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最小二乘法原理
若列表函数所有节点基本上呈现线性变化规律，用直线方程f (x) = a + b x描述
选取系数a, b,使偏差平方和e最小，就是最小二乘法的实质
最小二乘法处理的任务就是求直线方程中的待定系数a和b
最小二乘法步骤
①在坐标纸上标出列表函数各节点数据，并根据其趋势绘出大致
的曲线
②根据曲线确定近似的拟合函数类型，拟合函数可为代数多项式、
对数函数、指数函数…
③用最小二乘法原理确定函数中的待定系数
NEXT
莎图示*Z卄…
沪W Y(八兀・)-儿)2 = Y(a + bx.-儿)2
J=1 2=1 1=1
根据函数求极值性质，函数对自变量的偏导为零则令：
I da = 0
dtp /db = 0
求偏导数.得：
(XI TO
三2(p+bx i— J,) = 0 丫2
召@ +琳-开)=0 求得“=尹
_力0
—心厂刁
Z Xi (每-X)
NEXT
BACK 9例：疥中狀实昨为例’唉性方程 将表中数据代入前式得方程组： f5 a + 15Z? = 13
15cz+ 55b = 50
求解得：a=-0. 7 b=l. 1
贝 ij ： f (x)二l.lx-o.7 • 1 Xi yt Xi 2 x iXi
1 1 0 1 0
2 2 2 4 4
3 3 2 9 6
4 4
5 1
6 20
5 5 4 25 20
s 15 13 55 50。
最小二乘拟合原理
最小二乘拟合是一种常用的数学方法，用于找到一条曲线或者函数来最好地拟合一组具体的数据点。
它的原理是通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和，来确定曲线的参数。
首先，我们假设拟合曲线是通过一个函数表示的，例如一个多项式函数或者指数函数。
然后我们用该函数来预测每个数据点的值，并计算预测值与真实值之间的差距，即误差。
为了找到最佳拟合曲线，我们需要找到使得误差平方和最小的参数。
最小二乘拟合的关键思想在于将误差平方和作为一个目标函数，并使用数学优化方法来找到使得该目标函数最小化的参数。
通常情况下，最小二乘拟合会使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）来求解参数。
OLS方法通过求解目标函数对参数的偏导数，并令其等于零，来得到参数的解析解。
这样就可以找到使得误差平方和最小的参数。
然而，在某些情况下，目标函数可能不具备解析解，或者解析解存在但不易计算。
这时候，可以使用数值优化方法来近似求解参数。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法等。
最小二乘拟合的一个重要应用是线性回归分析。
线性回归模型假设拟合曲线是一个线性函数，通过最小二乘拟合可以求解出最佳的线性参数。
线性回归分析在统计学和机器学习中经常被用于建立预测模型。
总而言之，最小二乘拟合是一种常用的数学方法，可以用于寻找最佳拟合曲线或函数。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和，我们可以求解出最佳拟合参数，从而得到一个最优的拟合结果。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------最小二乘法拟合原理最小二乘法拟合原理最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是 y 的误差。
设 x 和 y的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
1 / 12只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组 yi ＝f（x； c1， c2， cm）（0-0-2）式中 i＝1， 2，， m. 求m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然 Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y 的观测值 yi 围绕着期望值 f（x； c1， c2， cm）摆动，其分布为正态分布，则yi 的概率密度为 p yi 1 yi f xi; c1, c2, . . . . . . , cm exp 2 2i2i 2 , 式中 i 是分布的标准误差。
最小二乘拟合平面方法《嘿，你了解最小二乘拟合平面方法不？》嘿，大家好！今天咱们来聊聊这个听上去很专业很高大上的“最小二乘拟合平面方法”。
想象一下，要是数学也能变得像咱平时唠嗑那么轻松该多好哇！其实吧，这最小二乘拟合平面方法呢，就像是一个超级厉害的“整形大师”！只不过呢，它不是给人的脸整形，而是给一堆数据整形。
咱平时不是会遇到好多的数据嘛，乱七八糟的，但又想从里面找到点规律。
这时候最小二乘拟合平面方法就闪亮登场啦！它能把这些零散的数据点变得乖乖听话，给它们整出一个平面来。
这个平面就好像是给这些数据点找到了一个舒适的“家”，让它们不再四处乱跑。
比如，你要研究房价和地理位置、房屋面积的关系，它就能帮你弄出一个平面来，让你大致搞清楚这里面的门道。
我第一次接触这个方法的时候啊，那可真是有点懵。
看着那一堆公式和计算，我脑袋都大了一圈。
心想：哎呀妈呀，这是要闹哪样啊！不过呢，等我慢慢静下心来，一点一点去理解，发现它其实也没那么恐怖啦。
就像生活中好多看起来很难的事情，只要我们鼓起勇气去面对，静下心来研究，总能找到解决的办法。
最小二乘拟合平面方法也是这样，虽然它一开始可能会让你有点头疼，但是当你搞懂了它的原理，学会了运用它，你就会发现它的神奇之处啦！而且啊，当你用它成功解决了一个问题，那种成就感简直爆棚！就好像你是个超级英雄，一下子就把那些捣乱的数据给收服了。
所以呀，别被这个方法的名字给吓到啦。
它就像一个隐藏的宝藏，等着我们去挖掘呢！大家都勇敢地去尝试尝试，说不定你会发现一个全新的数学世界哦。
嘿嘿，就让我们和这个“最小二乘拟合平面方法”愉快地玩耍吧！怎么样，是不是感觉也没那么难了呢？加油哦！。
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
最小二乘拟合过程最小二乘拟合是一种常用的数学方法，用于找到一条曲线或者函数来拟合一组数据点。
它在各个领域中都有广泛的应用，例如经济学、统计学、工程学等。
最小二乘拟合的目标是找到一条曲线或者函数，使得该曲线与给定的数据点之间的误差平方和最小。
这里的误差是指每个数据点在y 轴方向上的偏差。
最小二乘拟合通过调整曲线或者函数的参数，使得误差平方和最小化。
最小二乘拟合的过程可以分为以下几个步骤：1. 收集数据：首先需要收集一组数据点，这些数据点是待拟合的对象。
数据点可以是实验测量得到的，也可以是已知的理论值。
2. 建立模型：在进行最小二乘拟合之前，需要选择一个合适的模型来拟合数据。
模型可以是线性的，也可以是非线性的。
线性模型的形式为y = ax + b，非线性模型的形式可以根据具体的问题来选择。
3. 计算误差：将数据点代入模型中，计算每个数据点在y轴方向上的偏差。
偏差可以用实际观测值与模型预测值之间的差值来表示。
4. 计算误差平方和：将每个数据点的偏差平方相加，得到误差平方和。
误差平方和越小，说明模型与数据点之间的拟合程度越好。
5. 最小化误差平方和：通过调整模型的参数，使得误差平方和最小化。
这可以通过最优化算法来实现，例如梯度下降法、牛顿法等。
6. 拟合曲线：在找到使得误差平方和最小的模型参数之后，可以得到一条拟合曲线。
这条曲线可以用来预测未知的数据点或者进行其他分析。
最小二乘拟合的优点在于它是一种简单而直观的方法，易于理解和实现。
它可以拟合各种类型的数据，包括线性和非线性的数据。
此外，最小二乘拟合还可以提供关于拟合曲线参数的置信区间和假设检验等统计信息。
然而，最小二乘拟合也有一些限制和注意事项。
首先，它要求数据点之间是独立同分布的，即每个数据点的误差是相互独立且服从相同分布的。
其次，最小二乘拟合对异常值比较敏感，一个异常值可能对拟合结果产生较大的影响。
此外，最小二乘拟合不能保证拟合曲线是唯一的，可能存在多个拟合曲线与数据点拟合程度相同。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合 我们知道， 用作图法求出直线的斜率a 和截据b ， 可以确定这条直线所对应的经验公式， 但用作图法拟合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分散时， 对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因此是一种粗略的数据处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据， 用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。
显然， 关键是如何求出最佳的 a 和b 。
(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略， 则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b 是最理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、dn 为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。
一种单站纯方位目标跟踪中的最小二乘递推方法随着信息技术的迅猛发展，单站纯方位目标跟踪技术已经成为研究和实际应用中重要的方向之一。
然而，这种技术仍然有一些关键问题需要解决。
最小二乘递推（LSR）方法是一种被广泛使用的单站跟踪技术，它能够有效地解决传统跟踪技术中出现的诸多问题。
最小二乘递推方法源于拉格朗日最优化理论，是一种迭代的数字滤波技术。
它的基本思想是将一系列高斯型的跟踪模型与测量数据联合起来，将最小化的均方差误差作为优化的指标，最终根据这一指标来确定跟踪结果。
最小二乘递推方法由两个部分组成，分别是先验模型更新和后验传播更新。
在先验模型更新阶段，根据上一时刻的预测位置和预测速度，更新预测模型和状态模型，其中状态模型反映目标状态参数的时变。
然后在后验传播更新阶段，对比先验模型计算的位置和速度与实际测量结果，给出传播噪声，根据这些噪声更新先验模型，从而得到跟踪结果。
最小二乘递推方法的优点在于可以适应模型和测量数据的不可靠性，可以有效处理跟踪过程中的各种情况。
它的另一个优点是可以减少参数估计误差对跟踪精度的影响，从而有效提高跟踪精度。
不过，最小二乘递推方法也存在一定的局限性。
它对于受到噪声干扰的传感器数据的处理能力较差，会导致跟踪精度的降低。
此外，在某些特殊情况下，LSR方法可能会陷入局部最优状态，从而导致跟踪结果不准确。
从以上可以看出，最小二乘递推方法在单站纯方位目标跟踪方面有着重要的意义，但仍需要进一步完善，才能更好地应用到实际中。
因此，必须建立一种新的综合技术，结合传统跟踪技术和LSR方法，力求尽可能准确地定位和跟踪目标。
只有这样，才能真正实现单站纯方位目标的有效跟踪。
最⼩⼆乘拟合来⾃：最优化函数库Optimization优化是找到最⼩值或等式的数值解的问题。
scipy.optimization⼦模块提供函数最⼩值，曲线拟合和寻找等式的根的有⽤算法。
最⼩⼆乘拟合假设有⼀组实验数据（xi, yi），事先知道它们之间应该满⾜某函数关系yi = f(xi)，通过这些已知的信息，需要确定函数f的⼀些参数。
例如，如果函数f是线性函数f(x) = kx + b，那么参数k和b就是需要确定的值。
如果⽤p表⽰函数中需要确定的参数，那么⽬标就是找到⼀组p，使下⾯的函数s的值最⼩：这种算法被称作最⼩⼆乘拟合(Least-square fitting)。
使⽤leastsq()进⾏最⼩⼆乘拟合计算。
leastsq()只需要将计算误差的函数和待确定参数的初始值传递给它即可。
leastsq()函数传⼊误差计算函数和初始值，该初始值将作为误差计算函数的第⼀个参数传⼊；计算的结果r是⼀个包含两个元素的元组，第⼀个元素是⼀个数组，表⽰拟合后的参数k，b；第⼆个元素如果等于1，2，3，4中的其中⼀个整数，则拟合成功，否则将返回mesg。
leastsq函数：leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0, col_deriv=0, ftol=1.49012e-08, xtol=1.49012e-08, gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=0.0, factor=100, diag=None, warning=True) ⼀般我们只要指定前三个参数：func 是我们⾃⼰定义的⼀个计算误差的函数，x0 是计算的初始参数值args 是指定func的其他参数注意：传⼊leastsq函数的参数可以有多个，但必须把参数的初始值p0和其它参数分开放。
其它参数应打包到args中。
最⼩⼆乘拟合⽰例：使⽤最⼩⼆乘对带噪声的正弦波数据进⾏拟合：拟合得到的参数虽然和实际的参数有可能完全不同，但是由于正弦函数具有周期性，实际上拟合的结果和实际的函数是⼀致的。
