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一． 线性映射上一节课研究了数域P 上线性空间的结构。
在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。
1.1线性映射的定义及其性质1.1.1 【定义】 设1V 、2V 是数域P 的两个线性空间，σ是1V 到2V 的一个映射，如果对1V 中任意两个向量α，β和任意数k P ∈，都有()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=即能向量线性关系的不变性，则称σ是1V 到2V 的线性映射或线性算子。
上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。
与上一节说到的线性空间1V 到2V 的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。
因此线性映射比同构映射更广泛。
线性空间1V 到2V 的线性映射也称为同态映射。
例1 将线性空间1V 中每一个向量映射成线性空间2V 中零向量的映射是一个线性映射，称为零映射，记为O ，即1(),V ααO =O ∀∈例2 线性空间V 到自身的恒等映射是一个线性映射，记为V ϕ，即(),V V ϕααα=∀∈例3 任意给定数k P ∈，数域P 上线性空间V 到自身的一个映射K (),k V ααα=∀∈是一个线性映射，称为V 上的由数决定的数乘映射。
例4 设σ是线性空间1V 到2V 的一个线性映射，定义1V 到2V 的映射1()()(),V σασαα-=-∀∈则σ-是线性空间1V 到2V 的线性映射，称为σ的负映射。
1.1.2【性质】 设σ是线性空间1V 到2V 的线性映射，则 （1）()σO =O ；（2）1()()(),V σασαα-=-∀∈；（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若β是12,,,m αααL 的线性组合，且存在12,,,m k k k P ∈L ，有1122m m k k k βααα=+++L则经过线性映射σ之后，()σβ是12(),(),()m σασασαL 同样的线性组合：11221122()()()()m m m m k k k k k k σααασασασα+++=++L L（4）如果12,,,m αααL 是1V 的一组线性相关向量，则12(),(),()m σασασαL 是2V 中的一组线性相关的向量；并且当且仅当σ是一一映射时，1V 中线性无关向量组的像是2V 中的线性无关向量组。
第一章 线性空间与线性映射线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的性质、线性映射与矩阵的关系等。
§1.1 数 域定义1 设F 是至少包含两个数的数集，如果F b a ∈∀,均有ab b a ,±F b ba∈≠)0(,，则称F 是数域。
例1 全体实数构成实数域，记为R 。
全体复数构成复数域，记为C 。
全体有理数构成有理数域，记为Q 。
例2 全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。
例3设{|,}F a a Q b Q =∈∈，证明F 是数域。
证明 ,F αβ∀∈，则1122,,,a b a b Q ∃∈，使得1122,a a αβ==，易证,αβαβ±,(0)F αββ≠∈。
例4 证明任何数域F 都包含有理数域。
证明 因为F 中至少包含两个不同元素，所以0,≠∈∃a F a ，由运算的封闭性知F aa∈=1，112,123,F +=+=∈ 121,132F -=--=-∈，所以F 包含了全体整数，又由除法封闭性知F 包含有理数域。
和号：∑∑∑∑=====∈n j mi j i m i nj ji j i a aF a 1111,§1.2 线 性 空 间在线性代数中n R 是n 维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空间。
定义1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V 关于加法封闭，即,,x y V ∀∈有唯一的V y x ∈+。
在F 与V 之间定义一种运算称之为数乘，即V x F ∈∈λ∀,有唯一确定的V x ∈λ=ω与之对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V 为数域F 上的线性空间，V 中元素也称为V 中的向量，也记)(F V V =。
V y x x y y x ∈∀+=+,.1V z y x z y x z y x ∈∀++=++,,)()(.2.3V θ∃∈使,x x x V θ+=∀∈，称θ为零元素，也记为0。
线性映射讲义第一讲（2008年11月12日）主要内容：线性映射的概念、例子及简单性质 I1. 例：假设)(P V 是一个线性空间，V B n ∈αα,,:1 是他的一组基。
则我们由坐标的定义得到一个映射：B n f P P V f ααα=→)(,)(: ，这儿α表示线性空间)(P V 中的任一个向量，B α表示α关于基B 的坐标。
关于这个映射，我们有以下的性质：（i ） 任意向量组V m ∈ββ,,1 线性相关n m P f f ∈⇔)(,),(1ββ 线性相关。
（ii ）V ∈β可由向量组V m ∈ββ,,1 线性表示nP f ∈⇔)(β可由向量组nm P f f ∈)(,),(1ββ 线性表示。
（iii ）向量组V m ∈ββ,,1 的一个子向量组ri i ββ,,1是一个极大无关组n i i P f f r ∈⇔)(,),(1ββ 是向量组nm P f f ∈)(,),(1ββ 的一个极大无关组。
（iv ） )()(,αααkf k f V P k =⇒∈∀∈∀。
（v ）)()()(,βαβαβαf f f V +=+⇒∈∀。
2. 定义：设)(),(21P V P V 是两个线性空间。
称映射21:V V f →是一个线性映射，如果以下两条成立：（i ）)()()(,βαβαβαf f f V +=+⇒∈∀，即映射f 保持加法（或者说映射f 使得和的像等于像的和）。
（ii ）)()(,αααkf k f V P k =⇒∈∀∈∀，即映射f 保持数乘（或者说映射f 使得数乘的像等于像的数乘）。
3. 性质：（i ）映射21:V V f →是一个线性映射V P t k ∈∀∈∀⇔βα,,,，有)()()(βαβαtf kf t k f +=+，即映射f 保持线性组合（或者说映射f 使得线性组合的像等于像的线性组合）。
（ii ）0)0(=f 。
（iii ）)()(αααf f V -=-⇒∈∀。
第七章 线性变换7.1 线 性 映 射假定V 和W 都是数域F 上的向量空间.一、定义和例子定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被满足, 就称σ是V 到W 的一个线性映射:(i) ,, ()()();V ξησξησξση∀∈+=+(ii) ,, ()().a F V a a ξσξσξ∀∈∀∈=例1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射, 则 f 是V 到W 的线性映射.例2 令F 是数域, 212 :(,)T F x x ξξ∀∈=, 规定 11212()(,,).T x x x x x σξ=-+ 则σ是F 2到F 3的线性映射.例3 令F 是数域, . :m n n A F F ξ⨯∈∀∈12(,,,)T n x x x ξ=, 规定 ().A σξξ= 则σ是F n 到F m 的线性映射.特别地，取n = 2, m = 3,1011,11A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则得例2的线性映射1121212()(,,), (,).T T x x x x x x x σξξ=-+∀=例4 在例3中取m = 1, 这时12(,,,)n A a a a =, 而1122().n n a x a x a x σξ=+++σ是F n 到F 的线性映射.(F 上的n 元线性函数或F n 上的线性型)例5 V 到W 的零映射σ是一个线性映射:: , 0 .V W σξ→例6 设V 是数域F 上的向量空间. 取定k F ∈, 规定(), ,k V σξξξ=∀∈则σ是V 到自身(即V 到V )的线性映射. 称σ为V 的位似.例7 在向量空间F [x ]中，令(())().D f x f x '=则D 是F [x ]到自身的线性映射.例8 令C [a , b ] 是定义在 [a , b ] 上一切连续实函数所成的R 上向量空间. 规定(())(), ()[,].xaJ f x f t dt f x C a b =∀∈⎰则J 是C [a , b ] 到自身的线性映射.二、线性映射的基本性质1. 定义1中的条件 (i) 和 (ii) 等价于以下条件:(iii) ,,,,a b F V ξη∀∈∀∈()()().a b a b σξησξση+=+2. σ(0) = 0 .3. ,,V ξη∀∈()(), ()()().σξσξσξησξση-=--=-4. ,,1,2,,,i i a F V i n ξ∀∈∈=11().n ni i i i i i a a σξσξ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑5. 如果 12,,,n V ξξξ∈线性相关, 那么12(),(),,()n W σξσξσξ∈也线性相关.注 反过来一般不成立.三、线性映射的合成及逆映射1. 线性映射的合成映射还是线性映射设U , V 和W 都是数域F 上向量空间, 而:,:U V V W τσ→→是线性映射. 那么:U W στ→是一个线性映射.2. 可逆的线性映射之逆映射也是(可逆的)线性映射四、子空间的(原)像1. 设 , V V V σ''⊆在之下的像(){()|}.V V W σσξξ''=∈⊆2. 设 , W W W σ''⊆在之下的原像1(){|()}.W V W V σξσξ-''=∈∈⊆定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射. 那么V 的任意子空间在σ之下的像是W 的一个子空间. 而W 的任意子空间在σ之下的原像是V 的一个子空间.五、线性映射的像与核1. σ的像 (或值域) 是W 的子空间: Im(σ)=σ(V )2. σ的核是V 的子空间: Ker(σ) =1σ-({0}) =1σ-(0)Ker(){ | ()0 }V σξσξ=∈=例9 令F 是数域, .m nA F ⨯∈ 考虑线性映射:, .n m F F A σξξ→那么（1）σ的像就是矩阵A 的列空间；（2）σ的核就是齐次线性方程组Ax = 0的解空间.证明 K e r (){ | ()0 }{ |n n F F A σξσξξξ=∈==∈= 1212112Im(){ () | }{ | }=(,,,),1,2,, =,1,2,,=(,,,).n n n i n n i i i i n F A F a a a F i n a a a F i n L σσξξξξααααααα==∈=∈⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭∑ 这里12,,,n ααα是矩阵A 的列向量组.定理7.1.2 设V 和W 是数域F 上向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射. 那么(i) .)Im( W =⇔σσ是满射(ii) }.0{)Ker(=⇔σσ是单射。
线性映射讲义第一讲（2008年11月12日）主要内容：线性映射的概念、例子及简单性质 I1. 例：假设)(P V 是一个线性空间，V B n ∈αα,,:1 是他的一组基。
则我们由坐标的定义得到一个映射：B n f P P V f ααα=→)(,)(: ，这儿α表示线性空间)(P V 中的任一个向量，B α表示α关于基B 的坐标。
关于这个映射，我们有以下的性质：（i ） 任意向量组V m ∈ββ,,1 线性相关n m P f f ∈⇔)(,),(1ββ 线性相关。
（ii ）V ∈β可由向量组V m ∈ββ,,1 线性表示nP f ∈⇔)(β可由向量组nm P f f ∈)(,),(1ββ 线性表示。
（iii ）向量组V m ∈ββ,,1 的一个子向量组ri i ββ,,1是一个极大无关组n i i P f f r ∈⇔)(,),(1ββ 是向量组nm P f f ∈)(,),(1ββ 的一个极大无关组。
（iv ） )()(,αααkf k f V P k =⇒∈∀∈∀。
（v ）)()()(,βαβαβαf f f V +=+⇒∈∀。
2. 定义：设)(),(21P V P V 是两个线性空间。
称映射21:V V f →是一个线性映射，如果以下两条成立：（i ）)()()(,βαβαβαf f f V +=+⇒∈∀，即映射f 保持加法（或者说映射f 使得和的像等于像的和）。
（ii ）)()(,αααkf k f V P k =⇒∈∀∈∀，即映射f 保持数乘（或者说映射f 使得数乘的像等于像的数乘）。
3. 性质：（i ）映射21:V V f →是一个线性映射V P t k ∈∀∈∀⇔βα,,,，有)()()(βαβαtf kf t k f +=+，即映射f 保持线性组合（或者说映射f 使得线性组合的像等于像的线性组合）。
（ii ）0)0(=f 。
（iii ）)()(αααf f V -=-⇒∈∀。
（iv ）任意向量组11,,V m ∈αα 线性相关21)(,),(V f f m ∈⇒αα 线性相关。
（iv ＇）对任意向量组11,,V m ∈αα ，若21)(,),(V f f m ∈αα 线性无关，则11,,V m ∈αα 线性无关。
（v ）1V ∈α可由向量组11,,V m ∈αα 线性表示2)(V f ∈⇒α可由向量组21)(,),(V f f m ∈αα 线性表示。
证明：（i ）“⇒”根据定义2（i ）， )()()(βαβαt f k f t k f +=+。
根据定义2（ii ），)()()()()(βαβαβαtf kf t f k f t k f +=+=+。
“⇐”根据定义2，显然。
（ii ）因为)0()0()00()0(f f f f +=+=，所以0)0(=f 。
（iii ）)()()1())1(()(αααααf f f f V -=-=-=-⇒∈∀。
（iv ）因为向量组11,,V m ∈αα 线性相关，所以存在不全为零的数P k k m ∈,,1 使得1110V k k m m ∈=++αα 成立。
所以211110)0()()()(V f k k f f k f k m m m m ∈==++=++αααα ，即21)(,),(V f f m ∈αα 线性相关。
（iv ＇）是（iv ）的逆否命题。
（v ）请参照（iv ）的过程，自己证明。
4. 例：（i ）零映射0)(),()(:21=→ααf P V P V f 是线性映射。
（ii ）恒等映射ααα=→)(),()(:)()(P V P V Id P V P V Id 是线性映射。
（iii ）设)(,,:11P V B n ∈αα 是一组基。
对于任意给定的一个向量组)(,,21P V n ∈ββ ，则存在一个线性映射)()(:21P V P V f →使得i i f n i βα=≤≤∀)(,1。
事实上，对于任意的一个向量)(1P V ∈α，因为)(,,:11P V B n ∈αα 是一组基，所以)(1P V ∈α可惟一地表示为n n k k ααα++= 11的形式。
所以我们可以构建一个映射nn nn k k f k k P V P V f ββαααα++=++=→111121)()()(:。
按照定义2，我们可以验证上面定义的映射f 是一个满足条件i i f n i βα=≤≤∀)(,1的线性映射。
另外，如果还存在一个线性映射)()(:21P V P V g →使得i i g n i βα=≤≤∀)(,1，则对于任意的一个向量)(111P V k k n n ∈++=ααα ，必有)()()()()(111111αββαααααf k k g k g k k k g g n n n n n n =++=++=++= 。
从而映射g f =。
第二讲（2008年11月14日）主要内容：线性映射的概念、例子及简单性质 II ，线性映射的运算1. 定义：设)()(:21P V P V f →是一个线性映射。
2V ∈∀β，称集合{}βααβ=∈=-)()(11f V f 为β关于映射f 的原像集。
2V S ⊆∀，称集合{}S f V S f∈∈=-)()(11αα为S 关于映射f 的原像集。
1V T ⊆∀，称集合{}T V f T f ∈∈=αα2)()(为T 在映射f 下的像。
称映射f 是一个单射如果2V ∈∀β，)(1β-f 最多含有一个元素。
称映射f 是一个满射如果2V ∈∀β，)(1β-f至少含有一个元素。
称映射f 是一个同构映射如果2V ∈∀β，)(1β-f恰好只含有一个元素。
此时称线性空间)(1P V 与)(2P V 同构，记为)()(21P V P V f≅（或)()(21P V P V ≅）。
2. 性质：设)()(:21P V P V f →是一个线性映射。
（i ）映射f 是一个单射1,V ∈∀⇔βα，若βα≠，则必有2)()(V f f ∈≠βα。
（ii ）映射f 是一个满射2V ∈∀⇔β，则必能找到一个向量1V ∈α使得βα=)(f 。
（iii ）映射f 是一个同构映射f ⇔既是一个单射，又是一个满射。
3. 性质：设)()(:21P V P V f →是一个单射。
则（i ）任意向量组11,,V m ∈αα 线性相关21)(,),(V f f m ∈⇔αα 线性相关。
（ii ＇）任意向量组11,,V m ∈αα 线性无关21)(,),(V f f m ∈⇔αα 线性无关。
（iii ）1V ∈α可由向量组11,,V m ∈αα 线性表示2)(V f ∈⇔α可由向量组21)(,),(V f f m ∈αα 线性表示。
（iv ）向量组11,,V m ∈αα 的一个子向量组ri i αα,,1是一个极大无关组2)(,),(1V f f r i i ∈⇔αα 是向量组21)(,),(V f f m ∈αα 的一个极大无关组。
4. 注释：如果)()(:21P V P V f →是一个单射，根据性质3，我们可以把线性空间)(1P V 中的问题转移到线性空间)(2P V 中去考虑。
如果我们熟悉)(2P V ，就能达到简化问题的效果。
那么，我们能否把)(2P V 中的问题转移到)(1P V 中去考虑呢？显然，如果我们所考虑的)(2P V 中的问题涉及的向量都是)(1P V 中向量在某个线性映射f 下的像时，根据性质3以及第一讲的性质3，把问题转移到)(1P V 中去考虑去考虑是有可能的。
这也是我们考虑满射、特别是同构映射的意义所在。
5. 定义：设)()(:21P V P V f →是一个线性映射。
称集合}0)({)0(211V f V f∈=∈=-αα为映射f 的核，记为f ker 。
称集合})(..{)(121βααβ=∈∃∈=f t s V V V f 为映射f 的像，记为f Im 。
6. 性质：设)()(:21P V P V f →是一个单射。
则（i ）1ker V f ⊆是一个子空间。
（ii ）2Im V f ⊆是一个子空间。
（iii ）映射f 是一个单射}0{ker =⇔f 。
（iv ）映射f 是一个满射2Im V f =⇔。
证明：（i ）因为0)0(=f ，所以f ker 0∈，即f ker 非空。
对f ker ,∈∀βα，有0)(,0)(==βαf f 。
所以0)()()(=+=+βαβαf f f ，即f ker ∈+βα。
对f P k ker ,∈∀∈∀α，有0)(=αf 。
所以00)()(===k kf k f αα，即f k k e r ∈α。
所以f ker 是)(1P V 的一个子空间。
（ii ）与（i ）的证明类似。
（iii ）映射f 是一个单射}0{ker =⇒f ：根据定义及0)0(=f ，显然成立。
f f ⇒=}0{k e r 是一个单射：（反证法）假设f 不是一个单射，根据性质2，必存在1V ∈≠βα使得2)()(V f f ∈=βα。
所以20)()()(V f f f ∈=-=-βαβα。
从而有f ker 0∈-≠βα。
此与题设}0{ker =f 矛盾。
所以假设不成立，从而f 是一个单射。
（iv ）根据定义1和定义5，显然成立。
7. 定义：设)()(:21P V P V f →是一个线性映射。
称线性子空间f Im 的维数（如果fIm 是有限维的）为线性映射f 的秩。
8. 定义：由第一讲例4（i ）可知，对于任意的两个线性空间)(),(21P V P V ，一定存在从)(1P V 到)(2P V 的线性映射；又由第一讲例4（iii ）可知，这样的线性映射可能有很多。
所以我们把从)(1P V 到)(2P V 的线性映射的线性映射放到一起，组成一个集合，记为f V V f V V L 2121:{),(→=是一个线性映射}。
),(,21V V L g f ∈∀，我们定义一个新的映射)()()()(:21αααg f P V P V g f +→+。
),(,21V V L f P k ∈∀∈∀，我们定义一个新的映射)()()(:21ααkf P V P V kf→。
按线性映射的定义，容易验证kf g f ,+也是线性映射，即),(,21V V L kf g f ∈+。
事实上，1,V ∈∀βα，我们有))(())(())()(())()(()()()()()()())((βαββααβαβαβαβαβαg f g f g f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=+++=++。
其他的留给大家自己验证。
从而我们得到了两个运算：),(21V V L 上的加法运算和),(21V V L 关于数域P 的数乘运算：),(,21V V L g f ∈∀，我们定义f 与g 之和为g f +。
