浙江省2019年中考数学复习微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明训练

微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( )2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 33．如图，已知⊙O的半径为3，∠AO B＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题：(1)请简述由图①变成图②的形成过程：______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证：AM＋CN ＝MN.10．问题背景：如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用：如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展：如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB 上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．11．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连结AD，BC，点H为BC中点，连结OH.(1)如图1所示，求证：OH＝12AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．参考答案1．A 2.B 3.15π44.85.66．(1)图①中的△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到图② (2)6 7．菱1548.(6 058，1) 9．证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC ＝BA ，∴将△BCN 绕点B 逆时针旋转90°得到△BAN′，如图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°. 在△MBN 和△MBN′中， ⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝BN′，∠MBN＝∠MBN′，BM ＝BM.∴△MBN≌△MBN′(SAS)， ∴MN＝MN′， 即AM ＋AN′＝MN ， ∴AM＋CN ＝MN. 10．解：(1)2 2(2)如图，在斜边AC 上截取AB′＝AB ，连结BB′. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠B′AM＝∠BAM， 在△B′AM 和△BAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB′＝AB ，∠B′AM＝∠MAB，AM ＝AM ，∴△B′AM≌△BAM(SAS)，∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°， ∴点B 与点B′关于直线AD 对称．如图，过点B′作B′F⊥AB，垂足为F ，交AD 于E ，连结B′E，则线段B′F 的长即为所求．(点到直线的距离最短) 在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°， AB′＝AB ＝10，∴B′F＝AB′·sin 45°＝AB·sin 45° ＝10×22＝52， ∴BE＋EF 的最小值为5 2.11．(1)证明：∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD ，OA ＝OB. 在△AOD 与△BOC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠AOD＝∠BOC，OD ＝OC ，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD ，∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC， ∵点H 为线段BC 的中点， ∴OH＝12BC ＝12AD ，可得OH ＝HB ，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD， 又∵∠OAD＋∠ADO＝90°， ∴∠ADO＋∠BOH ＝90°，∴OH⊥AD.(2)解：①结论：OH ＝12AD ，OH⊥AD，如图，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO， ∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°， ∴OH⊥AD.②结论不变，如图．延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，延长EO 交AD 于G.易证△BEO≌△ODA， ∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO. ∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.。

第一部分考点研究第四单元三角形第17课时三角形的基础知识浙江近9年中考真题精选命题点1三角形的三边关系(杭州2考，温州2013.4，绍兴2016.22)1. (2013温州4题4分)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A. 1，2，4B. 4，5，9C. 4，6，8D. 5，5，112. (2017嘉兴2题3分)长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )A. 4B. 5C. 6D. 93. (2012杭州20题10分)有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三条边的长；(2)设组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．4. (2016绍兴22题12分)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，如图，量得第四根木条CD＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；(2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可)；(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形．求出木条AD，BC的长度．第4题图命题点2三角形内角和及内外角关系(台州2013.13)5. (2012嘉兴8题4分)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°6.(2013台州13题5分)如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝________________________________________________________________________度．第6题图7.(2016丽水12题4分)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC 相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．第7题图命题点3三角形中的重要线段(杭州2015.22，台州3考，温州2013.18涉及)8. (2017台州5题4分)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD ＝2，则点P到边OA的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第8题图9. (2012台州6题5分)如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为( )A . 5B . 10C . 20D . 40第9题图10. (2014台州3题4分)如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝50 cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为( )A . 25 cmB . 50 cmC . 75 cmD . 100 cm第10题图11. (2017湖州6题3分)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝6，点P 是Rt △ABC 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于( )A . 1B . 2C . 32D . 2第11题图12. (2013义乌15题4分)如图，AD ⊥BC 于点D ，D 为BC 的中点，连接AB ，∠ABC 的平分线交AD 于点O ，连接OC ，若∠AOC ＝125°，则∠ABC ＝________.第12题图13. (2015杭州22题12分)如图，在△ABC 中(BC >AC )，∠ACB ＝90°，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E .(1)若AD DB ＝13，AE ＝2，求EC 的长；(2)设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F ，C ，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD于点P.问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．第13题图答案1．C 【解析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．A .∵1＋2＜4，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误；B .∵4＋5＝9，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误；C .∵4＋6＞8，∴本组数可以构成三角形．故本选项正确；D .∵5＋5＜11，∴本组数不能构成三角形．故本选项错误．2．C 【解析】根据三角形的三边关系：三角形的一边大于另外两边之差的绝对值，小于另外两边之和，可得：7－2<x<7＋2，即5<x<9.3．解：(1)第三边长为6(2<边长<12中，任取整数边长即可)；(3分)(2)设第三边长为L ，由三角形的性质可得：7－5<L<7＋5， 即2<L<12，而组中最多有n 个三角形且三边长均为整数， ∴L ＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，则n ＝9；(6分)(3)在这组三角形个数最多时，即n ＝9，要使三角形周长为偶数因两条定边的和为12, 所以第三边也必须为偶数， 则L ＝4，6，8，10， ∴P(A)＝49.(10分)4．解：(1)相等．第4题解图如解图，连接AC ，∵AB ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝5，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC (SSS )， ∴∠B ＝∠D ；(2分)(2)答案不唯一，只要满足29－5≤AD≤29＋5即可，如AD ＝5 cm ；(5分)【解法提示】∵AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，且∠B＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝29，根据三角形三边关系可知，29－5≤AD ≤29＋5. (3)设AD ＝x cm ，BC ＝y cm ，根据题意得， 当点C 在点D 的右侧时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝10，(7分) 当点C 在点D 的左侧时，⎩⎨⎧y ＝x ＋5＋2x ＋()y ＋2＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝15，(9分)此时AC ＝17 cm ，CD ＝5 cm ，AD ＝8 cm ，∵5＋8＜17，∴不合题意． ∴AD ＝13 cm ，BC ＝10 cm .(10分) 5．A6．36 【解析】∵AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，∴∠DCE ＝∠B ＝72°，∠DEC ＝∠F ＝72°，在△CDE 中，∠D ＝180°－∠DCE －∠DEC ＝180°－72°－72°＝36°.7．70° 【解析】∵MN ∥BC ，∴∠B ＝∠ADE ，∵∠A ＝63°，∠AEN ＝133°，∴∠ADE ＝∠AEN －∠A ＝133°－63°＝70°，∴∠B ＝70°.8．B 【解析】如解图，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，PG ＝PD ＝2.第8题解图9．C 【解析】由点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点可知DF 、EF 、DE 分别为BC 、AB 、AC 的中位线，所以DF ＝12BC ，EF ＝12AB ，DE ＝12AC ，又DF ＋EF ＋DE ＝10，所以BC ＋AB ＋AC ＝20.故答案为C .10．D 【解析】∵O 是AB 的中点，AC ⊥BC ，OD ⊥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OD ＝100 cm .11．A 【解析】如解图连接线段CP 交AB 于点D ，则CD 是AB 边上的中线，C D ＝AD ＝3，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD 是AB 边上的高，∵CP ＝2DP ，∴DP 为1，即点P 到AB 所在直线的距离等于1.12．70° 【解析】∵AD ⊥BC ，∠AOC ＝125°，∴∠C ＝∠AOC －∠ADC ＝125°－90°＝35°，∵D 为BC 的中点，AD ⊥B C ，∴OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠C ＝35°，∵OB 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠OBC ＝2×35°＝70°.13．解：(1)∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴AD DB ＝AEEC，(3分) ∵AD DB ＝13，AE ＝2， ∴2EC ＝13， 解得EC ＝6；(5分) (2)分三种情况：①当∠ECD ＝∠CFG 时，即∠1＝∠4，如解图①， ∴CP ＝FP ，第13题解图①∵∠FCG ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°， 又∵∠1＝∠4， ∴∠2＝∠3，(7分) ∴CP ＝PG ， ∴CP ＝FP ＝PG ，∴CP 是△CFG 的中线；(9分) ②当∠ECD ＝∠CGF 时，如解图②，第13题解图②∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∴∠CGP＋∠PCG＝90°，∴CP⊥FG，∴CP是△CFG的高线；(11分)③当CD为∠ACB的平分线时，如解图③第13题解图③CP既是△CFG的高线又是中线．综上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等时，线段CP可能是△CFG的高线，也可能是中线．(12分)。

全等三角形1已知：AB=4, AC=2, D 是BC 中点，AD 是整数，求AD3 已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC4 已知：AD 平分ZBAC, AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC5 已知：AC 平分ZBAD, CE 丄AB, ZB+ZD=180° ,求证：AE=AD+BEZC=ZD, F 是 CD 中点，求证：Z1=Z22 已知：BC=DE, ZB=ZE,6如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

7 已知：AB=CD, ZA=ZD,求证：ZB=ZC&P 是ZBAC 平分线AD 上一点，AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB9 已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC13已知：如BD1AC ,分别为D、E, BD、CE相交于点F。

求证：BE=CD. 图，AB=AC, CEXAB,垂足10.如图，已知AD/7BC, ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E, CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB. 11如图，AABC中，AD是ZCAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：ZC=2ZB12 如图：AE、BC 交于点M, F 点在AM 上，BE/7CF, BE=CF。

求证：AM是△ABC的中线。

14 在AABC 中，ZACB = 90°, AC = BC ,直线MV 经过点C ,且AD 丄MZV 于D , BE L MN 于E . (1) 当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ^ADC竺ACEB；② DE = AD + BE ；(2)当直线MV绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明; 若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE丄AB, AF丄AC, AE=AB, AF=AC。

求证:16.如图，已知AC〃BD, EA、EB分别平分ZCAB和ZE,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由DBA, CD过点(1) EC=BF； (2) EC丄BFB C17.如图9所示，AABC是等腰直角三角形，ZACB=90° , AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：ZADC=ZBDE.图9全等三角形证明经典（答案）1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52证明：连接BF和EF。

专题提高八以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算热门解读图形变换要揭露变换过程中的隐含条件；对照变换前后图形中的对应量，进而找到问题中的等量关系而求解．该题型是中考常用题型．母题体现1．(2017 ·北京市海淀区模拟 ) 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转获得△A′B′C，使 CB′∥ AB，分别延伸 AB，CA′订交于点 D，则线段 BD的长为.2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的极点叫做格点 .△ABC的三个极点A，B，C都在格点上，将△A BC绕点 A顺时针方向旋转90°获得△ AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△ AB′C′；(2)计算线段 AB在变换到 AB′的过程中扫过地区的面积．对点训练1．以下图把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以 AB的中点O为极点，把平角∠ AOB三平分，沿平角的三平分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O为极点的直角三角形，那么剪出的直角三角形所有睁开摊平后获得的平面图形必定是 ()第 1 题图A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0，3)，△ OAB3沿x 轴向右平移后获得△O′A′B′，点A 的对应点在直线y＝4x 上，则点 B 与其对应点 B′间的距离为______________________．第 2 题图3．(2016 ·广州 ) 如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上， DC＝4cm.将线段 DC沿着 CB的方向平移7cm获得线段 EF，点E，F 分别落在边 AB，BC上，则△ EBF的周长为cm.第 3 题图第 4 题图C按顺时针方向旋转至4．(2016 ·温州) 如图，将△ABC绕点△A′B′C，使点 A′落在 BC的延伸线上．已知∠ A＝27°，∠B＝40°，则∠ ACB′＝度．5．(2016 ·内江 ) 以下图，已知点C(1 ，0) ，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B 两点， D，E 分别是 AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是.第 5 题图6．(2017 ·宁波 ) 如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD的中点 E 处，折痕为 FG，点 F，G分别在边 AB，AD上，则cos∠EFG的值为____________________．第 6 题图7．(2016 ·毕节 ) 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转获得△ADE，连接 BD，CE交于点 F.(1)求证：△ AEC≌△ ADB；(2)若 AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形 ADFC是菱形时，求 BF的长．第7 题图二、旋转变换中研究性问题热门解读旋转前、后的图形全等，因此借此能够在较复杂的图形中发现等量(或全等 ) 关系，或经过旋转 ( 割补 ) 图形，把分别的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏导解题打破口．用旋转来设计中考题是命题策略之一．母题体现(2017 ·襄阳 ) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点 D为极点的45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与AC、BC的延伸线订交，交点分别为点 E，F，DF与 AC交于点 M，DE与BC交于点 N.(1)如图 1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；(2)如图 2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，①研究三条线段AB，CE，CF之间的数目关系，并说明原因；②若 CE＝4，CF＝2，求 DN的长．对点训练8．(2016 ·丹东模拟 ) 如图，在矩形ABCD中， AB＝1，BC＝ 3.将矩形 ABCD绕点 A 逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点 B′恰巧落在对角线 BD上，连接 DD′，则 DD′的长度为()A. 3B. 5C. 3 ＋ 1 D．2第 8 题图9．(2016 ·大连模拟) 如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上 ( 如图 2) ，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为____________________．第 9 题图10．(2016 ·苏州模拟 ) 如图，边长为 6 的等边三角形ABC中，E 是对称轴 AD上的一个动点，连接 EC，将线段 EC绕点 C逆时针旋转60°获得FC，连接DF. 则在点E运动过程中，DF的最小值是____________________．第10 题图11．(2 016·福州模拟 ) 已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上(P、G不与正方形极点重合，且在CD的同侧) ，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转 90°获得线段PE，连接EF.(1)如图 1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证： DG＝2PC；②求证：四边形 PEFD是菱形；(2)如图 2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延伸线上时，请猜想四边形PEFD是如何的特别四边形，并证明你的猜想．第11 题图12.现有一副直角三角板，已知含 45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完整重合( 如图1) ．即△C′DA′的极点 A′、 C′分别与△ BAC的极点 A、C 重合．此刻让△C′DA′固定不动，将△ BAC经过变换使斜边 BC经过△ C′DA′的直角极点 D.(1)如图 2，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0 °＜α＜180°) ，使BC边经过点D，则α＝____________________°；(2)如图 3，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D.试说明： BC∥A′C′；(3)如图 4，若将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点 D，已知 AB＝2，求 m的值．第12 题图参照答案专题提高八以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算【母题体现】 1.62．(1) 如图，△AB′C′即为所求．(2) ∵AB＝42＋32＝5，∴90·π·5225扫过地区的面积为：360＝4π.21【对点训练】 1.A 2.4 3.13 4.46 5.10 6.77．(1) 由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠ BAC＝∠ DAE，∴∠ BAC＋∠ BAE＝∠ DAE＋∠ BAE，即∠ CAEAE＝AD，＝∠DAB，在△AEC 和△ADB 中，∠CAE＝∠ DAB，∴ △ AEC≌ △AC＝AB，ADB(SAS)；(2) ∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA ＝∠ BAC＝45°，由(1)得：AB＝AD，∴∠ DBA＝∠ BDA＝45°，∴△ ABD为直角边为 2 的等腰直角三角形，∴2＝2 2，即＝22，∴BD AB BDAD ＝D F＝FC＝AC＝AB＝2，∴ BF＝BD－DF＝2 2－2.二、旋转变换中研究性问题【母题体现】(1)∵∠ ACB＝90°， AC＝BC，AD＝BD，∴∠ BCD＝∠ ACD＝45°，∠BCE＝∠ ACF＝90°，∴∠ DCE＝∠ DCF＝135°，在△ DCE与△ DCF中，CE ＝CF ，∠ D CE ＝∠ DCF ，∴△ DCE ≌△ DCF ，∴ DE ＝DF ；CD ＝CD ，(2 ) ①∵∠ DCF ＝∠ DCE ＝135°，∴∠ CDF ＋∠ F＝180°－ 135°＝ 45°，∵∠ CDF ＋∠ CDE ＝45°，CD CF2∴∠ F ＝∠ CDE ，∴△ CDF ∽△CED ，∴ ＝ ，即 CDCE CD12＝CE ·CF ，∵∠ ACB ＝ 90°， AC ＝BC ，AD ＝ BD ，∴ CD ＝2AB ，∴ AB ＝4CE ·CF ； ②如图，过 D 作 DG ⊥BC 于 G ，则∠ DGN ＝∠ ECN ＝90°，22，∴在 RtCG ＝DG ，当 CE ＝4，CF ＝2 时，由 CD ＝CE ·CF 得 CD ＝2△ DCG 中， CG ＝DG ＝CD ·sin ∠DCG ＝2 2×sin45 °＝ 2，∵∠ ECN ＝CN CE1∠ DGN ，∠ ENC ＝∠ DNG ，∴△ CEN ∽△ GDN ，∴ ＝ ＝2，∴ GN ＝ CGGN DG 322 22 222 10＝3，∴ DN ＝ GN ＋DG ＝3 ＋2 ＝ 3 .【对点训练】8．A9.105 °11．(1) 证明：①作 PM ⊥ DG 于 M ，如图 1，∵PD ＝PG ，∴MG ＝MD ，∵四边形 ABCD 为正方形，∴ PCDM 为矩形，∴ PC ＝MD ，∴ DG ＝2PC ；②∵四边形ABCD 为正方形，∴ AD ＝AB ，∵四边形 ABPM 为矩形，∴ AB＝ PM ，∴AD ＝PM ，∵DF ⊥PG ，∴∠ DHG ＝90°，∴∠ GDH ＋∠ DGH ＝90°， ∵∠ MGP ＋∠ MPG ＝ 90°，∴∠ GDH ＝∠ MPG ，在△ ADF 和△ MPG 中，∠ A ＝∠GMP ，AD ＝PM ，∴△ ADF ≌△ MPG (ASA )，∴ DF ＝PG ，而 PD ＝PG ，∴∠ A DF ＝∠ MPG ，DF＝PD，∵线段 PG绕点 P 逆时针旋转90°获得线段 PE，∴∠ EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且 DF＝PE，∴四边形 PEFD为平行四边形，∵ DF＝PD，∴四边形 PEFD 为菱形； (2) 四边形PEFD是菱形．原因以下：作PM⊥DG于M，如图2，与 (1) 同样同理可证得△ADF≌△MPG，∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段 PG绕点 P 逆时针旋转90°获得线段 PE，∴∠ EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且 DF＝PE，∴四边形 PEFD为平行四边形，∵ DF＝PD，∴四边形 PEFD为菱形．第 11 题图12．(1)15(2) 如图 3，过点A 作 AH⊥BC于点 H，∵∠ C＝30°，12221∴AH＝2AC，∵ AD＝2 AC，∴ DH＝AD－AH＝2AC，∴ AH＝DH，∴∠HAD＝45°，∴∠HAC′＝∠HAD＋∠DAC′＝90°，∴HA⊥AC′，∴BC ∥A′C′；(3)如图4，过点 D 作 DH⊥AC，垂足为 H，∵ AB＝2，∴166 AC＝A′C′＝2× 3＝6，∴HC′＝DH＝2A′C′＝2，∴HC＝2 32326× 3＝2，因此 m的值为： HC－HC′＝2－2 .第12 题图13．(1) ∵正方形ABCD和正方形DEFG，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠ EDG＝90°，∴∠ ADE＝∠ CDG，在△ AED和△ CGD中，∵ AD＝CD，∠ ADE＝∠ CDG，DE＝DG，∴△ ADE≌△ CDG，∴ AE＝CG，∴ AE∶CG＝1∶1；(2) 建立．∵正方形ABCD和正方形 DEFG，∴ AD＝CD，DE＝DG，∠ ADC＝∠ EDG＝90°，∴∠ ADE＝∠ CDG，在△ AED和△ CGD 中，∵AD＝CD，∠ADE＝∠ CDG，DE＝DG，∴△ ADE≌△ CDG，∴AE＝CG，∴AE∶CG＝1∶1；(3)∵矩形 ABCD和矩形 DEFG，∴∠ ADC＝∠ EDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∵AD 4CD 6AD CD ＝＝2，＝＝2，∴＝，∴△DE 2DG 3DE DGADE∽△ CDG，∴ AE∶CG＝AD∶DC＝4∶6＝2∶3.。

2019 初三中考数学复习三角形内角和定理专题复习练习1. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )A．125° B．120° C．140° D．130°2. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠13. 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A．180° B．360° C．540° D．无法确定4. 如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )A．110° B．80° C．70° D．60°6. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )7. 如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数为( )A．53° B．63° C．73° D．83°8. 已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．35° C．40° D．45°9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A．40° B．35° C．30° D．25°10. 如图，a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是( )A．∠1＋∠5＋∠4＝180° B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180° D．∠1＋∠6＝∠211. 如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF ＝____度．12. 如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝______．13. 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____度．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于_______．16．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝____°.17. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．18. 如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角．19. 在三角形ABC 中，∠BAE ＝12∠BAC ，∠C>∠B ，且FD ⊥BC 于D 点．(1)试推出∠EFD ，∠B ，∠C 的关系；(2)当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题(1)推导的结论还成立吗？请直接写出结论．20. 如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 与BA 的延长线相交于点E ，求证：∠BAC>∠B.21. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，试说明：∠BOC ＝90°＋12∠A.参考答案1---10 DBBCC DBCAD11. 3512. 60°13. 4514. 30°15. 360°16. 8017. 解：在△ABN中，∠A＋∠B＋∠1＝180°，在△CDP中，∠C＋∠D＋∠3＝180°，在△EFM中，∠E ＋∠F＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠1＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠3＋∠2＝540°，在△MNP中，∠5＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝360°18. 解：①当110°是顶角的外角时，则底角为110°×12＝55°，②当110°是底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，即它的底角是55°或70°19. 解：(1)∠EFD＝90°－∠FED＝90°－(∠B＋∠BAE)＝90°－∠B－12∠BAC＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°＋12∠B＋12∠C＝12(∠C－∠B)(2)在(1)中推导的结论成立，∠EFD＝12(∠C－∠B)20. 证明：∵∠BAC>∠ACE，∠DCE>∠B，又∠ACE＝∠DCE，∴∠BAC>∠B21. 证明：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由( )个▲组成．A ．30B ．31C ．32D ．332．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 为AD 中点，分别以B 、E 为圆心，以AB 、AE 为半径画弧，两弧交于点F ，连接AF 、BE ，则AF 的长为（ ）A.125B.135C.245D.53．如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B ＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD 是菱形，这个条件是A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④4．如图，在等边ABC △中，已知6AB =，N 为AB 上一点，且2AN =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM MN +的最小值是( )A ．8B ．10C ．D ．5．下列运算中，正确的是（ ）A.B.C.D.6．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x （单位：环）．下列说法中正确的是（ ） A ．若这5次成绩的中位数为8，则x ＝8 B ．若这5次成绩的众数是8，则x ＝8 C ．若这5次成绩的方差为8，则x ＝8 D ．若这5次成绩的平均成绩是8，则x ＝87．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A. B. C. D.8．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( ) A ．16B ．13C ．23D ．1410．下列图像中既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.11．下列运算正确的是：（ ） A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．a 10÷a 2＝a 5C ．（2a 2b 3）3＝8a 6b 9D ．2a 2•3a 3＝6a 612．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是112-＝﹣1，﹣1的差倒数是()111--＝12，已知a 1＝﹣13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，以此类推，a 2009的值为( ) A ．﹣13B ．34C ．4D ．43二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l：y＝15x+b经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…B n(n，y n) (n为正整数)，依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1，0)和A2(x2，0)，第二个抛物线与x轴交点A2(x2，0)和A3(x3，0)，以此类推，若x1＝d(0＜d＜1)，当d为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，则CD的长为_____．15．﹣6的相反数等于_____．16．如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2的平均数是_____ 17．在计算器上，按照下面如图的程序进行操作：如表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键分别是_____、_____．18．使分式有意义的x的取值范围是_____．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB，A（0，﹣3），B（﹣2，0）．将△OAB先绕点B 逆时针旋转90°得到△BO1A1，再把所得三角形向上平移2个单位得到△B1A2O2；（1）在图中画出上述变换的图形，并涂黑；（2）求△OAB在上述变换过程所扫过的面积．20．如图，在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E，CF平分∠ACD交AD于F．（1）试说明四边形AECF为平行四边形；（2）探索：当矩形ABCD的边AB和BC满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形，并说明理由．21．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）根据图中信息求出m=______，n=______；（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？22．点A（－1，0）是函数y＝x2－2x＋m2－4m的图像与x轴的一个公共点．（1）求该函数的图像与x轴的另一个公共点的坐标以及m的值；（2）将该函数图像沿y轴向上平移个单位后，该函数的图像与x轴只有一个公共点．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一点，且AE⊥BD，垂足为点F，∠DAE＝2∠BAE．（1）求证：BF：DF＝1：3；（2）若四边形EFDC的面积为11，求△CEF的面积．24．八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了如下的统计图1和图2，请根据图中相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）图1中m 的值为____________，共有____________名同学参与问卷调查； （Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）全校共有学生1500人，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 25．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，点D 与点B 在AC 同侧，DAC BAC ∠>∠，且DA DC =，过点B 作//BE DA 交DC 于点,E M 为AB 的中点，连接,MD ME .（1）如图1，当90ADC ∠=时，线段MD 与ME 的数量关系是 ；（2）如图2，当ADC 60∠=时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，当ADC α∠=时，求MEMD的值.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．1120、1320、32014．2 15．6 16．717．＋，１18．x≠1．三、解答题19．（1）详见解析；（2）139 4π+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格结构找出点A、O的对应点A1、O1，再与点B顺次连接即可得到△BO1A1；再根据平移的性质，结合网格结构找出点B、A1、O1的对应点B1、A2、O2，然后顺次连接即可得解；（2）结合图形不难看出，变换过程所扫过的面积为扇形BAA1，与梯形A1A2O2B的面积的和，然后根据扇形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可求解．【详解】（1）如图所示；（2）在Rt△AOB中，AB==∴扇形BAA1134π=，梯形A1A2O2B的面积＝12×（2+4）×3＝9，∴变换过程所扫过的面积＝扇形BAA1的面积+梯形A1A2O2B的面积＝134π+9．【点睛】本题考查了利用旋转变换与平移变换作图，以及扇形的面积计算，熟悉网格结构找出对应点的位置是解题的关键．20．（1）见解析；（2）当BC=时，四边形AECF为菱形.【解析】【分析】（1）先证明EAC FCA∠=∠，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证.（2）逆向推理，当四边形AECF为菱形时，则有EA=EC，进而可得到∠EAC=∠ACE=30°，所以可知BC=.【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,AB∥CD，∴BAC DCA∠=∠ ,∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，∴12EAC BAC∠=∠,12FCA DCA∠=∠,∴EAC FCA∠=∠,∴AE∥CF,又AF∥CE,∴四边形AECF为平行四边形.（2）当BC=时，四边形AECF为菱形.理由如下：在Rt△ABC中，BC=，则∠BAC=60°，∠BCA=30°，∵AE平分∠BAC，∴12EAC BAC∠=∠=30°，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴EA=EC,又由（1）已证，四边形AECF为平行四边形，∴四边形AECF为菱形.即，当BC=时，四边形AECF为菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键.21．（1）100，35 ；（2）见解析；（3）800.【解析】【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案．【详解】解：（1）∵被调查的总人数m＝10÷10%＝100人，∴支付宝的人数所占百分比n%＝35100×100%＝35%，即n＝35，故答案为：100，35；（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为40100×100%＝40%，补全图形如下：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%＝800人． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（1）另一个公共点的坐标是（3，0）．m 1＝1，m 2＝3．（2）4． 【解析】 【分析】（1）求出二次函数对称轴，根据二次函数图像的对称性可得与x 轴的另一个交点坐标，将x ＝－1，y ＝0代入函数解析式可求出m ；（2）求出函数图像顶点坐标，根据函数图像平移规律即可得到平移方式. 【详解】解：（1）在函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 中， ∵a ＝1，b ＝－2，∴该二次函数图像的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线． ∵点A （－1，0）是函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 的图像与x 轴的一个公共点， 根据二次函数图像的对称性，∴该函数与x 轴的另一个公共点的坐标是（3，0）．将x ＝－1，y ＝0代入函数y ＝x 2－2x ＋m 2－4m 中，得0＝3＋m 2－4m ． 解这个方程，得m 1＝1，m 2＝3． （2）函数解析式为：y ＝x 2－2x －3， 当x=1时，y=－4，∴将该函数图像沿y 轴向上平移4个单位后，该函数的图像与x 轴只有一个公共点. 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性以及对称轴的求法是解题关键. 23．（1）详见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°，又AE ⊥BD ，得到tan 30BF AF ︒==，DFtan 60AF︒== （2）根据已知条件得到△BEF ∽△BDC ，求得∠ABF ＝60°，得到∠FBE＝30°，求得BF BE 2=，BE BF =，由于BD ＝4BF，得到BE BD =，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∠DAE ＝2∠BAE ， ∴∠DAE ＝60°，∠BAE ＝30°， 又∵AE ⊥BD ，∴tan 303BF AF ︒==，DF tan 60AF ︒== ∴BF ：DF ＝1：3；（2）解：∵∠FBE ＝∠CBD ，∠BFE ＝∠DCB ， ∴△BEF ∽△BDC ， ∵∠BAE ＝30°， ∴∠ABF ＝60°， ∴∠FBE ＝30°，∴BF BE 2=，∴BE BF 3=， ∵BD ＝4BF ，∴BE BD =， ∴BFEBCD S S ∆=112BFE B E EF FDC S S S ∆+=四边形，∵S 四边形EFDC ＝11， ∴S △BEF＝1， ∵6BFBE BC BD ==，BF BE 2=， ∴13=BE BC ， ∴12BE EC =， ∴S △CEF ＝1×2＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，特殊角的三角函数值，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．24．（Ⅰ）41，100；（Ⅱ）平均数是2.54, 众数为2,中位数为2；（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：615 【解析】 【分析】（1）用1减去1本，3本，4本所占的比例减去即可；用阅读一本书的人数除以它占的比例即可求出总数. （2）平均数=书的总数总人数，阅读课外书的本书的人数的本书即为众数，将涉及到的本书从小到大排列最中间的就是中位数；（3）用总人数乘以样本中“阅读2本课外书”人数所占百分比可得 ． 【详解】（Ⅰ）∵m%=1-15%-10%-34%=41%, ∴m=41; 10÷10%=100， ∴总人数是100人； （Ⅱ）∵1014123431542.54100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，∴这组数据的平均数是2.54.∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2.∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有2222+=， ∴这组数据的中位数为2.（Ⅲ）估计这1500名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：411500615100⨯=（本）. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用及平均数，众数和中位数的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 25．(1) MD ME =;(2)见解析：（3）tan 2α.【解析】 【分析】（1）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME ，进而得出AF=BE ，MF=ME ，又由DA=DC ，∠ADC=90°，得出∠BED=∠ADC=90°，∠AC D=45°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=45°，得出CE=BE=AF ，DF=DE ，得出DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC ，∠MDE=45°，即可得出MD=ME.（2）首先延长EM 交AD 于F ，由BE ∥DA ，得出∠FAM=∠EBM ，AM=BM ，∠AMF=∠BME ，得出△AMF ≌△BME，进而得出AF=BE，MF=ME，又由DA=DC，∠ADC=60°，得出∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，再根据∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC=30°，得出CE=BE=AF，DF=DE，得出DM⊥EF，DM平分∠ADC，∠MDE=30°，在Rt△MDE中，即可得出MD=（3）首先延长EM交AD于F，由BE∥DA，得出∠FAM=∠EBM，AM=BM，∠AMF=∠BME，得出△AMF≌△BME，进而得出AF=BE，MF=ME，再延长BE交AC于点N，得出∠BNC=∠DAC，又由DA=DC，得出∠DCA=∠DAC=∠BNC，∠ACB=90°，得出∠ECB=∠EBC，CE=BE=AF，DF=DE，从而得出DM⊥EF，DM平分∠ADC，在Rt△MDE中，即可得出MEMD的值.【详解】（1）MD ME=．如图，延长EM交AD于F，//BE DA FAM EBM∴∠=∠，，AM BM AMF BME=∠=∠，，AMF BME∴∆∆≌AF BE MF ME∴==，90DA DC ADC=∠=︒，，9045BED ADC ACD∴∠=∠=︒∠=︒，，9045ACB ECB∠=︒∴∠=︒，，45EBC BED ECB ECB∴∠=∠∠=︒=∠﹣，CE BE AF CE∴=∴=，，DA DC DF DE=∴=，，DM EF DM∴⊥，平分45ADC MDE∠∴∠=︒，，MD ME∴=，故答案为：MD ME=；（2）MD=，理由：如图，延长EM交AD于F，//BE DA FAM EBM∴∠=∠，AM BM AMF BME =∠=∠，，AMF BME AF BE MF ME ∴∆∆∴==≌，，，60DA DC ADC =∠=︒，，6060BED ADC ACD ∴∠=∠=︒∠=︒，，9030ACB ECB ∠=︒∴∠=︒，，30EBC BED ECB ECB ∴∠=∠∠=︒=∠﹣， CE BE AF CE ∴=∴=，，DA DC DF DE =∴=，， DM EF DM ∴⊥，平分ADC ∠，30MDE ∴∠=︒，在Rt MDE ∆中，3ME tan MDE MD ∠==，MD ∴=．（3）如图，延长EM 交AD 于F ，//BE DA FAM EBM ∴∠=∠，，AM BM AMF BME =∠=∠，，AMF BME ∴∆∆≌，AF BE MF ME ∴==，，延长BE 交AC 于点,N BNC DAC ∴∠=∠，DA DC DCA DAC =∴∠=∠，， BNC DCA ∴∠=∠，90ACB ECB EBC ∠=︒∴∠=∠，， CE BE AF CE DF DE ∴=∴=∴=，，，DM EF DM ∴⊥，平分ADC ∠， 2ADC MDE αα∠=∴∠=，，在Rt MDE ∆中，tan tan 2ME MDE MD α=∠=． 【点睛】此题考查了平行的性质，等角互换，三角函数的问题，熟练运用，即可解题.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，数轴上A 、B 两点分别对应数a 、b ，则下列各式正确的是（ ）A.ab ＞0B.a+b ＞0C.|a|﹣|b|＞0D.a ﹣b ＞02．如图所示，点A 是双曲线y=1x（x ＞0）上的一动点，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，作AC 的垂直平分线双曲线于点B ，交x 轴于点D ．当点A 在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变小C ．由大变小再由小变大D ．由小变大再由大变小3．关于x 的不等式组-0,10x a x >⎧⎨->⎩的整数解共有3个,则关于x 的一元二次方程-ax 2+2(a+1)x+1-a=0根的存在情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定4．如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的垂直平分线交BC 于点E,交BD 于点F,连接CF.若∠ACF=2∠ABD,∠BFC=132°,则cosA 的值为 ( )A ．12B C D ．5．13的倒数是（ ） A.13B.3C.3-D.13-6．下列命题错误的是（ ） A ．平分弦的直径垂直于弦 B ．三角形一定有外接圆和内切圆 C ．等弧对等弦D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心7．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°8．若55+55+55+55+55＝25n ，则n 的值为（ ） A ．10B ．6C ．5D ．39．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上任意一点，点D 是AC 中点，OD 交AC 于点E ，BD 交AC 于点F ，若BF ＝1.25DF ，则tan ∠ABD 的值为（ ）A ．23B ．3C ．35D ．410．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定11．下列计算正确的是（ ） A ．3362a a a +=B ．236()a a -=C ．623a a a ÷=D ．538a a a ⋅=12．如图所示几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.二、填空题13．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，BC ＝6，CD ＝2，tanA ＝34．点E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥AD 交边AB 于点F ．将△BEF 沿直线EF 翻折得到△GEF ，当EG 过点D 时，BE 的长为_____．14．不等式组29611x xx k+>+⎧⎨-<⎩的解集为2x<，则k的取值范围为_____．15．方程3223x x+=--的解是_____．16．二次函数y＝12（x-2）2+3的顶点坐标是_____．17．从-2，-1，0，1这四个数中任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的一次项系数k 和常数项b．那么一次函数y=kx+b图象不经过第三象限的概率为 ____．18．计算的结果是_____．三、解答题19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程x2﹣4x+3＝0 立根方程，方程x2﹣2x﹣3＝0 立根方程；（请填“是”或“不是”）（2）请证明：当点（m，n）在反比例函数y3x=上时，关于x的一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；（3）若方程ax2+bx+c＝0是立根方程，且两点P（3，2）、Q（6，2）均在二次函数y＝ax2+bx+c上，求方程ax2+bx+c＝0的两个根．20．在△ABC中，AC＝4，BC＝2，点D在射线AB上，在构成的图形中，△ACD为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则CD的长是_____．21．先化简，再求值：22222244x y x yx y x xy y--÷-+++，其中2x=-，y=12xx-1．22．如图，∠BCA＝90°，点O在△ABC的斜边AB上，以OB为半径的⊙O经过点B，与AC相切于点D，连结BD．（1）求证；BD平分∠ABC；（2）若∠ABC＝60°，OB＝2，计算△ABC的面积．23．111(9)(9)339x x x x⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦24．服装店准备购进甲乙两种服装共100件，费用不得超过7500元.甲种服装每件进价80元，每件售价120元；乙种服装每件进价60元，每件售价90元. （Ⅰ）设购进甲种服装x 件，试填写下表. 表一表二（Ⅱ）给出能够获得最大利润的进货方案，并说明理由. 25．已知AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上的点，50A ∠=，70B ∠=，连接DO ，CO ，DC .（Ⅰ）如图①，求OCD ∠的大小；（Ⅱ）如图②，分别过点C ，D 作OC ，OD 的垂线，相交于点P ，连接OP ，交CD 于点M .已知O的半径为2，求OM 及OP 的长.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．6512. 14．k≥115．135x =16．（2，3） 17．13. 18．3 三、解答题19．（1）是，不是；（2）见解析；（3）x 1＝274, x 2=94【解析】 【分析】（1）分别解方程x 2-4x+3=0与x 2-2x-3=0，求出它们的根，根据“立根方程”的定义，判断它们是不是立根方程．（2）由点（m ，n ）在反比例函数y=3x的图象上，得到mn=3，解方程mx 2+4x+n=0求得x 1与x 2的值，判断是不是立根方程．（3）由方程ax 2+bx+c=0是立根方程，得到x 1=3x 2，由纵坐标相同的两点P （3，2）、Q （6，2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，根据抛物线的对称轴得到x 1+x 2＝9，从而求出方程的两个根． 【详解】解：（1）解方程x 2-4x+3=0，得：x 1=3，x 2=1， ∵x 1=3x 2，∴方程x 2-4x+3=0是立根方程； 解方程x 2-2x-3=0，得：x 1=3，x 2=-1， ∵x 1=-3x 2，∴方程x 2-2x-3=0不是立根方程． 故答案为：是，不是．（2）∵点（m,n ）在反比例函数3y x=上，所以3mn =用求根公式解方程得：x ==x 1＝﹣3m ，x 2＝﹣1m， ∴x 1＝3x 2，当点（m ，n ）在反比例函数y ＝3x上时，一元二次方程mx 2+4x+n ＝0是立根方程； （3）∵方程ax 2+bx+c ＝0是立根方程，∴设x 1＝3x 2， ∵P （3，2），Q （6，2）在抛物线y ＝ax 2+bx+c 上，∴抛物线的对称轴123622x x x ++==， ∴x 1+x 2＝9，∴3x 2+x 2＝9，∴x 2=94，∴x 1＝3x 2＝274．所以方程ax 2+bx+c ＝0的两个根为：x 1＝274, x 2=94【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“立根方程”的定义是解题的关键．20或2【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC时，设CD=x，BD=y．②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC=AD=4，△DCB∽DAC．设CD=x，BD=y，分别构建方程组求解．【详解】①如图1中，当点D在线段AB上，DC＝AD，且△BCD∽△BAC时，设CD＝x，BD＝y，则有：BC CD BD AB AC BC==，∴224y xx y==+，解得：x y∴CD．②如图2中，当点D在AB的延长线上时，AC＝AD＝4，△DCB∽DAC．设CD＝x，BD＝y，则：CD BC DB DA AC DC==，∴244x yx ==，解得x＝2，y＝1，∴CD＝2，综上所述，满足条件的CD的值为3或2．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到方程组是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题．21．﹣xx y+；4﹣．【解析】 【分析】此题考查分式化简求值，解题关键在于将x ，y 的值代入化简后的式子求值． 【详解】原式＝2x y x y -+×2(2)()()x y x y x y +-+﹣2＝﹣x x y +；当x ＝2，y ＝﹣1时，4﹣．【点睛】本题考查分式先化简再求值，解题关键在于分母有理化时要仔细．22．（1）详见解析；（2 【解析】 【分析】（1）连接OD ，由AC 与圆相切，得到∠ODA 为直角，再由∠C 为直角，利用同位角相等两直线平行，得到OD 与BC 平行，由两直线平行内错角相等，及等边对等角，等量代换即可得证；（2）由∠ABC 的度数，求出∠A 的度数，根据OD 的长，利用锐角三角函数定义求出OA 的长，由OA+OB 求出AB 的长，再利用锐角三角函数定义求出BC 与AC 的长，即可确定出三角形ABC 面积． 【详解】解：（1）如图，连结OD ，∵∠BCA ＝90°，点O 在△ABC 的斜边AB 上，以OB 为半径的⊙O 经过点B ，与AC 相切于点D ，∴∠ODA ＝∠C ＝90°，OB ＝OD ， ∴BC ∥OD ，∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠CBD ＝∠ODB ， ∴∠OBD ＝∠CBD ， ∴BD 平分∠ABC ；（2）∵∠ABC ＝60°，OB ＝2，且∠ODA ＝∠C ＝90°． ∴∠A ＝90°﹣60°＝30°，OD ＝OB ＝2． ∴OA ＝2sin30︒＝4， ∴AB ＝2+4＝6，∴BC ＝6sin30°＝3，AC ＝6cos30°＝，∴S △ABC ＝132⨯⨯ ．【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 23．x=0 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答. 【详解】111(9)(9)339x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦193(3)93x x x x --+=- 9299x x x --=-60x =0x =【点睛】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解题步骤是关键.注意：单个的数字或字母去分母时不要漏乘.24．（Ⅰ）80x ,4800，600060x -,400，40x ,300030x -;（Ⅱ）购进甲种服装75件，乙种服装25件时，可获得最大利润,理由见解析 【解析】 【分析】（1）甲服装的件数乘以进货价即为购进甲种服装所用费用，乙的进货价乘以（100-甲的件数）即为购进乙种服装所用费用;利润=（售价-进货价）×件数;（2）设购进甲种服装x 件，根据费用不得超过7500元，求出x 的范围，然后求出利润关于x 的函数关系式，再由函数的性质求出最值即可. 【详解】 （Ⅰ）表一表二（Ⅱ）设购进甲种服装件，由题意可知：8060(100)7500x x +-≤解得：75x ≤.购进甲种服装x 件，总利润为w 元，075x ≤≤，4030(100)103000w x x x =+-=+，∵100>，w 随x 的增大而增大， ∴当75x =时，w 有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件时，可获得最大利润. 【点睛】本题考查一次函数的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.25．（Ⅰ）60OCD ∠=︒；（Ⅱ）=OM OP =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出AOD ∠和BOC ∠的度数，从而求出DOC 60∠=︒，然后证出COD 是等边三角形，即可得出OCD ∠的大小．（Ⅱ）先根据切线长定理得出OP CD ⊥，等腰三角形的性质得出COP 30∠=︒，再利用解直角三角形分别求出OM 和OP 即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵OA OD =， ∴ODA A 50∠∠==︒，∴AOD 180A ODA 180505080∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒. ∵OB OC =，∴OCB B 70∠∠==︒.∴BOC 180B OCB 180707040∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒. ∵AB 是O 的直径，∴DOC 180AOD BOC 180804060∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒. ∵OC OD =,∴COD 是等边三角形. ∴OCD 60∠=︒；（Ⅱ）∵分别过点C,D 作OC,OD 的垂线，相交于点P ， ∴PC,PD 是O 的切线，∴PC PD,DPO CPO ∠∠==.∴OP CD ⊥.在Rt OCM 中，OMsin OCD OC∠=，∴OM OCsin OCD 2sin602∠==︒==∵OC OD,OP CD =⊥，∴11COP COD 603022∠∠==⨯︒=︒ 在Rt OCP 中，OCcos COP OP∠=.∴OC 2OP cos COP cos30∠====︒. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、切线的判定以及切线长定理等知识，熟练掌握相关的定理定义是解题的关键.。

专题提升九 以画图为背景的计算与证明热点解读所谓以画图为背景的问题，主要指能依据语言的描述画出图形，懂得描述图形的运动和变化，并利用图形描述和分析问题，研究图形特性．常与以下的内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等．解答这种问题的方法是，挖掘条件、识破图形，通过添加辅助线，还原基本图形，从而打通解决问题的通道．这类问题是热点考题之一．母题呈现(2017·齐齐哈尔)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是____________________．对点训练1．数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和2，数轴上点C 在点A 的左侧，到A 点的距离等于点B 到点A 的距离，则点C 所表示的数为( )A ．－2＋ 2B ．－1＋2C ．3－ 2D ．－2－ 22．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝12BC ，则△ABC 底角的度数为( ) A ．45° B ．75 C ．45°或75°或15° D ．45°或75°3．(2015·德州模拟)一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米( )A ．50B ．50或40C ．50或40或30D ．50或30或204．(2016·杭州)在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 .5．(2017·宁波模拟)直径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝5cm ，则弦AB 所对的圆周角是 .6．如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 .7．(2015·红安模拟)若直线y ＝m (m 为常数)与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 22（x ≤2），4x （x ＞2）的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是 .8．(2015·杭州)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P (1，t )在反比例函数y ＝2x 的图象上，过点P 作直线l 与x 轴平行，点Q 在直线l 上，满足QP ＝OP ，若反比例函数y ＝k x的图象经过点Q ，则k ＝ .9．(2017·舟山模拟)在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD ·DC ，则∠BCA 的度数为 .10．(2015·北京市朝阳区模拟)如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 .11．(2017·营口)在矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连结FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为____________________．12．(2015·江阴)在平面直角坐标系中，已知点A (4，0)、B (－6，0)，点C 是y 轴上的一个动点，当∠BCA ＝45°时，点C 的坐标为 .13．用直尺和圆规作△ABC ，使BC ＝a ，AC ＝b ，∠B ＝35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是 .14．已知点P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 是⊙O 上的任意一点(不与A ，B 重合)．若∠APB ＝50°，求∠ACB 的度数．参考答案专题提升九 以画图为背景的计算与证明【母题呈现】10cm ，273cm ，413cm【对点训练】1.D 2.C 3.C 4.45°或105° 5.30°或150° 6.33或12 7.0＜m ＜2 8.2＋25或2－2 59．65°或115° 10.8或10 11.3或612．(0，12)或(0，－12) 13.b a＝sin35°或b ≥a14.如图，连结OA 、OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.∵∠APB ＝50°.∴在四边形PAOB 中，∠AOB ＝360°－∠PAO －∠APB －∠PBO ＝130°.①若点C 在优弧AB 上，则∠ACB ＝12∠AOB ＝65°；②若点C 在劣弧AB 上，则∠ACB ＝12×(360°－130°)＝115°.∴∠ACB 的度数为65°或115°.第14题图。

专题三 5大数学思想方法第二节 数形结合思想类型六 数形结合在实数中的应用)(2018·山东青岛中考)如图，点A 所表示的数的绝对值是( )A ．3B ．－3C.13D ．－13【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【自主解答】5．(2018·四川成都中考)实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d6．(2018·山东枣庄中考)实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是( )A ．|a|＞|b|B ．|ac|＝acC ．b ＜dD ．c ＋d ＞0类型七 数形结合在概率中的应用(2018·江苏连云港中考)汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．(1)若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是________；(2)现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？ 【分析】(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求． 【自主解答】7．(2018·浙江湖州中考)某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( ) A.19B.16C.13D.238．(2018·浙江丽水中考)如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A.16B.14C.13D.712类型八 数形结合在几何中的应用(2018·陕西中考)问题提出(1)如图1，在△ABC 中，∠A＝120°，AB ＝AC ＝5，则△ABC 的外接圆半径R 的值为________． 问题探究(2)如图2，⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，M 是AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求PM 的最大值． 问题解决(3)如图3所示，AB ，AC ，BC ︵是某新区的三条规划路，其中AB ＝6 km ，AC ＝ 3 km ，∠BAC ＝60°，BC ︵所对的圆心角为60°，新区管委会想在BC ︵路边建物资总站点P ，在AB ，AC 路边分别建物资分站点E ，F ，也就是，分别在BC ︵、线段AB 和AC 上选取点P ，E ，F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE ，EF 和FP.为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE ，EF ，FP 之和最短，试求PE ＋EF ＋FP 的最小值．(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)【分析】(1)设O 是△ABC 的外接圆的圆心，易证△ABO 是等边三角形，所以AB ＝OA ＝OB ＝5； (2)当PM⊥AB 时，此时PM 最大，连结OA ，由垂径定理可知AM ＝12AB ＝12，再由勾股定理可知OM ＝5，所以PM ＝OM ＋OP ＝18；(3)设连结AP ，OP ，分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作出P 关于AB 的对称点为M ，P 关于AC 的对称点为N ，连结MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连结PE ，PF ，所以AM ＝AP ＝AN ，设AP ＝r ，易求得MN ＝3r ，所以PE ＋EF ＋PF ＝ME ＋EF ＋FN ＝MN ＝3r ，即当AP 最小时，PE ＋EF ＋PF 可取得最小值． 【自主解答】9．(2018·贵州贵阳中考)如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连结OM，PM.(1)求∠OMP的度数；(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．类型九数形结合在不等式中的应用(2018·浙江舟山中考)已知，点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.(1)判断顶点M是否在直线y＝4x＋1上，并说明理由．(2)如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5＞－(x－b)2＋4b＋1，根据图象，写出x 的取值范围．(3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y 1)，D(34，y 2)都在二次函数图象上，试比较y 1与y 2的大小．【分析】(1)根据顶点式表达式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数表达式检验，可得答案；(2)根据待定系数法可得二次函数的表达式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；(3)根据解方程组可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质可得答案． 【自主解答】10．(2018·江苏连云港中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x的图象交于A(4，－2)，B(－2，n)两点，与x 轴交于点C.(1)求k 2，n 的值；(2)请直接写出不等式k 1x ＋b ＜k 2x的解集；(3)将x 轴下方的图象沿x 轴翻折，点A 落在点A′处，连结A′B，A′C，求△A′BC 的面积．类型十 数形结合在函数中的应用(2018·四川达州中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc＜0；②9a＋3b ＋c ＞0；③若点M(12，y 1)，点N(52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④－35＜a ＜－25.其中正确结论有( )A．1个B．2个 C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【自主解答】在函数问题中，借助图形理清解题思路，找出题目中的数量关系，从而解决问题，所以，函数及其图象本身就是数形结合的典范．数形结合思想在数学中应用还有很多方面，在此不一一列举．“数缺形时少直观；形少数时难入微”，把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．11．(2018·天津中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3；其中，正确结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案类型六【例6】 |－3|＝3.故选A. 变式训练 5．D 6.B 类型七 【例7】 (1)12(2)画树状图如下．共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7， ∴甲队最终获胜的概率＝78.变式训练 7．C 8.B 类型八【例8】 (1)如图，设O 是△ABC 的外接圆的圆心， ∴OA＝OB ＝OC.∵∠A＝120°，AB ＝AC ＝5，∴△ABO 是等边三角形， ∴AB＝OA ＝OB ＝5.(2)当PM⊥AB 时，此时PM 最大，如图，连结OA.由垂径定理可知AM ＝12AB ＝12.∵OA＝13，∴由勾股定理可知OM ＝5， ∴PM＝OM ＋OP ＝18.(3)如图，连结AP ，OP ，分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，作出P 关于AB 的对称点为M ，P 关于AC 的对称点为N ，连结MN ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，连结PE ，PF ，∴AM＝AP ＝AN.∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，∴∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°， ∴∠MAN＝120°，∴M，P ，N 在以A 为圆心，AP 为半径的圆上． 设AP ＝r ，易求得MN ＝3r. ∵PE＝ME ，PF ＝FN ，∴PE＋EF ＋PF ＝ME ＋EF ＋FN ＝MN ＝3r ， ∴当AP 最小时，PE ＋EF ＋PF 可取得最小值． ∵AP＋OP≥OA，∴AP≥OA－OP ，即点P 在OA 上时，AP 可取得最小值． 如图，设AB 的中点为Q ，∴AQ＝AC ＝3.∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC ＝AC ＝BQ ＝3， ∴∠ABC＝∠QCB＝30°，∴∠ACB＝90°， ∴由勾股定理可知BC ＝3 3.∵∠BOC＝60°，OB ＝OC ＝33， ∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC＝60°， ∴∠ABO＝90°，∴由勾股定理可知OA ＝37. ∵OP＝OB ＝33，∴AP＝r ＝OA －OP ＝37－33， ∴PE＋EF ＋PF ＝MN ＝3r ＝321－9， ∴PE＋EF ＋PF 的最小值为(321－9)km. 变式训练9．解：(1)∵△OPE 的内心为M ， ∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°－∠MPO－∠MOP＝180°－12(∠EOP＋∠OPE)．∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°－12(∠EOP＋∠OPE)＝180°－12(180°－90°)＝135°.(2)如图，连接CM ，过C ，M ，O 三点作⊙O′，连O′C，O′O， 在优弧CO 取点D ，连DA ，DO. ∵OP＝OC ，OM ＝OM ， 而∠MOP＝∠MOC， ∴△OPM≌△OCM， ∴∠CMO＝∠PMO＝135°，∴点M 在以OC 为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(OMC ︵和ONC ︵)． 点M 在扇形BOC 内时，∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°－135°＝45°， ∴∠CO′O＝90°，而OA ＝2 cm ， ∴O′O＝22OC ＝22×2＝2， ∴弧OMC 的长＝90π×2180＝22π(cm)．同理点M 在扇形AOC 内时，同上的方法得ONC ︵的长为22π cm ，∴内心M 所经过的路径长为2×122π＝2π (cm)．类型九【例9】 (1)点M 为二次函数y ＝－(x －b)2＋4b ＋1图象的顶点， ∴M 的坐标是(b ，4b ＋1)．把x ＝b 代入y ＝4x ＋1得y ＝4b ＋1，∴点M 在直线y ＝4x ＋1上．(2)直线y ＝mx ＋5交y 轴于点B ，∴B 点坐标为(0，5)，又B 在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b ＋1＝5，解得b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－(x －2)2＋9.当y ＝0时，－(x －2)2＋9＝0，解得x 1＝5，x 2＝－1，∴A(5，0)．由图象得当mx ＋5＞－(x －b)2＋4b ＋1时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞5.(3)如图，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于F ，A(5，0)，B(0，5)得直线AB 的表达式为y ＝－x ＋5，联立EF ，AB 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215，∴点E(45，215)，F(0，1)．点M 在△AOB 内，1＜4b ＋1＜215， ∴0＜b ＜45. 当点C ，D 关于抛物线的对称轴对称时，b －14＝34－b ，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上． 综上所述，①当0＜b ＜12时，y 1＞y 2，②当b ＝12时，y 1＝y 2，③当12＜b ＜45时，y 1＜y 2.变式训练10．解：(1)将A(4，－2)代入y ＝k 2x 得k 2＝－8，∴y＝－8x .将(－2，n)代入y ＝－8x 得n ＝－82，∴n＝4，∴k 2＝－8，n ＝4.(2)根据函数图象可知－2＜x ＜0或x ＞4.(3)将A(4，－2)，B(－2，4)代入y ＝k 1x ＋b 得k 1＝－1，b ＝2， ∴一次函数的关系式为y ＝－x ＋2，与x 轴交于点C(2，0)， ∴图象沿x 轴翻折后得A′(4，2)，S △A′BC ＝(4＋2)×(4＋2)×12－12×4×4－12×2×2＝8， ∴△A′BC 的面积为8.类型十【例10】 ①由开口可知a ＜0，∴对称轴x ＝－b 2a ＞0，∴b＞0，由抛物线与y 轴的交点可知c ＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x 轴交于点A(－1，0)，对称轴为x ＝2， ∴抛物线与x 轴的另外一个交点为(5，0)，∴x＝3时，y ＞0，∴9a＋3b ＋c ＞0，故②正确；③由于12＜2＜52，且(52，y 2)关于直线x ＝2的对称点的坐标为(32，y 2)，∵12＜32，∴y 1＜y 2，故③正确；④∵－b 2a ＝2，∴b＝－4a.∵x＝－1，y ＝0，∴a－b ＋c ＝0，∴c＝－5a. ∵2＜c ＜3，∴2＜－5a ＜3，∴－35＜a ＜－25，故④正确．故选D.变式训练11．C。

方法技巧专题(五）转化思想训练【方法解读】转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程。

常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化,多元向一元转化，高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等。

1.[2018·铜仁] 计算+++++…+的值为（)A.B。

C.D.2.［2018·嘉兴］欧几里得的《原本》记载形如x2+ax=b2的方程的图解法:画Rt△ABC,使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是()图F5-1A。

AC的长B。

AD的长C。

BC的长D.CD的长3.［2018·东营] 如图F5—2,圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(）图F5-2A.3B.3C。

D.34.［2018·白银] 如图F5-3是一个运算程序的示意图，若开始输入的x的值为625,则第2018次输出的结果为。

图F5—35.[2018·广东］如图F5—4，矩形ABCD中,BC=4，CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连结BD,则阴影部分的面积为。

(结果保留π)图F5—46。

［2018·淄博］如图F5—5，P为等边三角形ABC内的一点，且点P到三个顶点A，B,C的距离分别为3，4,5,则△ABC的面积为。

图F5—57.如图F5—6①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD,OE=2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE。

(1）求证:DE⊥AG。

（2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α〈360°)得到正方形OE’F'G'，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG’是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF’长的最大值和此时α的度数，直接写出结果,不必说明理由。

专题提高九以绘图为背景的计算与证明热门解读所谓以绘图为背景的问题，主要指能依照语言的描绘画出图形，懂得描绘图形的运动和变化，并利用图形描绘和剖析问题，研究图形特征．常与以下的内容相关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；以几何元素和几何条件为背景成立起来的观点，如三角函数等．解答这种问题的方法是，发掘条件、看破图形，经过添加协助线，复原基本图形，进而打通解决问题的通道．这种问题是热点考题之一．母题体现(2017 ·齐齐哈尔 ) 如图，在等腰三角形纸片ABC中， AB＝ AC＝10cm，BC＝12cm，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是____________________．对点训练1．数轴上A、B两点表示的数分别为－ 1 和 2，数轴上点C在点A的左边，到 A 点的距离等于点 B 到点 A 的距离，则点 C所表示的数为( )A．－ 2 ＋2B．－ 1 ＋2C． 3 －2 D．－ 2－212．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝2BC，则△ABC底角的度数为 ( )A．45°B．75C．45°或75°或15°D．45°或 75°3．(2015 ·德州模拟 ) 一次数学课上，老师请同学们在一张长为18 厘米，宽为 16 厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为 10 厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个极点与矩形的一个极点重合，其余两个极点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米()A．50B．50或40C．50或40或30 D．50 或 30 或 204．(2016 ·杭州) 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线 BD为底边作顶角为120°的等腰三角形 BDE，则∠ EBC的度数为.5．(2017 ·宁波模拟 ) 直径为 10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是.6．假如一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．假如一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为.7 ．(2015 ·红安模拟) 若直线y ＝ m( m 为常数)与函数y ＝x22（x≤2），的图象恒有三个不一样的交点，则常数m 的取值范围4x（x＞2）是.8．(2015 ·杭州 ) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1 ，2t )在反比率函数y＝x的图象上，过点P 作直线 l 与 x 轴平行，点 Qk在直线 l 上，知足 QP＝OP，若反比率函数 y＝x的图象经过点 Q，则 k＝.9．(2017 ·舟山模拟 ) 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的2高，而且 AD＝BD·DC，则∠ BCA的度数为.10．(2015 ·北京市旭日区模拟 ) 假如一个平行四边形一个内角的均分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为 3 时，它的周长为.11．(2017 ·营口 ) 在矩形纸片ABCD中， AD＝8，AB＝6，E 是边BC上的点，将纸片沿 AE折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当△ EFC 为直角三角形时， BE的长为____________________．12．(2015 ·江阴 ) 在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(－6，0) ，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点 C 的坐标为.13．用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B＝35°，若这样的三角形只能作一个，则 a ， b 间满足的关系式是.14．已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为 A，B，点 C是⊙ O上的随意一点(不与 A，B 重合)．若∠APB＝50°，求∠ ACB的度数．参照答案专题提高九以绘图为背景的计算与证明【母题体现】10cm，2 73cm，413cm【对点训练】1.D 2.C 3.C 4.45 °或 105° 5.30 °或 150°316. 3或28.2 ＋2 5或 2－2 57.0 ＜m＜29．65°或 115°10.8 或 1011.3 或 6b12．(0 ，12) 或(0 ，－ 12)13. a＝sin35 °或b≥a14.如图，连接 OA、OB，∵ PA，PB是⊙ O的两条切线，∴∠ PAO ＝∠ PBO＝90°.∵∠ APB＝50°.∴在四边形 PAOB中，∠ AOB＝360°1－∠ PAO－∠ APB－∠ PBO＝130°.①若点 C在优弧 AB上，则∠ ACB＝21∠AOB＝65°；②若点 C在劣弧 AB上，则∠ ACB＝2×(360°－130°)＝115° . ∴∠ACB的度数为 65°或 115°.第14 题图。

微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是( )2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 B．2 3 C．3 3 D．4 33．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3 m，BC＝5 m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题：(1)请简述由图①变成图②的形成过程：______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2 019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠M BN＝45°.求证：AM＋CN＝MN.10．问题背景：如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用：如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展：如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．11．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连结AD，BC，点H为BC中点，连结OH.(1)如图1所示，求证：OH＝12AD且OH⊥AD；(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．参考答案1．A 2.B 3.15π44.85.66．(1)图①中的△A DE 绕点D 逆时针旋转90°得到图② (2)6 7．菱1548.(6 058，1) 9．证明：∵∠C＝∠A＝90°，BC ＝BA ，∴将△BCN 绕点B 逆时针旋转90°得到△BAN′，如图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°. 在△MBN 和△MBN′中， ⎩⎪⎨⎪⎧BN ＝BN′，∠MBN＝∠MBN′，BM ＝BM.∴△MBN≌△MBN′(SAS)， ∴MN＝MN′， 即AM ＋AN′＝MN ， ∴AM＋CN ＝MN. 10．解：(1)2 2(2)如图，在斜边AC 上截取AB′＝AB ，连结BB′. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠B′AM＝∠BAM， 在△B′AM 和△BAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB′＝AB ，∠B′AM＝∠MAB，AM ＝AM ，∴△B′AM≌△BAM(SAS)，∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°， ∴点B 与点B′关于直线AD 对称．如图，过点B′作B′F⊥AB，垂足为F ，交AD 于E ，连结B′E，则线段B′F 的长即为所求．(点到直线的距离最短) 在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°， AB′＝AB ＝10，∴B′F＝AB′·sin 45°＝AB·sin 45° ＝10×22＝52， ∴BE＋EF 的最小值为5 2.11．(1)证明：∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD＝90°， ∴OC＝OD ，OA ＝OB. 在△AOD 与△BOC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，∠AOD＝∠BOC，OD ＝OC ，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD ，∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC， ∵点H 为线段BC 的中点， ∴OH＝12BC ＝12AD ，可得OH ＝HB ，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD， 又∵∠OAD＋∠ADO＝90°， ∴∠ADO＋∠BOH ＝90°，∴OH⊥AD.(2)解：①结论：OH ＝12AD ，OH⊥AD，如图，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO， ∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°， ∴OH⊥AD.②结论不变，如图．延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连结BE ，延长EO 交AD 于G.易证△BEO≌△ODA， ∴OE＝AD ， ∴OH＝12OE ＝12AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO. ∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°， ∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.11。