第一章
一、事件之间的关系及运算：
包含：事件A 发生必然导致事件B 发生，记作B A ⊂或A B ⊃。 相等：若B A ⊂，同时有A B ⊂，记为A=B 并事件：C A B =+={,A B 至少有一个发生} 交事件：AB ={,A B 同时发生}
互斥事件：,A B 不同时发生即Φ=AB ,互斥完备群：即(1)i j A A i j n =Φ≤≠≤且1n
i i A ==Ω∑
对 立事件：在一次试验中A 与B 有且仅有一个发生,即Φ=AB 且A B +=Ω
二、事件的概率
1．频率的定义：进行条件相同的n 次试验，事件A 出现m 次，则称m 为事件A 的频数，比值n/m 称为事件A 发生的频率。记作()f A m n =
2．概率的古典定义：主要看例题 3．概率的性质： 1）、 ()01P A ≤≤； 2）、1)(=ΩP ； ()0P Φ= 三、概率的运算
1．加法定理：互斥事件()()()P A B P A P B +=+ 一般事件 ()()()()P A B P A P B P AB +=+- 对立事件 ()()()1P A B P A P B +=+=
2．乘法定理：独立事件()()()P AB P A P B =（独立的定义：()(/)P A P A B =或
()(/)P B P B A =）
一般事件()()(/)()(/)P AB P A P B A P B P A B == 注意：独立不互斥，互斥不独立 3．条件概率：()()
/()
P AB P B A P A =
，()/1(/)P B A P B A =-
四、全概公式和逆概公式（重点） 定理1：若事件组12,,
n B B B 是一列互不相容的事件，且有1
n
i i B ==Ω∑,对任何事件A ，有
()1()()/n
i i i P A P B P A B ==∑，即
1211
()()
()
()(|).
n n
i i n i i i P A P AB AB AB P AB P B P A B ===++
+==∑∑
定理2：若12,,
n B B B 是一列互不相容的事件，且
()1
,0,1,2,
n
i
i i B
P B i ==Ω>=
∑
则对任一事件A,P(A)>0有()()()
()()
1
///i i i n
i
i
i P B P A B P B A P B P A B ==
∑，即
()()/()
i i P AB P B A P A =
例题，书后习题。
第二章概率分布与数字特征
离散型变量的概率分布与数字特征 一、概率函数
1、定义：{}k k P X x p ==，写成表格的形式（分布率）
2、 基本性质：0≥i p ；∑=i
i p 1
二、分布函数
1、定义：(){},
F x P X x x R =≤∈
25{}P x X x <≤52{}{}P X x P X x =≤-≤52()()F x F x =-
345()()()P x P x P x =++
2、性质：0()1F x ≤≤；()F x 是x 的不减函数；()()0,1F F -∞=+∞=。 三、常见的离散型随机变量的分布
1、伯努力试验：对立、独立、重复
2、二项分布：~(,)X B n p ，,(1)EX np DX np p ==-
在n 次伯努力试验中，事件A 发生k 次的概率{}(1),k k
n k n
P X k C p p -==- 二项分布的最可能值0k ：(1)n p +是整数，0(1),(1)1k n p n p =++- (1)n p +不是整数，0[(1)]k n p =+ 3、泊松分布：~().X P λEX DX λ==
e {},!
k
P X k k λλ-==
四、数字特征
1、均数（期望）：1()k k k E X x p ∞
==∑，（加权平均）
均数的性质： E (C )=C ； E (kX )=kE (X );()E kX b kEX b +=+；()E X Y EX EY ±=±； 设X 、Y 独立，则 E (XY )=E (X )E (Y );
2、方差：（波动程度，离散程度）
2()[()]D X E X E X =-22()[()]E X E X =-，22()i i i
E X x p =∑
标准差：)(X D
方差的性质： D (C )= 0；2()().D kX k D X =；
设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，则 ()()()D X Y D X D Y +=+ 3
、变异系数：CV =
，不同随机变量之间波动程度的比较
连续型随机变量的概率分布与数字特征 一、密度函数()f x
1、定义：d {}()b
a P a X
b f x x <<=⎰，
2、密度函数的性质：0)(≥x f ，R x ∈； .1d )(=⎰∞
+∞
-x x f
二、分布函数
1、定义：(){}()d x F x P X x f t t -∞
=≤=⎰
，
2、分布函数的性质：(1)0()1,F x x R ≤≤∈
(2)()F x 是单调不减函数；
(3)
()lim ()0,()lim ()1x x F F x F F x →-∞
→+∞
-∞==+∞==
(4)()()f x F x '=
注意：(1) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即{}0P X c == (2){}{}P a X b P a X b <<=≤<{}{}P a X b P a X b =<≤=≤≤()()F b F a =- (3)()1()1()P X x P X x F x >=-≤=- 三、常见的连续型随机变量的分布
1、正态分布
1）、一般正态分布，2(,)X N μσ，2,EX DX μσ==
密度函数： 22
()2()x f x x μσ--
=
-∞<<+∞，
密度函数的性质：0)(≥x f ，R x ∈.
