//MN CF∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF//MN ∴平面BCF …………4分（Ⅱ）证明：依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =∴AD ⊥平面ABFE …………6分 ∵AP ⊂平面ABFE ∴AP AD ⊥…………7分∵P 为EF 中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形…………9分 ∴//AP BF ，2AP BF ==而2,AE PE ==∴222AP AE PE +=∴90EAP ∠=，即AP AE ⊥…………11分 又ADAE A =∴AP ⊥平面ADE …………12分21.解：（Ⅰ）由已知2()2(2)f x x ax x x a '=-=-令()0f x '=，解得0x =或2x a =0a >0x ∴=不在(a ，a 2-3)内要使函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，只需223a a a <<-解得3a >…………6分（Ⅱ）2a >24a ∴>()0f x '∴<在（0，2）上恒成立，即函数数y =f (x )在（0，2）内单调递减又1112(0)10,(2)03af f -=>=< ∴函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点…………12分22. 解：（Ⅰ）由题意得)0,1(2F ，)0,1(1-F ，设),(00y x P ，),(00y x Q -则),1(001y x P F +=，),1(002y x Q F --=. 由521-=⋅Q F P F ，得512020-=--y x 即42020-=-y x ，①…………………3分 又),(00y x P 在抛物线上，则0204x y =，② 联立①、②易得20=x ……………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由1212c b ⋅⋅=，解得1b =…………………6分 从而2222a b c =+=故椭圆C 的标准方程为1222=+y x ……………………7分 （ⅱ）方法一：容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ky =+将直线l 的方程代入2212x y +=中得：22(2)210k y ky ++-=.………………8分 设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且，则由根与系数的关系，可得：12222ky y k +=-+⑤12212y y k =-+⑥ …………………9分 因为B F A F 22λ=，所以12yy λ=，且0λ<.将⑤式平方除以⑥式，得：221222214142222y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]51112,1+22022λλλλλ∈--⇒-≤≤-⇒-≤++≤2214022k k ⇒-≤-≤+所以 7202≤≤k ……………………………………………………………11分因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+， 又12222ky y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+，故2222221212222216(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++2222222216(2)28(2)828816(2)2(2)k k k k k +-++==-++++，令212t k =+，因为2207k ≤≤ 所以27111622k ≤≤+，即71[,]162t ∈，所以222717||()828168()42TA TB f t t t t +==-+=--. 而71[,]162t ∈，所以169()[4,]32f t ∈.所以||[2,8TA TB +∈.……………………………………………………14分方法二：1）当直线l 的斜率不存在时，即1-=λ时，)22,1(A ，)22,1(-B ， 又T )0,2(，所以((1,2TA TB +=-+-=…………8分 2）当直线l 的斜率存在时，即[)1,2--∈λ时，设直线l 的方程为)1(-=x k y由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1222y x kkx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k设()()1122,,,A x y B x y ，显然120,0y y ≠≠，则由根与系数的关系，可得：2221214k k x x +=+，22212122k k x x +-=⋅……………………9分221212122)(k kk x x k y y +-=-+=+⑤ 22212122121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=⋅⑥因为B F A F 22λ=，所以12yy λ=，且0λ<.将⑤式平方除以⑥式得：221421k+-=++λλ 由[)1,2--∈λ得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+2,251λλ即⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈++0,2121λλ 故0214212<+-≤-k ，解得272≥k ………………………………………10分 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，又222121)1(44k k x x ++-=-+，2222222221221)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-+=+22222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++=…………………11分word 令2211k t +=，因为272≥k 所以8121102≤+<k ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈81,0t ， 所以22251721042()22TA TB t tt+=++=+-1694,32⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.⎥⎦⎤ ⎝⎛+8213,2……………………13分 综上所述：||[2,8TA TB +∈.……………………14分。

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓第4题图福建省福州市2015届高三上学期教学质量检查文科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差s =x 为样本平均数.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． lg3lg2+的值是（ ）．A ．3lg 2B ．lg5C ．lg6D ．lg92． 在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）．A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称3． 已知集合{}A x x =≤1．若B A ⊆，则集合B 可以是（ ）．A ．{}2x x ≤B ．{}1x x >C ．{}0x x ≤D ．R4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中a 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）． A ．8 B ．15 C ．29D ．365． “0,0a b >>”是“2b aa b+≥”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6． 若ABC ∆中60B =︒，点D 为BC 边中点，且2AD =,120ADC ∠=︒，则ABC ∆的面积等于（ ）．A ．2B ．3CD ．▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓7． 甲、乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图分别是这两人命中环数的直方图，若他们的成绩平均数分别为1x 和2x ，成绩的标准差分别为1s 和2s ，则（ ）．A ．12x x =，12s s >B ．12x x =，12s s <C ．12x x >，12s s =D ．12x x <，12s s =8． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010 100 100 011 111 110 000 011 010 001 111 011 100 000 101 101 据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）． A ．0.30 B ．0.35 C ．0.40 D ．0.65 9． 已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1FOD ∆的周长为（ ）． A．1 B．3C．3+D．6+10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S 的值为（ ）． A ．2015 B ．2013C ．1008D ．100711．已知平面内,A B 两点的坐标分别为()2,2,()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1BP =，则OA OP +的最小值是（ ）． A ．3 B ．1 CD ．012．已知函数()ln xf x x=，有下列四个命题： 1p ：0x +∀∈R ,x +∀∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭； 2p ：0x ∃∈+R ,x +∃∈R ,()()0022f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭； 3p ：0x +∀∈R ,x +∃∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'<； 4p ：0x ∃∈+R ,x +∀∈R ，()()()000f x x f x f x x+-'>．其中的真命题是（ ）． A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,pp▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓第II 卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上．13． 已知点()1,0A -,()1,2B ,()3,1C -，点(),P x y 为ABC ∆边界及内部（如图阴影部分）的任意一点，则2z x y =-的最小值为 ★★★ ．14．若函数()3213f x mx x m =+-在1x =处取得极值，则实数m 的值是 ★★★ ． 15． 如图所示，1OA =，在以O 为圆心，以OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则A O B ∆的面积小于14的概率为 ★★★ ． 16． 已知,,αβγ是某三角形的三个内角，给出下列四组数据： ①sin ,sin ,sin αβγ； ②222sin ,sin ,sin αβγ；③222cos,cos ,cos 222αβγ； ④tan,tan,tan 222αβγ．分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ★★ ★ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，1a ,2a 是方程2320x x -+=的两根． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18． （本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：关”？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++第15题图 第13题图▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓19． （本小题满分12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作一条直线l 与抛物线交于(1,A x （Ⅰ）求以点F 为圆心，且与直线y x =相切的圆的方程；（Ⅱ）从1212,,,,1,2x x y y 中取出三个量，使其构成等比数列，20． （本小题满分12分）函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值记为()g m ． （Ⅰ）若04m <≤，求函数()g m 的解析式； （Ⅱ）定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()h x =)，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数π()2sin 4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一半周期内的图象过点,,O P Q ，其中O 为坐标原点，P 为函数()f x 图象的最高点，Q 为函数()f x 的图象与x 轴的正半轴的交点.（Ⅰ）求证：OPQ ∆为等腰直角三角形.（Ⅱ）将OPQ ∆绕原点O 按逆时针方向旋转角π04αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，得到OP Q ''∆，若点P '恰好落在曲线2y x=()0x >上（如图所示），试判断点Q '是否也落在曲线2y x =()0x >上，并说明理由．22． （本小题满分14分）已知函数()()e cos ,sin x f x x g x x x =⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()f x g x m +≥恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）试探究当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=解的个数，并说明理由．第21题图▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查文科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．13．3- 14．2- 15．1316．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想． 解：（Ⅰ）方程2320x x -+=的两根为1,2，由题意得11a =,22a =．····························2分 设数列{}n a 的公差为d ，则211d a a =-=， ·······································································4分 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =． ···················································································6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1111111n n a a n n n n +==-++， ·······························································8分 所以12231111...n n n S a a a a a a +=++111111...2231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭·······························10分 1111nn n =-=++． ·······························································12分 18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； ·······················································································2分其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种. ···········································································································································4分根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==. ·······················································6分（说明：若学生先设“用(),,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C , (),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．） （Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， ··································································7分 根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：k ()()()()()()2210045152515251.796040703014n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯． ·······················10分 （说明：k 表示成2K 不扣分）． 因为1.79 2.706<，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． ················································································································································12分19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，点F 的坐标为()1,0． ······································································2分 点F 到直线y x =的距离d ==， ·····································································4分▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓所以所求圆的方程为()22112x y -+=． ··············································································6分 （Ⅱ）解答一：12,2,y y 成等比数列，（或21,2,y y 成等比数列）理由如下： ···········7分 设直线l 的方程为1x my =+． ······························································································8分 由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得，2440y my --=． ····································································10分所以124y y =-，即2122y y ⋅=， ······················································································11分 所以12,2,y y 成等比数列（或21,2,y y 成等比数列）． ·················································12分 解答二：12,1,x x 成等比数列，（或21,1,x x 成等比数列）理由如下： ·································7分 设直线l 的方程为1x my =+． ······························································································8分 由21,4,x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得，()222410x m x -++=． ··························································10分所以21211x x ==， ················································································································11分所以12,1,x x 成等比数列（或21,1,x x 成等比数列）．···························································12分20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．解：（Ⅰ）因为()()20f x x mx m =->，所以()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ·························2分所以()f x 在区间[]0,2上的最小值记为()g m ，所以当04m <≤时，022m <≤，故()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． ·······································4分（Ⅱ）当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-； ······························································································5分结合（Ⅰ）可知，()2,04,442, 4.m m g m m m ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ·······································································6分因为0x >时，()()h x g x =，所以0x >时，()2,04,442, 4.x x h x x x ⎧-<⎪=⎨⎪->⎩≤ ·····························7分易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减， ···········································································8分 因为定义在()(),00,-∞+∞的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以()()4h t h >，所以04t <<， ················································································10分 所以0,||4,t t ≠⎧⎨<⎩即044t t ≠⎧⎨-<<⎩，从而404t t -<<<<或0．综上所述，所求的实数t 的取值范围为()()4,00,4-． ····································12分 21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．解：（Ⅰ）因为函数()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期2π8π4T ==， ····································1分 所以函数()f x 的半周期为4，故4OQ =． ···························································································································2分 又因为P 为函数()f x 图象的最高点，▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓所以点P 坐标为()22,，故OP = ·············································································3分又因为Q 坐标为(4,0)，所以PQ所以222OP PQ OQ +=且OP PQ =，所以OPQ ∆为等腰直角三角形. ·····················5分 （Ⅱ）点Q '不落在曲线2y x=()0x >上. ············································································6分 理由如下：由（Ⅰ）知，OP =4OQ =所以点P ',Q '的坐标分别为44αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,(4cos 4sin )αα,，·····8分 因为点P '在曲线2y x =()0x >上，所以π28cos sin 4sin 24cos 2442ααααππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1cos22α=，又02απ<<，所以sin 2α=. ······························································10分又4cos 4sin 8sin 282ααα⋅===≠.所以点Q '不落在曲线2y x=()0x >上． ············································································12分22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等． 解：（Ⅰ）依题意得，()00e cos01f ==， ··········································································1分 ()()e cos e sin ,01x x f x x x f ''=-=．·····················································································2分所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+． ···········································3分 （Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，min [()()]m f x g x -≤． ···············································4分设()()()h x f x g x =-，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤， ·············································5分所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， ····································································6分因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ·················································7分所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ························································8分（Ⅲ）设()()()H x f x g x =-，ππ[,]22x ∈-．①当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，由（Ⅱ）知，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又()010,022H H ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭ππ，而且函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓因此，函数()H x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ························································10分②当π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()f x g x >恒成立．证明如下：设π()e ,[0,]4x x x x ϕ=-∈，则()e 10x x '=-ϕ≥，所以()x ϕ在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()(0)1x ϕϕ>=，所以e 0x x >>，又π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0x x >≥，所以e cos sin x x x x ⋅>，即()()f x g x >．故函数()H x 在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上没有零点． ···················································································12分③当ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有一个零点．综上所述，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()()0f x g x -=有两个解． ·········································14分。

“四地六校”联考2012-2013学年上学期第三次月考高三数学（文科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （ ）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．（0,1）B ．（1,2）C ．(－2，－1)D ．(－1,0) 3、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则AB 等于 （ ）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<4、已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( ) A 、3πB 、34π C 、4π D 、6π 5．已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．116.已知A 是三角形ABC 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 已知0<a <1，b >1，且ab >1，则M ＝log a 1b ，N ＝log a b ，P ＝log b 1b，则这三个数的大小关系为( )A ．P <N <MB ．N <P <MC ．N <M <PD ．P <M <N8.已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥9．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，则在判断框中应填写A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤10．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 A ．1- B ．0 C ．3 D ．411，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞12．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为21,x x 则点),(21x x P 位置（ ）A ．必在圆222=+y x 内B ．必在圆222=+y x 上C ．必在圆222=+y x 外D ．以上三种情况都有可能二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13． 已知函数1)(23++=ax x x f 的导函数为偶函数，则=a .14.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为______．15．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积为_______3cm ．16.记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时， 观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= .三、解答题（本题共6小题，共74分。

2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合M ={x|y =2x }，P ={x|x ≥1}，则M ∩P =( ) A {x|x ≥0} B {x|x >1} C {y|y >0} D {y|y ≥1}2. 已知复数z 1＝cos23∘+isin23∘和复数z 2＝cos37∘+isin37∘，则z 1⋅z 2为（ ） A 12+√32i B √32+12i C 12−√32i D √32−12i3. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2=16，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|，则|AM →|=( )A 8B 4C 2D 14. 若函数y =f(x)在R 上可导且满足不等式xf′(x)>−f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A af(b)>bf(a)B af(a)>bf(b)C af(a)<bf(b)D af(b)<bf(a) 5. 已知函数f(x)=sinx −cosx 且f′(x)=2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1+sin 2x cos 2x−sin2x=()A −195 B 195 C 113 D −1136. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6+a 8=20，那么S 13的值是（ ） A 65 B 70 C 130 D 2607. 已知向量a →，b →，那么“a →⋅b →=0”是“向量a →，b →互相垂直”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 设在函数f(x)=xcosx −sinx 的图象上的点(x 0, y 0)的切线斜率为k ，若k =f′(x 0)，则函数k =f′(x 0)，x 0∈[−π, π]的图象大致为（ ）A B CD9. 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1=a n +ln(1+1n)(n ∈N ∗)，则a n =( ) A 3ln(n +1) B 3+lnn C 3+ln(n +1) D 3+ln(21+32+⋯nn+1)10. 已知f(x)是R 上的偶函数，将f(x)的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=( ) A 1 B 0 C −1 D −1005.5二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上. 11. 已知a 为实数，i 为虚数单位，|a+i i|=2，则a =________．12. 已知函数f(x)=x 2(ax +b)(a, b ∈R)在x =2时有极值，其图象在点（1, f(1)）处的切线与直线3x +y =0平行，则函数f(x)的单调减区间为________．13. 在等比数列{a n }，中，a n >0，且a 5⋅a 6•…•a 12=81，则a 4+a 13的最小值为________． 14. 在△OAB 中，O 为坐标原点，A(1, cosθ)，B(sinθ, 1)，θ∈(0,π2]，则当△OAB 的面积达最大值时，则θ=________． 15. 函数f(x)={2|x−1|，x ≤2−12x +3，x >2，实数a ，b ，c 互不相同，若f(a)=f(b)=f(c)=d ，则a +b +c +d 的范围为________．三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （1）给定数列{c n }，如果存在实常数p ，q ，使得c n+1=pc n +q 对于任意n ∈N ∗都成立，我们称数列{c n }是“R 族数列”．证明：若数列{b n }的前n 项和为是S n =n 2+n ，数列{b n }是“R 族数列”，并指出它对应的实常数p ，q ．（2）若数列{a n }满足a 1=2，a n +a n+1=2n (n ∈N ∗)，求数列{a n }前2013项的和． 17. 已知：a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2). (1)若|c →|=2√5，且c → // a →，求c →的坐标； (2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．18. 已知在同一平面内的两个向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))，其中ω>0，x ∈R ．函数f(x)=a →⋅b →，且函数f(x)的最小正周期为π．（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间．19. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，对于任意a ，b ∈R 且当a +b ≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b>0．（1）求证：f(x)在R 上是的增函数；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立，求实数m 的取值范围．20. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120˚，BC=AC=3，点D在线段AB上．（1）若CD=√3，求BD的长；（2）若点E在线段DA上，且∠DCE=30˚，问：当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小？并求出面积的最小值．21. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切x∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2ex成立．2013-2014学年福建省福州某校高三（上）第三次质检数学试卷（理科）答案1. D2. A3. C4. B5. A6. C7. B8. C9. B10. B11. ±√312. (0, 2)13. 2√314. π215. (6, 7)16. （1）证明：∵ 数列{b n}的前n项和为是S n=n2+n，∴ 当n=1时，b1=S1=1+1=2，当n≥2时，b n=S n−S n−1=n2+n−(n−1)2−(n−1)=2n，∵ b1=2也适合上式，∴ b n=2n，(n∈N∗)，又∵ b n+1=2(n+1)=b n+2，(n∈N∗)，∴ 数列{b n}是“R族数列”，对应的实常数分别为p=1，q=2．（2）∵ a1=2，a n+a n+1=2n(n∈N∗)，∴ a 2+a 3=22，a 4+a 5=24，…，a 2010+a 2011=22010，a 2012+a 2013=22012．∴ S 2013=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2012+a 2013=2+22+24+⋯+22012， ∴ S 2013=2+4(1−41006)1−4=22014+23故数列{a n }前2013项的和S 2013=22014+23．17. 解：(1)设c →=(x,y)， ∵ |c →|=2√5，且c → // a →， ∴ {y −2x =0，x 2+y 2=20，解得{x =2，y =4， 或{x =−2，y =−4，故c →=(2,4) 或c →=(−2,−4)． (2)∵ (a →+2b →)⊥(2a →−b →)， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=0， 即2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0， ∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理得a →⋅b →=−52，∴ cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，又∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．18. 解：（1）由向量a →=(√3sinx +cos(ωx +π3)，−1)，b →=(1,1−cos(ωx −π3))， 得f(x)=a →⋅b →=√3sinωx +cos(ωx +π3)+cos(x −π3)−1=2sin(ωx +π6)−1．由2πω=π，得ω=2． ∴ f(x)=2sin(2x +π6)−1；（2）将函数的图象向右平移π6个单位后，得到函数y =g(x)的解析式为g(x)=2sin[2(x −π6)+π6]−1=2sin(2x −π6)−1， 由题意，得2kπ−π2≤x ≤2kπ+π2，k ∈Z ， 即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，∴ 函数y =g(x)在[0,π2]上的单调递增区间是[0,π6]．19. 解：（1）不妨设x 1<x 2，由f(a)+f(b)a+b>0，得f(x 1)+f(−x 2)x 1+(−x 2)>0，又f(x)是定义域为R 的奇函数， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，而x 1−x 2<0 ∴ f(x 1)<f(x 2)∴ f(x)在R 上是增函数． （2）∵ f(x)是奇函数，∴ 不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0⇔f(mt 2+1)>f(mt −1)， ∵ f(x)在R 上是增函数，∴ 对任意的t ∈R ，不等式f(mt 2+1)+f(1−mt)>0恒成立 即mt 2+1>mt −1对任意的t ∈R 恒成立 即mt 2−mt +2>0对任意的t ∈R 恒成立．当m =0时，不等式即为2>0恒成立，合题意； 当m ≠0时，有{m >0△=m 2−8m <0，即0<m <8综上：实数m 的取值范围为0≤m <8．20. 解：（1）在△CDB 中，∠CBD =30˚，BC =3，CD =√3， 由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2−2CB ⋅BD ⋅cos30∘，… 即BD 2−3√3BD +6=0，解得，BD =√3或2√3．… （2）设∠DCB =α，0∘≤α≤90∘， 在△CDB 中，由正弦定理，得CD sin∠CBD=BC sin∠CDB，即CD =BC⋅sin30∘sin(150∘−α)， 同理CE =BC⋅sin30∘sin(120∘−α)，…所以，S △CDE =12CE ⋅CD ⋅sin30∘=916sin(150∘−α)sin(120∘−α)=8√3sin 2(120∘−α)+8sin(120∘−α)cos(120∘−α)=4√3+8sin[(240∘−2α)−60∘]=4√3+8sin2α…∵ 0∘≤α≤90∘，∴ 0∘≤2α≤180∘．∴ 当α=45∘时，S △CDE 的最小值为4(√3+2)=9(2−√3)4．…21. 解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)，f(x)的导数f ′(x)=1+lnx ． 令f ′(x)>0，解得x >1e ； 令f ′(x)<0，解得0<x <1e ．从而f(x)在(0, 1e)单调递减，在(1e, +∞)单调递增．所以，当x =1e 时，f(x)取得最小值−1e ． （2）若2f(x)≥g(x)，则a ≤2lnx +x +3x ，设ℎ(x)=2lnx +x +3x，则ℎ′(x)=2x +1−3x 2=x 2+2x−3x 2=(x+3)(x−1)x 2∵ x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， ∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=4 故a ≤4即实数a 的取值范围为(−∞, 4] 证明： （3）若lnx >1e x−2ex则lnx ⋅x >xe x −2e ，由（1）得：lnx ⋅x ≥−1e，当且仅当x =1e时，取最小值；设m(x)=x ex −2e，则m′(x)=1−x e x，∵ x ∈(0, 1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， x ∈(1, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减， 故当x =1时，m(x)取最大值−1e 故对一切x ∈(0, +∞)，都有lnx >1ex −2ex成立．。

准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2023年5月福州市高三毕业班质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,3,5,7,8A =，{}1,5,,8,9B a =，若{}3,5,8A B =I ,则a =A ．2B ．3C ．6D ．72.在复平面内，复数1z对应的点位于第二象限，则复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量b 在单位向量a 上的投影向量为4-a ，则+⋅=（）a b a A ．3-B ．1-C ．3D ．54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x （单位：万元）的Logistic 模型：0.96800.9680e ()1e kxkxP x -+-+=+．已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（精确到0.01万元，参考数据：ln 3 1.0986≈，ln 20.6931≈）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元5.已知ABC △的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=A ．12B ．1C ．2D 6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有A ．15种B ．18种C ．19种D ．36种7.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则A ．α//β，l //αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8.已知0a >，函数()()1e a x f x -=，()()222g x x a x b =-+++．若()()f x g x >，则ba的取值范围是A ．2(,)e-∞-B ．(),1-∞-C ．1(,2-∞-D ．2(,0)e-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．第40百分位数10.已知椭圆C ：22px qy r +=，其中p ，q ，r 成公比为2的等比数列，则A ．C 的长轴长为2B ．C 的焦距为C ．C 的离心率为2D ．C 与圆()2231x y -+=有2个公共点11.如图，一个半径为3m 的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周．已知盛水筒P 离水面的最大距离为5.2m ，旋转一周需要60s ．以P 刚浮出水面时开始计算时间，P 到水面的距离d (单位：m)(在水面下则d 为负数)与时间t (单位：s)之间的关系为()ππsin 0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，[0,60]t ∈，下列说法正确的是A ． 2.2K =B ．π30ω=C ． 2.2sin 3ϕ=D ．P 离水面的距离不小于3.7m 的时长为20s 12.已知函数()f x 定义域为R ，满足()()122f x f x +=，当11x ≤-<时，()f x x =．若函数()y f x =的图象与函数121()(20232023)2x g x x +⎡⎤⎢⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则A ．()g x 是偶函数B ．2024n =C ．10ni i x ==åD ．10121011122ni i y -==-å第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，则10x =时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）．14.写出经过抛物线28y x =的焦点且和圆()2214x y +-=相切的一条直线的方程．15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为．16.不等式π1sin46x x <+的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）如图，直线12l l ∥，线段DE 与12,l l 均垂直，垂足分别是,E D ，点A 在DE 上，且1,2AE AD ==.,C B 分别是12l l ,上的动点，且满足π3BAC ∠=．设ABD x ∠=，ABC △面积为()S x ．（1）写出函数解析式()S x ；（2）求()S x 的最小值．18.（12分）学校有A ，B 两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐．第1天午餐选择A餐厅的概率是13，如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为35；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为34．（1）记周同学前两天去A 餐厅的总天数为X ，求X 的数学期望；（2）如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大？请说明理由．19.（12分）如图，四边形A 1ABB 1是圆柱的轴截面，CC 1是母线，点D 在线段BC 上，直线A 1C //平面AB 1D ．（1）记三棱锥B 1-ABD 的体积为V 1，三棱锥B 1-ABC 的体积为V 2，证明：212V V =；（2）若CA =2，CB =4，直线A 1C 到平面AB 1D 的距离为43，求直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值．20.（12分）已知数列{}n a 满足12211,1022n n n a a a a a n ++==++=+．（1）若1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求使n a 取得最小值时n 的值．21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为原点，点(1,1)P 在C 的渐近线上，PAO △的面积为12．（1）求C 的方程；（2）过点P 作直线l 交C 于,M N 两点，过点N 作x 轴的垂线交直线AM 于点G ，H 为NG 的中点，证明：直线AH 的斜率为定值．22.（12分）已知a R Î，函数()()11e x f x x a -=--．（1）讨论()f x 在(,)b -∞上的单调性；（2）已知点(),P m m ．（i ）若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，求m 的取值范围；（ii ）设函数122e 1,11,()ln(1)1,1e 1e x x h x x x --⎧+-<<⎪=⎨-++<<+⎪⎩．若曲线()y h x =上恰有三个点iT （1,2,3i =）使得直线i PT 与该曲线相切于点i T ，写出m 的取值范围（无需证明）．质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。