匈牙利算法

最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。

最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。

下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。

1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。

算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。

寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。

如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。

修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。

重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。

2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。

相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。

可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。

3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。

项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。

资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。

4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。

在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。

运筹学匈牙利法运筹学匈牙利法（Hungarian Algorithm），也叫匈牙利算法，是解决二部图最大（小）权完美匹配（也称作二分图最大权匹配、二分图最小点覆盖）问题的经典算法，是由匈牙利数学家Kuhn和Harold W. Kuhn发明的，属于贪心算法的一种。

问题描述在一个二分图中，每个节点分别属于两个特定集合。

找到一种匹配，使得所有内部的节点对都有连边，并且找到一种匹配方案，使得该方案的边权和最大。

应用场景匈牙利算法的应用场景较为广泛，比如在生产调度、货车调度、学生对导师的指定、电影的推荐等领域内，都有广泛的应用。

算法流程匈牙利算法的伪代码描述如下：进行循环ɑ、选择一点未匹配的点a作为起点，它在二分图的左边β、找出a所有未匹配的点作为下一层节点ɣ、对下一层的每个节点，如果它在右边未匹配，直接匹配ɛ、如果遇到一个已经匹配的节点，进入下一圈，考虑和它匹配的情况δ、对已经匹配的点，将它已经匹配的点拿出来，作为下一层节点，标记这个点作为已被搜索过ε、将这个点作为当前层的虚拟点，没人配它，看能否为它找到和它匹配的点ζ、如果能匹配到它的伴侣，令它们成对被匹配最后输出最大权匹配。

算法优缺点优点：相比于暴力求解二分图最大权匹配来说，匈牙利算法具有优秀的解决效率和高效的时间复杂度，可以在多项式时间（O(n^3)）内解决二分图最大权匹配问题。

缺点：当二分图较大时，匈牙利算法还是有很大的计算复杂度，复杂度不佳，算法有效性差。

此时就需要改进算法或者使用其他算法。

总结匈牙利算法是一个常见的解决二分图最大权匹配问题的算法，由于其简洁、易用、效率优秀等特性，广泛应用于学术和实际问题中。

匈牙利算法虽然在处理较大规模问题时效率不佳，但仍然是一种值得掌握的经典算法。

匈牙利算法离散数学
匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法，属于离散数学中图论的内容。

在二分图中，顶点集被分为左右两个部分，边连接两个部分的顶点。

最大匹配问题就是要找到一种最大的匹配方案，使得尽可能多的顶点能够被匹配。

匈牙利算法的基本思想是通过寻找增广路径来不断增加匹配的顶点数。

增广路径是指从左边的未匹配顶点出发，交替经过未匹配边和已匹配边，最终到达右边的未匹配顶点的路径。

通过不断寻找增广路径，并将路径上的边进行匹配和取消匹配，最终可以得到一个最大匹配。

具体实现时，匈牙利算法采用了深度优先搜索的方式来寻找增广路径。

首先从左边的每个未匹配顶点出发，依次进行深度优先搜索，尝试与右边的未匹配顶点进行匹配。

如果找到了增广路径，则将路径上的边进行匹配和取消匹配，继续寻找下一个增广路径。

如果无法找到增广路径，则返回当前匹配的顶点数，即为最大匹配数。

匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是顶点数，E是边数。

通
过优化算法，如路径压缩和交替路径优化，可以进一步提高算法的效率。

匈牙利算法在实际应用中有广泛的应用，比如在求解任务分配问题、
婚姻匹配问题等方面都可以使用。

其应用领域还包括网络流问题、图像处理、人工智能等。

总之，匈牙利算法是离散数学中图论领域一个重要的算法，用于解决二分图最大匹配问题。

其基本思想是通过寻找增广路径来不断增加匹配的顶点数，从而得到一个最大匹配。

通过优化算法，可以提高算法的效率。

该算法在实际应用中有广泛的应用。

匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。

美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。

此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry的工作之上创建起来的。

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

二分图：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

图一就是一个二分图。

匈牙利算法：匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

Hall定理：二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y; X={X1, X2, X3,X4, .........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn}, G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。

（1≤k≤m)匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

图一中红线为就是一组匹配。

未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

如图一中的a 3、b1。

设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

匈牙利算法例题【最新版】目录1.匈牙利算法简介2.匈牙利算法例题介绍3.匈牙利算法例题解答过程4.匈牙利算法例题解答结果正文一、匈牙利算法简介匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解无向图最大匹配问题的经典算法，由匈牙利数学家 MátyásVink 于 1930 年提出。

匈牙利算法采用贪心策略，通过不断迭代寻找图中的匹配点对，最终找到一个最大匹配子图。

它适用于无权无向图，特别是当图中每个顶点的度数为偶数时，它能够保证找到一个完美的匹配。

二、匈牙利算法例题介绍现在，我们通过一个具体的例题来介绍匈牙利算法的应用。

例题：有一个无向图，共有 4 个顶点 A、B、C、D，边数为 6，分别为 AB、AC、AD、BC、BD、CD。

请问这个图的最大匹配数是多少？三、匈牙利算法例题解答过程1.初始化：将所有顶点的度数设为偶数，用 0 表示已匹配的边，用 1 表示未匹配的边。

A: 0 0B: 1 1C: 1 1D: 1 12.寻找匹配点对：从度数为奇数的顶点开始，找到可以匹配的边。

在这个例子中，顶点 A 和 D 的度数为奇数，所以将边 AD 标记为已匹配。

A: 1 0B: 1 1C: 1 1D: 0 13.更新顶点度数：将已匹配的边的度数更新为偶数，未匹配的边的度数减 1。

A: 1 0B: 0 1C: 1 1D: 1 14.重复步骤 2 和 3，直到所有顶点的度数都为偶数。

在这个例子中，最终匹配的边为 AB、AC、AD，所以最大匹配数为 3。

匈牙利算法是一种组合优化算法，用于解决多项式时间内的任务分配问题，并推广了后来的原始对偶方法。

美国数学家Harold Kuhn在1955年提出了该算法。

之所以将该算法称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerv áry的先前工作。

匈牙利算法是一种组合优化算法，用于解决多项式时间内的任务分配问题，并推广了后来的原始对偶方法。

美国数学家Harold Kuhn在1955年提出了该算法。

之所以将该算法称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerv áry的先前工作。

众所周知，匈牙利是一个国家的名称，与算法的发明者有关。

匈牙利算法的发明者埃德蒙兹（Edmonds）于1965年提出了匈牙利算法。

我不知道为什么匈牙利算法的发明者是匈牙利算法，而且我从未见过其他以国家命名的算法。

是因为匈牙利人提出的算法太少了吗？
匈牙利算法的核心原理非常简单，即找到增强路径以实现最大匹配。

我们将匈牙利算法与Gale-Shapley算法的原理进行了比较，您发现了什么？实际上，这两种算法的核心原理是相同的。

在GS算法中，我们首先开始追求男孩，并尽可能地进行匹配。

然后，单身男孩一次又一次地认罪，如果有更好的比赛，以前的比赛将被打破。

在稳定婚
姻的问题中，我们定义了匹配的质量，而在本地二分匹配的问题中，匹配既不是好事也不是坏事。

如果我们抛开匹配的好坏，而把高品质男生抓住劣等男生的过程当作匹配调整的过程，那么这两种算法的核心几乎是相同的。

匈⽛利算法0 - 相关概念0.1 - 匈⽛利算法 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。

匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆部图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。

0.2 - ⼆分图 若图G的结点集合V(G)可以分成两个⾮空⼦集V1和V2，并且图G的任意边xy关联的两个结点x和y分别属于这两个⼦集，则G是⼆分图。

1 - 基本思想1. 找到当前结点a可以匹配的对象A，若该对象A已被匹配，则转⼊第3步，否则转⼊第2步2. 将该对象A的匹配对象记为当前对象a，转⼊第6步3. 寻找该对象A已经匹配的对象b，寻求其b是否可以匹配另外的对象B，如果可以，转⼊第4步，否则，转⼊第5步4. 将匹配对象b更新为另⼀个对象B，将对象A的匹配对象更新为a，转⼊第6步5. 结点a寻求下⼀个可以匹配的对象，如果存在，则转⼊第1步，否则说明当前结点a没有可以匹配的对象，转⼊第6步6. 转⼊下⼀结点再转⼊第1步2 - 样例解析 上⾯的基本思想看完肯定⼀头雾⽔（很⼤程度是受限于我的表达能⼒），下⾯通过来就匈⽛利算法做⼀个详细的样例解析。

2.1 - 题⽬⼤意 农场主John有N头奶⽜和M个畜栏，每⼀头奶⽜需要在特定的畜栏才能产奶。

第⼀⾏给出N和M，接下来N⾏每⾏代表对应编号的奶⽜，每⾏的第⼀个数值T表⽰该奶⽜可以在多少个畜栏产奶，⽽后的T个数值为对应畜栏的编号，最后输出⼀⾏，表⽰最多可以让多少头奶⽜产奶。

2.1 - 输⼊样例5522532342153125122.2 - 匈⽛利算法解题思路2.2.1 - 构造⼆分图 根据输⼊样例构造如下⼆分图，蓝⾊结点表⽰奶⽜，黄⾊结点表⽰畜栏，连线表⽰对应奶⽜能在对应畜栏产奶。

2.2.2 - 模拟算法流程为结点1（奶⽜）分配畜栏，分配畜栏2（如图(a)加粗红边所⽰）为结点2（奶⽜）分配畜栏，由于畜栏2已经被分配给结点1（奶⽜），所以寻求结点1（奶⽜）是否能够分配别的畜栏，以把畜栏2腾给结点2（奶⽜）。

匈牙利算法和数据关联的关系匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的常见算法，它的核心思想是通过增广路径来找到完美匹配。

在解决最大匹配问题时，数据关联起着至关重要的作用。

本文将从匈牙利算法的原理、步骤以及与数据关联的关系三个方面进行阐述。

一、匈牙利算法的原理匈牙利算法是基于增广路径的思想，通过扩展原有的匹配，不断增加匹配的边，直到无法继续增广为止。

算法的核心思想是通过找到增广路径，来使匹配数增加。

增广路径是指一条起点和终点不在匹配中的交替出现的路径。

具体步骤如下：1.从一个未匹配的顶点开始，如果找到增广路径，就让该路径中的边成为匹配边；2.如果无法找到增广路径，则认为当前的匹配是最大匹配。

二、匈牙利算法的步骤1. 初始化：首先给每个顶点一个默认的匹配标记（例如-1），表示该顶点尚未匹配。

同时初始化一个数组match[]，用以存储匹配结果。

2.DFS遍历：对每个未匹配的顶点进行深度优先，如果找到增广路径，则将该路径上交替的边进行匹配，同时将其它与该路径相关的边解除匹配。

3.增广路径的寻找：通过DFS遍历，找到一条由未匹配顶点和匹配顶点交替组成的路径，该路径的起点和终点均不在当前的匹配边中。

如果能找到增广路径，则按该路径进行匹配，否则认为当前的匹配是最大匹配。

匈牙利算法中的数据关联主要体现在对图的建模和路径的信息存储上。

在匈牙利算法中，二分图通常用二维数组进行表示，一维代表顶点的标号，二维代表边是否相连。

通过这种方式，可以将图的结构和顶点之间的关系具体地表示出来。

在匈牙利算法的实现中，一般会使用一个匹配数组match[]来存储当前匹配的结果。

这个数组的下标代表顶点的标号，存储的值代表该顶点的匹配对象。

通过这种数据关联的方式，可以方便地查找一些顶点的匹配对象，同时也可以更新匹配关系。

匈牙利算法还可以通过路径的信息进行数据关联。

在寻找增广路径的过程中，除了更新匹配关系外，还需要记录路径信息，例如通过一个代表路径的数组path[]来存储当前路径的信息，这样可以很方便地获取路径上交替出现的边，从而进行匹配操作。

匈牙利算法是一种组合优化算法，可以在多项式时间内解决任务分配问题，并在以后推广原始的对偶方法。

美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）在1955年提出了该算法。

该算法之所以称为匈牙利算法，是因为它很大程度上是基于前匈牙利数学家Denes K nig和Jen Egervary的工作。

假设它是无向图。

如果顶点集V可以分为两个不相交的子集，则在该子集中选择具有最大边数的子集称为图的最大匹配问题。

如果存在匹配项和匹配项数，则该匹配项称为完美匹配项，也称为完全匹配项。

称为完美匹配时的特殊。

在介绍匈牙利算法之前，只有几个概念，M是G的匹配项。

如果，则边缘已经在匹配的M上。

M交错的路径：P是G的路径。

如果P中的边是属于M的边和不属于M而是属于G的边交替，则称P为M交错的路。

如：路径，。

M饱和点：例如，如果V与M中的边关联，则V为m饱和点；否则，V为非M饱和点。

例如，它们都属于M饱和点，而其他所有点都属于非M饱和点。

M扩展路径：P是M交错的路径。

如果P的起点和终点均为非M饱和点，则P称为m增强路径。

例如（不要与流网络中的增强路径混淆）。

寻找最多匹配项的一种明显算法是找到所有匹配项，然后保留最多匹配项。

但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。

因此，我们需要找到一种更有效的算法。

下面介绍使用增强路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利数学家爱德蒙兹（Edmonds）于1965年提出）。

增强轨道（也称为增强轨道或交错轨道）的定义：如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配）在P上交替，则称P为扩充路径相对于M从增强路径的定义可以得出以下三个结论：（1）到P的路径数必须是奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。

（2）通过将M和P取反可以获得更大的匹配度。

（3）当且仅当没有M的增加路径时，M是G的最大匹配。

算法简介：（1）令M为空（2）通过异或运算找到增强路径P并获得更大的匹配项而不是M（3）重复（2），直到找不到扩展路径。

匈牙利算法匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。

M-交错路:p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。

如:路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。

M-饱和点:对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v 是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。

如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。

M-可增广路:p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。

如(X3,Y2,X1,Y4)。

(不要和流网络中的增广路径弄混了)求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。

但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。

因此，需要寻求一种更加高效的算法。

下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。

增广路的定义(也称增广轨或交错轨):若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路的定义可以推出下述三个结论:1-P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M'。

3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

算法轮廓:⑴置M为空⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止折叠。