《二次函数性质的再研究》课件1(北师版必修1)

[解] 因为二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)， 所以，可设其解析式为y＝a(x－1)2－3. 又其图像过点P(2,0)， 则a(2－1)2－3＝0， 解得a＝3. 所以，这个函数的解析式为y＝3(x－1)2－3.
1．(变条件)已知二次函数的图像与x轴的交点为A(－1,0)和 B(1,0)，且与y轴的交点为(0，－1)，求这个函数的解析式．
整理得，y＝x2＋(b＋4)x＋7＋2b＋c， 又y＝x2－2x＋1， 则b7＋＋42＝b＋－c＝2，1， 解得bc＝＝6－，6， ∴b＝－6，c＝6.]
求二次函数的解析式
【例2】 已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且过点 P(2,0)，求这个函数的解析式．
[思路探究] 已知二次函数的图像的顶点(1，－3)，可设其解析 式为y＝a(x－1)2－3，再利用其图像过点(2,0)求a.
[解] 因为二次函数的图像与x轴的交点为A(－1,0)和B(1,0)， 所以，可设其解析式为y＝a(x－1)(x＋1)． 又其图像与y轴的交点为(0，－1)， 则a(0－1)(0＋1)＝－1， 解得a＝1. 所以，这个函数的解析式为y＝(x－1)(x＋1)＝x2－1.
2．(变条件)已知二次函数的图像过点A(1,1)，B(0,2)，C(3,5)， 求这个函数的解析式．
[解] 设这个函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意，得
a＋b＋c＝1，
c＝2， 9a＋3b＋c＝5，
a＝1，
∴b＝－2， c＝2，
所以，这个函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
用待定系数法求二次函数解析式的设法技巧,求二次函数的解析 式，应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式的形式，用待定系 数法求之.
思考2：对于函数y＝ax2(a≠0)，a越大，其图像开口越小吗？

当 a<0 时，ff（ （xx） ）mmainx＝＝ff（（－1）2）＝＝－8aa＋＋bb＝＝9－，9， 解得ab＝ ＝－ 7. 2，∴ab＝ ＝2－，7或ab＝ ＝－7. 2，
A．为正数
B．为负数
C．为非负数
D．与 m 有关
解析：∵f(－m)＝m2＋m＋a<0，∴f(m＋1)＝(m＋1)2－(m＋1)
＋a＝m2＋m＋a＝f(－m)<0. 答案：B
3．函数 y＝x2－4ax＋1 在区间[－2，4]上单调递增，则实数 a
的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
C．[－2，2]
D．[－2，－1]
解析：函数 f(x)的对称轴方程是 x＝3，则最小值为 f(3)＝32 －6×3＋7＝－2.又 f(2)＝22－6×2＋7＝－1，f(5)＝52－6×5＋7 ＝2.∴函数的值域是[－2，2]．
答案：C
2．若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则 f(m＋1)的值( )
【解】(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－ 5，5]，
∴x＝1 时，f(x)的最小值为 1； x＝－5 时，f(x)的最大值为 37. (2)函数 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2 图像的对称轴为 x＝－a， ∵f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，∴－a≤－5 或－a≥5， 故实数 a 的取值范围是 a≤－5 或 a≥5.
【方法总结】 已知二次函数在某个区间上的单调性，应考 虑开口方向，对称轴与区间端点位置关系．可结合函数草图进行 分析．
已知函数 ƒ(x)＝x2＋bx＋c 的对称轴为 x
＝2，则下列不等式成立的是( )

题型二 二次函数的对称性
【例2】 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝2对称，那么( )
A．f(2)<f(1)<f(4)
B．f(1)<f(2)<f(4)
C．f(2)<f(4)<f(1)
D．f(4)<f(2)<f(1)
解析 法一 ∵f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝2对称，又抛物线开
口方向向上，由该二次函数的特征可知，自变量离对称轴
§4 二次函数性质的再研究
学习目标 1.理解y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c 的图像之间的关系(重点)；2.理解并掌握二次函数的定义域、 值域、单调性、对称轴(重点)；3.能利用配方法或图像法掌握 二次函数的重要性质(重、难点)；4.会求二次函数在给定闭区 间上的最大值、最小值(重、难点)．
法三 利用二次函数的顶点式． 设 f(x)＝a(x＋m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12， 即 m＝－12．
又∵f(x)的最大值为 8，∴n＝8． ∴f(x)＝ax－122＋8． ∵f(2)＝－1， ∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4． ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7． 故所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7．
预习教材 P41－47 完成下列问题： 知识点一 二次函数的定义
形如y＝a_x_2_＋__b_x_＋__c___(a≠0)的函数叫作二次函数，其中a、 b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解 析式还有其他两种形式； 顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)； 零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不 是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交 点的二次函数才有零点式．

3.二次函数的值域: 当 a>0 时,二次函数的值域为 当 a<0 时,二次函数的值域为
4������������-������2 -∞, 4������
4������������-������2 ,+∞ 4������
;
.
2 -3t+2
t 做一做1 导学号91000066若函数 y=(3-t) x 的二次函数,则t的值为( ) A.3 B.0 C.0或3 D.1或2 答案:B
做一做3 函数y= 2 x2-5x+1的对称轴和顶点坐标分别是(
23 2 23 B.x=-5, -5, 2 23 C.x=5, -5, 2 23 D.x=-5, 5,2
1
)
A.x= 5, 5,-
解析:原函数解析式可化为 y= (x-5)2- . 因此该函数的对称轴为 x=5,顶点坐标为 5,23 2
1 2
23 2
.
答案:A
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)二次函数y=3x2与y轴不相交. ( × ) (2)二次函数y=ax2+bx+c的图像开口一定向上. ( × ) (3)二次函数y=ax2+c在y轴左侧是减函数,在y轴右侧是增函数. ( × ) (4)将函数y=f(x+a)(a>0)的图像向左平移a个单位长度即得到 y=f(x)的图像. ( × )
+tx+1 是关于x
二、二次函数图像的变换 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由y=x2的图像各点的纵坐标变为 原来的a倍得到. 2.二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0),a决定了二次函数图像的开口大小 及方向;h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h正左移,h负右 移”;k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移,k负下移”. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),通过配方可以得到它的恒等变形 y=a(x+h)2+k ,然后由y=ax2的图像左右平移、上下平移得到其图像. 做一做2 将函数y=x2的图像向右平移2个单位长度,再向下平移 1个单位长度后,所得函数的解析式为 ( ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x-2)2+1 C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1 答案:C