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第3讲质数与合数知识网络1．质数与合数（1）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。
2．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
重点·难点要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
（2）关于质数1）质数有无限多个。
2）最小的质数是2。
3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
4）每个质数只有两个约数：1和它本身。
（3）关于合数1）合数有无限多个。
2）最小的合数是4。
3）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。
例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。
学法指导（1）对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。
判别269，用2至268中所有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。
（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。
如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。
那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。
（3）用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。
质合看分解【例1】2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a＋b＋c＋d的最小值是多少？【例2】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，……，3599，开始时头都朝东。
第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，……，如此进行。
那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【例3】若整数A使得(A－42)能整除(42A－1)，那么所有这样的A是多少？【例4】在1，2，3，…，1994，1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数来：1995＋a能整除1995×a。
测试题【例1】对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30。
那么在1，2，……，16这16个整数中，有“好数”多少对？【例2】已知m 、n 两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12个约数，n 有10个约数，求数m 与n 的和。
【例3】如果n 个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”， ⑴证明，n 的最大值为4。
⑵当4n =时，求4个质数的乘积的最小值。
答案：【例1】 【分析】设这两个数为a 、b ，且a b <，有()ab k a b =+，即111a b k+=，这样就变成了分数拆分问题。
单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ， 有：111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B+==+=++++， 由于16a b <≤，故11111116168k a b =+>+=，得8k <。
当2k =时，有1121122(12)36+==+⨯+，由于a b <，有36a b =⎧⎨=⎩满足； 当3k =时，有1131133(13)412+==+⨯+，有412a b =⎧⎨=⎩满足； 当4k =时，有1121144(12)612+==+⨯+，由于16a b <≤，有612a b =⎧⎨=⎩满足；当5k =时，有1151155(15)630+==+⨯+，由于16a b <≤，此时没有满足条件的a 、b ； 当6k =时，有1231166(23)1015+==+⨯+，由于16a b <≤，有1015a b =⎧⎨=⎩满足； 当7k =时，有1171177(17)856+==+⨯+，由于16a b <≤，此时没有满足条件的a 、b ； 如此逐个验证k 的值，可得“好数”有3与6，4与12，6与12，10与15，共有4对。
六年级下册人教版数学奥数题第一章几何运算1.1 三角形的判定根据给定的条件判定下列图形是否为三角形，并给出理由。
1) 图形ABC，AB = AC = 3 cm，∠BAC = 60°。
解析：由于两边相等且夹角为60°，符合边边角（SSA）判定三角形的条件，故图形ABC是一个三角形。
2) 图形PQR，PQ = 6 cm，QR = 7 cm，RP = 10 cm。
解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质，可以得有：PQ +QR > RP，PQ + RP > QR，QP + RP > QR。
将给定的数值代入可以得到：6 + 7 > 10，6 + 10 > 7，7 + 10 > 6。
这些不等关系成立，因此图形PQR是一个三角形。
3) 图形XYZ，XY = 4 cm，YZ = 8 cm，ZX = 6 cm。
解析：同样利用三角形两边之和大于第三边的性质进行判定，我们可以得到：XY + YZ > ZX，XY + ZX > YZ，YZ + ZX > XY。
将给定的数值代入可以得到：4 + 8 > 6，4 + 6 > 8，8 + 6 > 4。
这些不等关系成立，因此图形XYZ是一个三角形。
1.2 相似与全等判断下列图形是否相似，并给出相似的理由。
1) 图形ABC与图形DEF。
解析：两个三角形相似的条件是对应角相等且对应边成比例。
通过观察可以发现∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
并且，AC : DF = 2 : 4 = 1 : 2，BC : EF = 3 : 6 = 1 : 2。
因此，图形ABC与图形DEF相似。
2) 图形GHJ与图形KLM。
解析：同样利用相似三角形的条件进行观察，我们可以发现∠G = ∠K，∠H = ∠L，∠J = ∠M，并且GH : KL = 4 : 6 = 2 : 3，HJ : LM = 6 : 9 = 2 : 3。
一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列数中，不是质数的是（）A. 17B. 19C. 18D. 23答案：C解析：18可以被2、3、6、9整除，不是质数。
2. 一个数的因数有6个，那么这个数是（）A. 8B. 9C. 12D. 15答案：C解析：8的因数有1、2、4、8；9的因数有1、3、9；12的因数有1、2、3、4、6、12；15的因数有1、3、5、15。
因此，12的因数有6个。
3. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 圆答案：D解析：在相同周长的情况下，圆的面积最大。
4. 下列分数中，分子相同的是（）A. 3/5B. 4/7C. 6/9D. 2/3答案：C解析：6/9可以化简为2/3，分子相同。
5. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 20cmB. 25cmC. 30cmD. 35cm答案：C解析：长方形的周长计算公式为：周长 = （长 + 宽）× 2。
代入数值计算得：周长 = （10cm + 5cm）× 2 = 30cm。
二、填空题（每题5分，共25分）6. 下列数中，最小的质数是______。
答案：2解析：2是最小的质数。
7. 下列图形中，面积最小的是______。
答案：三角形解析：在相同周长的情况下，三角形的面积最小。
8. 下列分数中，分母相同的是______。
答案：3/5，6/10解析：3/5和6/10的分母都是10。
9. 一个长方形的长是8cm，宽是4cm，它的面积是______cm²。
答案：32cm²解析：长方形的面积计算公式为：面积 = 长× 宽。
代入数值计算得：面积 = 8cm × 4cm = 32cm²。
10. 下列数中，不是合数的是______。
答案：7解析：7只能被1和7整除，没有其他因数，因此是质数。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 一个正方形的边长是4cm，求它的周长和面积。
分解质因数定义：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，12＝2×2×3。
部分特殊数的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；1995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251；2007＋2008＝4015＝5×11×73；10101＝3×7×13×37。
特别注意：将一个数分解质因数时通常把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。
例如：120＝23×3×5，而不写成：120＝2×2×2×3×5。
例1975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？例2已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。
一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是_____厘米。
例4已知两个大于1的数互质，它们的和是5的倍数，它们的积是2924，那么它们的差等于_____。
例5有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140。
如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？例6在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872。
六年级数学总复习：质数、合数与分解质因数专项练习（含答案）一、填空题。
1、一个数（），这样的数叫做质数；一个数（），这样的数叫做合数。
2、在自然数中，既不是质数，也不是偶数的最小数（）；既是质数，又是偶数的是（）；既是奇数又是质数的最小的数是（）；既是偶数，又是合数的最小数是（）。
3、两个都是质数的连续自然数是（）和（）。
4、用三个一位质数组成能同时被3和5整除的三位数，其中最大的是（），最小的数是（）。
5、一个合数至少有（）个约数。
6、最小的合数是（），最小的质数是（），既是偶数又是质数的数（），既是奇数又是合数的数最小是（）。
7、把一个合数（），叫做分解质因数。
8、在1、2、4、10、11这几个数中，（）是整数，（）是奇数，（）是偶数，（）是质数，（）是合数。
9、10～20之间的质数有（），其中（）个位上的数字与十位上的数字交换位置后，仍是一个质数。
10、两个质数和为18，积是65，这两个质数是（）和（）。
11、20以内的质数有（）。
12、20以内差为4的两个质数是（）和（），（）和（），（）和（）。
13、三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是（）、（）和（）。
14、用最小的质数，最小的奇数，最小的合数和0组成一个四位数，其中能够被2和5同时整除的最大四位数是（），只能被2整除的最小四位数是（）。
15、把下面两个数写成几个质数和的形式：15＝（）＋（）；20＝（）＋（）＝（）＋（）。
16、把下面各数分别填在指定的圈里。
9、23、31、39、41、51、69、79、81、89、91、9717、一个数既是18的约数，又是18的倍数，把它写成两个质数相加的形式是（）或（）。
18、10以内所有质数的积减去最小的三位数，差是（）。
19、一个两位数的质数，它个位上的数与十位上的数交换位置后，仍是一个质数．这样的数有（）。
20、一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（），将它分解质因数是（）。
1数论杂题整体概况十一：数论的题考的不是很难，不过比较灵活。
更多的时候是把数论融入到应用题中来考察。
知识框架数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．五年级主要考察整除类问题和简单余数问题。
具体内容如下：1、整除性和试除法2、因数倍数及应用3、质数合数和分解质因数4、公因数和公倍数及应用5、最值和数字拆分6、余数定理和周期7、数论中的计数问题8、完全平方数和位置原理9、数论综合和数字迷例题精讲【例 1】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？（十一分班真题）【练习】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【例 2】某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是。
因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
□□【练习】在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 3】七位数175□62□的末位数字是的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
则有b-a=8，或者a-b=3。
①当b-a=8时，b可取9、8； ②当a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。
