用改进的匈牙利算法求解运输问题
- 格式：pdf
- 大小：251.57 KB
- 文档页数：6
下载文档原格式
合集下载
运筹学匈牙利法
运筹学匈牙利法运筹学匈牙利法（Hungarian Algorithm），也叫匈牙利算法，是解决二部图最大（小）权完美匹配（也称作二分图最大权匹配、二分图最小点覆盖）问题的经典算法，是由匈牙利数学家Kuhn和Harold W. Kuhn发明的，属于贪心算法的一种。
问题描述在一个二分图中，每个节点分别属于两个特定集合。
找到一种匹配，使得所有内部的节点对都有连边，并且找到一种匹配方案，使得该方案的边权和最大。
应用场景匈牙利算法的应用场景较为广泛，比如在生产调度、货车调度、学生对导师的指定、电影的推荐等领域内，都有广泛的应用。
算法流程匈牙利算法的伪代码描述如下：进行循环ɑ、选择一点未匹配的点a作为起点，它在二分图的左边β、找出a所有未匹配的点作为下一层节点ɣ、对下一层的每个节点，如果它在右边未匹配，直接匹配ɛ、如果遇到一个已经匹配的节点，进入下一圈，考虑和它匹配的情况δ、对已经匹配的点，将它已经匹配的点拿出来，作为下一层节点，标记这个点作为已被搜索过ε、将这个点作为当前层的虚拟点，没人配它，看能否为它找到和它匹配的点ζ、如果能匹配到它的伴侣，令它们成对被匹配最后输出最大权匹配。
算法优缺点优点：相比于暴力求解二分图最大权匹配来说，匈牙利算法具有优秀的解决效率和高效的时间复杂度，可以在多项式时间（O(n^3)）内解决二分图最大权匹配问题。
缺点：当二分图较大时，匈牙利算法还是有很大的计算复杂度，复杂度不佳，算法有效性差。
此时就需要改进算法或者使用其他算法。
总结匈牙利算法是一个常见的解决二分图最大权匹配问题的算法，由于其简洁、易用、效率优秀等特性，广泛应用于学术和实际问题中。
匈牙利算法虽然在处理较大规模问题时效率不佳，但仍然是一种值得掌握的经典算法。
运输问题的匈牙利解法和表上作业法
运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…，）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n1.2 运输问题的特性由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
基于匈牙利算法的物资运输的车辆分派问题研究
基于匈牙利算法的物资运输的车辆分派问题研究摘要：针对物资运输的车辆分派问题本文利用匈牙利算法，从使得运输总费用最小的角度出发，构建了运输车辆模型及车辆分派模型，以求得最佳的车辆运输分派方案。
关键词：匈牙利算法；运输车辆分派；优化一、武警部队物资运输车辆分派问题的由来运输武警部队后勤部的车辆运输成本是年度财政计划的重要部分，其合理的开支也是关系部队科学发展、高效转型的关键因素。
然而在实际的运输过程中，武警部队运输成本居高不低，这除了国内形势日趋复杂、运输频率和数量增加的原因外，还与指挥人员合理安排运输车辆，采取最优的运输分配方案息息相关。
要想降低车辆运输的基本成本必须从运输方式的选择、运输路线的规划、车辆任务的分派三个方面考虑。
二、分配问题及匈牙利法的相关理论研究运筹学中的分配问题，或称指派问题（AignmentProblem），是一种特殊的整数规划问题，在许多应用领域中会经常遇到，例如：有N项任务，分配给N个人完成，并指定每人完成其中的一项，每项任务只交给一个人去完成，应如何分配，使得费用最低。
这是经典分配问题的一个实例，问题中的任务可能是任何类型的活动，人可能是任何类型的资源，费用可能是任何类型的效能。
分配问题最简单的处理方法，就是进行所有可能的分配，共有N的全排列个（N！）分配方案，再从中选出最优解，但当N较大时，分配数将产生组合爆炸，当今的高速计算机也都无法处理。
分配问题也是个线型规划问题，若用正规的单纯形法，或借助于运输问题特点的一些特殊方法，也可以用来解决这个问题，但效果不好。
而一种称为“匈牙利法”的分配算法，是目前被认为是用来解决分配问题的最有效算法，“运筹学”和“最优化技术”等专著，都将它作为标准的算法进行介绍。
“匈牙利法”的计算和前提是：从效能矩阵的每一行（每一列）元素中分别减去（或加上）一个常数，使得每一行（每一列）里至少有一个0元素，得到新的效能矩阵，用它来取代原效能矩阵，将不改变分配问题的最优解。
4.5车辆调度中的匈牙利方法
13 11 2 0 10 11 5 7 4 1 4 2 4 2
0 6 ⇒B= 0 0
13 7 0 0 6 9 = (b ) ij 5 3 2 1 0 0
其每行、 经变换后的效率矩阵 B 中，其每行、每列至少有一个 零元素。 进行得： 零元素。对矩阵 B 零元素按 step2 进行得：
⇒ 0 1 10 2 3 6 9 5 4 0 1 0 3 4 6 0
由解矩阵得最优指派方案为 甲—D，乙—B ，丙—A，丁—C
小时) 小时 总的消耗时间为 min z＝C31+c22+c43+c14=28(小时
• 实例（m<n） 实例（ ）
例
3.5.3 标准指派问题的举例 标准指派问题的举例 个工人甲、 有 4 个工人甲、乙、丙、丁，要指派他们分别
完成 4 项工作 A、B、C、D，每人做各项工作所消耗的时 间如下表所示，问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的 间如下表所示，问指派哪个人去完成哪项工作， 消耗时间为最小? A 甲 乙 丙 丁 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
• step4 在没有被直线覆盖的部分中找出最 小元素，然后在打√号的行各元素中都减 小元素，然后在打 号的行各元素中都减 去这最小元素，而在打√号的列的各元素 去这最小元素，而在打 号的列的各元素 都加上这是小元素，以保证原来的0元素 都加上这是小元素，以保证原来的 元素 不变．这样得到新的系数矩阵，若得到n 不变．这样得到新的系数矩阵，若得到 个独立的0元素 则已得到最优解， 元素， 个独立的 元素，则已得到最优解，否则 回到step3重复进行。 重复进行。 回到 重复进行
4.3.1指派问题的解法 指派问题的解法———匈牙利解法 指派问题的解法 匈牙利解法 • 这种方法是匈牙利数学家考尼格 这种方法是匈牙利数学家考尼格(Konig) 提出的，因此得名匈牙利解法。 提出的，因此得名匈牙利解法。 • 匈牙利法是针对指派问题的标准型进行 求解。 求解。
0 6 ⇒B= 0 0
13 7 0 0 6 9 = (b ) ij 5 3 2 1 0 0
其每行、 经变换后的效率矩阵 B 中，其每行、每列至少有一个 零元素。 进行得： 零元素。对矩阵 B 零元素按 step2 进行得：
⇒ 0 1 10 2 3 6 9 5 4 0 1 0 3 4 6 0
由解矩阵得最优指派方案为 甲—D，乙—B ，丙—A，丁—C
小时) 小时 总的消耗时间为 min z＝C31+c22+c43+c14=28(小时
• 实例（m<n） 实例（ ）
例
3.5.3 标准指派问题的举例 标准指派问题的举例 个工人甲、 有 4 个工人甲、乙、丙、丁，要指派他们分别
完成 4 项工作 A、B、C、D，每人做各项工作所消耗的时 间如下表所示，问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的 间如下表所示，问指派哪个人去完成哪项工作， 消耗时间为最小? A 甲 乙 丙 丁 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
• step4 在没有被直线覆盖的部分中找出最 小元素，然后在打√号的行各元素中都减 小元素，然后在打 号的行各元素中都减 去这最小元素，而在打√号的列的各元素 去这最小元素，而在打 号的列的各元素 都加上这是小元素，以保证原来的0元素 都加上这是小元素，以保证原来的 元素 不变．这样得到新的系数矩阵，若得到n 不变．这样得到新的系数矩阵，若得到 个独立的0元素 则已得到最优解， 元素， 个独立的 元素，则已得到最优解，否则 回到step3重复进行。 重复进行。 回到 重复进行
4.3.1指派问题的解法 指派问题的解法———匈牙利解法 指派问题的解法 匈牙利解法 • 这种方法是匈牙利数学家考尼格 这种方法是匈牙利数学家考尼格(Konig) 提出的，因此得名匈牙利解法。 提出的，因此得名匈牙利解法。 • 匈牙利法是针对指派问题的标准型进行 求解。 求解。
用改进匈牙利法求解一类简单的车辆路线规划问题
列进行反复的选择操作 ， 并且每一点都有且 只有两条连接边， 这样对 Ｔ Ｐ的改进 迭代 就不 能与 单个 选择 同时进 行 。 Ｓ 为了与 Ｔ Ｐ的特殊Ｉ相适应 ， Ｓ 生 我们对匈牙利法做如下改进 ： 把构
造 圈的过 程与 改进 迭代 的过 程分 开 。
２１构造 圈 ．
经典 Ｔ Ｐ可 以描述为 ： Ｓ 一个商 品推销员要 去若干 个城市推 销 商品 ， 该推销员从一个城市 出发 ， 需要经 过所有城 市 （ 一个城市 只 能经过 一次 ） ， 后 回到 出发 地。应如何选 择行进 路线 ， 以使总 的行 程最短。由于其 在交 通运输 、 电路板线 路设计 以及物 流配送等 领 域 内有着广泛的应用 ， 国内外学者对 其进行 了大量 的研究 。早 期 的研究 者使 用精确 算法 求解 该问题 ， 常用 的方法 包括 ： 枝定 界 分 法、 线性规划法和动态规 划法等 。但是 ， 随着 问题规 模 的增大 ， 精 确算法将变得无能为力 ， 因此 ， 在后来 的研 究 中， 内外 学者重 点 国 使 用近似算 法或启发式 算法 ， 主要有 遗传算法 ［ ］ ２ 、 拟退 火 １ ［ ］模 算 法［ ］ １ ］ 蚁群算 法 ［ 【 ］ 禁忌 搜索算 法 ［ ５ 、 ３ ［６ 、 ４】 ５ 、 １ ］ 贪婪 算法 、 局部搜 索［ ７ 、 １ ］ 神经 网络方法 ［ ］ ７ 以及各种启发式算法 的改 进 ６ ［］ 或组合算法 ［ ］ ９ １ ］ ８ ［儿 Ｏ 。 本 文的单参数智 能算法 ， 是从全局寻优的观点出发 ， 在考虑 了 边 与边之 间的相 互影响基础 上对边权进行 归一化处理 ， 依据文 献 ［］ ６ 中提 出的“ Ａ” ＷＴ 准则选边构造 圈。运用遗传算法 中的好基 因 保 留的方法将优 秀的边权 向下一次迭代遗 传 ， 再模 拟蚁群算法 的
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
运筹学指派问题的匈牙利法
运筹学课程设计指派问题的匈牙利法专业：姓名：学号：1.算法思想：匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。
当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。
这种方法总是在有限步內收敛于一个最优解。
该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。
2.算法流程或步骤：1.将原始效益矩阵C的每行、每列各元素都依次减去该行、该列的最小元素，使每行、每列都至少出现一个0元素，以构成等价的效益矩阵C’。
2.圈0元素。
在C’中未被直线通过的含0元素最少的行（或列）中圈出一个0元素，通过这个0元素作一条竖（或横）线。
重复此步，若这样能圈出不同行不同列的n个0元素，转第四步，否则转第三步。
3.调整效益矩阵。
在C’中未被直线穿过的数集D中，找出最小的数d，D中所有数都减去d，C’中两条直线相交处的数都加的d。
去掉直线，组成新的等价效益矩阵仍叫C’，返回第二步。
X=0，这就是一种最优分配。
最低总4.令被圈0元素对应位置的X ij=1,其余ij耗费是C中使X=1的各位置上各元素的和。
ij算法流程图：3.算法源程序：#include<iostream.h>typedef struct matrix{float cost[101][101];int zeroelem[101][101];float costforout[101][101];int matrixsize;int personnumber;int jobnumber;}matrix;matrix sb;int result[501][2];void twozero(matrix &sb);void judge(matrix &sb,int result[501][2]);void refresh(matrix &sb);void circlezero(matrix &sb);matrix input();void output(int result[501][2],matrix sb);void zeroout(matrix &sb);matrix input(){matrix sb;int m;int pnumber,jnumber;int i,j;float k;char w;cout<<"指派问题的匈牙利解法:"<<endl;cout<<"求最大值，请输入1;求最小值，请输入0:"<<endl;cin>>m;while(m!=1&&m!=0){cout<<"请输入1或0:"<<endl;cin>>m;}cout<<"请输入人数(人数介于1和100之间):"<<endl;cin>>pnumber;while(pnumber<1||pnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>pnumber;}cout<<"请输入工作数(介于1和100之间):"<<endl;cin>>jnumber;while(jnumber<1||jnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>jnumber;}cout<<"请输入"<<pnumber<<"行"<<jnumber<<"列的矩阵,同一行内以空格间隔,不同行间以回车分隔,以$结束输入:\n";for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){cin>>sb.cost[i][j];sb.costforout[i][j]=sb.cost[i][j];}cin>>w;if(jnumber>pnumber)for(i=pnumber+1;i<=jnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}else{if(pnumber>jnumber)for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=jnumber+1;j<=pnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}}sb.matrixsize=pnumber;if(pnumber<jnumber)sb.matrixsize=jnumber;sb.personnumber=pnumber;sb.jobnumber=jnumber;if(m==1){k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]>k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=k-sb.cost[i][j];}return sb;}void circlezero(matrix &sb){int i,j;float k;int p;for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][0]=0;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[0][j]=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0){sb.cost[i][0]++;sb.cost[0][j]++;sb.cost[0][0]++;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.cost[i][0]==1){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[0][j]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.cost[0][j]==1){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[i][0]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[i][p]==0&&sb.zeroelem[i][p]==0){sb.zeroelem[i][p]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][p]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}void twozero(matrix &sb){int i,j;int p,q;int m,n;float k;matrix st;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][0]>0)break;if(i<=sb.matrixsize){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){st=sb;if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0){sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[i][q]==0&&sb.zeroelem[i][q]==0){sb.zeroelem[i][q]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(p=i+1;p<=sb.matrixsize;p++){if(sb.cost[p][0]==1){for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(m=1;m<=sb.matrixsize;m++)if(sb.cost[m][q]=0&&sb.zeroelem[m][q]==0){sb.zeroelem[m][q]=2;sb.cost[m][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++){if(sb.cost[0][q]==1){for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][q]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(n=1;n<=sb.matrixsize;n++)if(sb.cost[p][n]==0&&sb.zeroelem[p][n]==0){sb.zeroelem[p][n]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][n]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}sb=st;}}}void judge(matrix &sb,int result[501][2]){int i,j;int m;int n;int k;m=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)m++;if(m==sb.matrixsize){k=1;for(n=1;n<=result[0][0];n++){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)break;if(i<=sb.personnumber&&j<=sb.jobnumber)if(j!=result[k][1])break;k++;}if(i==sb.matrixsize+1)break;elsek=n*sb.matrixsize+1;}if(n>result[0][0]){k=result[0][0]*sb.matrixsize+1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){result[k][0]=i;result[k++][1]=j;}result[0][0]++;}}else{refresh(sb);}}void refresh(matrix &sb){int i,j;float k;int p;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=1;break;}}while(k==0){k=1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][0]==0){sb.zeroelem[i][0]=2;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==2){sb.zeroelem[0][j]=1;}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==1){sb.zeroelem[0][j]=2;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=0;k=0;}}}}p=0;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]!=2)if(p==0){k=sb.cost[i][j];p=1;}else{if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];}}}}for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==2)for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]+k;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;circlezero(sb);}void zeroout(matrix &sb){int i,j;float k;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){k=sb.cost[i][1];for(j=2;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){k=sb.cost[1][j];for(i=2;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}}void output(int result[501][2],matrix sb) {int k;int i;int j;int p;char w;float v;v=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){v=v+sb.costforout[i][result[i][1]];}cout<<"最优解的目标函数值为"<<v;k=result[0][0];if(k>5){cout<<"解的个数超过了限制."<<endl;k=5;}for(i=1;i<=k;i++){cout<<"输入任意字符后输出第"<<i<<"种解."<<endl;cin>>w;p=(i-1)*sb.matrixsize+1;for(j=p;j<p+sb.matrixsize;j++)if(result[j][0]<=sb.personnumber&&result[j][1]<=sb.jobnumber)cout<<"第"<<result[j][0]<<"个人做第"<<result[j][1]<<"件工作."<<endl;}}void main(){result[0][0]=0;sb=input();zeroout(sb);circlezero(sb);output(result,sb);}4. 算例和结果：自己运算结果为：->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3302102512010321->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡330110241200032034526635546967562543----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡可以看出：第1人做第4件工作；第2人做第1件工作；第3人做第3件工作；第4人做第2件工作。
最短路径、指派、运输问题
第二步：进行试指派以寻求最优解。
（1）进行行检验：从只有一个0元素的行开始，给这 个0元素加（），记作（0）；再划去（0）所在列的其它 0元素，记作φ。若遇到有两个0元素以上的行，先放下。 （2）进行列检验：给只有一个0元素的列0元素加（） ，记作（0）；然后划去（0）所在行的0元素，记作φ。 （3）再对两个以上0元素的行和列标记，任意取一个 加（）。
B1 A1 A2 A3 4 7 6
B2 8 9 9
B3 7 17 12
B4 15 14 8
B5 12 10 7
A4
A5
6
6
7
9
14
12
6
10
10
6
三、其它指派问题
（1）目标函数求最大值的指派问 题 对于此问题可做一个新的 矩阵B=(bij)。找出原矩阵的最 大元素m，令B=(bij)=m-cij
∑
产 量 与 销 量 平 衡
解： 设产地Ai到销地Bi的运量为xij，由问题构造运量平衡表
可以知道：
（1）产销平衡 （2）Ai运出量等于产量 （3）Bj运入量等于销量
a b
i 1 i j1
m
n
j
x
j 1
n
ij
ai
x
i 1
m
ij
bj
运量平衡表
销地Bi 运价 产地Ai A1 A2 C11 C21 C12 C22 B1 B2
4 2 (cij ) 4 3 3 3 3 2 4 6 5 6 1 - 1 3 5 - 2 0 1 4 - 3 5 -2 1 2 1 0 0 3 0 - 1 3 4 3 - 2 0 1 2 1-3 4 3 -2 1 -2 2 1 0 0 1 2 0 2 0 3 (b ) ij 1 3
匈牙利算法在货位优化方面的应用
经济管理匈牙利算法在货位优化方面的应用李旭坤建东职业技术学院摘要：本文在对匈牙利算法及其原理深入理解的基础上，利用匈牙利算法对货位优化问题的数学模型进行求解，把它运用到企业实际的货位优化问题当中，从而降低货物在储存过程及搬运过程中的损耗，充分利用储存空间，降低物流作业的成本。
关键词：货位优化；匈牙利算法中图分类号：O157文献标识码：A文章编号：1001-828X（2015）007-000095-01一、货位优化问题研究货位优化是用来确定每一货品的恰当储存方式。
以及在恰当储存方式下的空间储位分配。
简言之，货位优化的目的是提高工作效率、空间利用率，最终降低成本。
货位指派的优化本质上也是关于优化算法的实现问题，匈牙利算法比较简单、易操作，所以被广为使用。
二、匈牙利算法在货位优化中的应用假设某仓库n种货物，我们可以有上述算法在计算机的帮助下进行优化，为了表达方便，我们选取5种货物来加以说明。
设有：甲，乙，丙，丁，戊5种货物且处于货位优化原则的同一级别，现有A,B,C,D,E,F5个货位。
货物放在各货位的成本如下，求怎样分配货位使储货的总成本最小。
货位货物A B C D E甲乙丙丁戊22243521292721252320241728162424172724252823342234解题时按第一步，将这系数矩阵进行变换。
经运算即每行每列都有0元素的系数矩阵，再按上述步骤运算，这里○的个数m=4，而n=5；这时应按以下步骤继续进行。
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素，以确定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。
为此按以下步骤进行:(1)对没有○的行打√号；(2)对已打√号的行中所有含×元素的列打√号；(3)再对打有√号的列中含○元素的行打√号；(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；(5)对没有打√号的行画一横线，有打√号的列画一纵线，这就得到覆盖所有O元素的最少直线数。
令这直线数为l。
运筹学中匈牙利算法解题步骤
运筹学中匈牙利算法解题步骤解题步骤：指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。
利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。
第一步：变换指派问题的系数矩阵（c ij）为(b ij)，使在(b ij)的各行各列中都出现0元素，即(1) 从（c ij）的每行元素都减去该行的最小元素；(2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。
在(b ij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(x ij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。
找独立0元素，常用的步骤为：(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。
然后划去◎所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。
(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø．(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。
(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。
然后划掉同行同列的其它0元素。
可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
(5)若◎元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。
若m < n, 则转入下一步。
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。
(1)对没有◎的行打√号；(2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号；(3)再对打有√号的列中含◎元素的行打√号；(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。
用改进的匈牙利算法求解运输问题
用改进的匈牙利算法求解运输问题李雪娇，于洪珍中国矿业大学信电学院，江苏徐州 (221008)Email ：liaohuchushan@摘 要：本文提出用改进的匈牙利算法求解运输问题。
此算法不但可以直接求取最优解，而且在运量受限制的运输问题中有很好的应用。
关键词：改进，匈牙利算法，运输问题，最优解0. 引言在现实生活中，我们常常会遇到许多运输问题。
运输问题的求解多采用表上作业法。
在此方法中，我们需要先利用最小元素法或西北角法求出一组基本可行解，再对此解检验其最优性。
若此解非最优解，则又要进行解的改进。
这一过程比较麻烦，尤其对一些结构不太大的模型，编程时往往过于繁琐。
同时，经典运输问题在实际应用中有很大的局限性, 对一些运输量受限制或运输能力受限制的运输问题，我们无法用表上作业法直接求取。
在此，我们采用改进的匈牙利算法处理这类运输问题。
为了便于描述，设物资供应量12[...]m A a a a =，物资需求量12[...]n B b b b =，从到i A j B 的单物的物资运价，最小运输量 (假设m )。
i j C i j L n >1. 匈牙利算法[1][4]匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行和列，使得每行和每列中至少有一个零元素。
经过一定的变换，得到不同行、不同列只有一个零元素。
从而得到一个与这些零元素相匹配的完全分配方案。
这种方法总是在有限步内收敛于一个最优解。
该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优解的分配。
求解步骤如下：第一步：使指派问题的系数矩阵经变换后，在各行各列中都出现零元素，即从系数矩阵的每行（或列）元素中减去该行（或列）的最小元素。
第二步：寻求找n 个独立的零元素，以得到最优解：（1）从只有一个0元素的行（或列）开始，对这个0元素加圈，记为θ。
然后划去此元素所在列（或行）的其他0元素，记作∅。
反复进行，直到所有的0元素被划完。
（2）若仍有没有划圈的0元素，则从剩有0元素最少的行开始，比较这行0元素所在各列中0元素的数目，选择0元素少的那列的0元素加圈θ，然后划掉同行同列的其他0元素，反复进行直到所有的0元素被划掉或圈出。
《运筹学匈牙利法》课件
总结
匈牙利算法的优缺点和适 用范围
匈牙利算法具有较高的精度和效 率，但受数据结构限制，应用对 象有一定局限性。
匈牙利算法的进一步研究 方向
运筹学在日常生活中的重 要性和应用前景
未来可继续深入探究匈牙利算法 和其他优化算法在实际问题中的 应用，完善算法理论和算法应用。
随着科技的不断发展，运筹学在 日常生活中的应用前景越来越广 泛，对提高效率和优化资源分配 具有重要意义。
的权值之和达到最大。
解决方案
匈牙利算法
匈牙利算法是解决二分图匹 配问题最经典的算法之一， 在求解最大权匹配和最小路 径覆盖问题方面都有广泛应 用。
拓展匈牙利算法
拓展匈牙利算法是一种扩展 了匈牙利算法的新算法，可 以有效解决复杂数据结构中 的匹配问题。
Байду номын сангаас
应用案例分析
将匈牙利算法应用于实际问 题的案例分析，深入了解如 何应用该算法求解实际问题， 加深理解和应用。
匈牙利法的目的和意义
匈牙利法可以帮助我们有效解决 二分图匹配问题，例如任务分配、 稳定婚姻问题等。
问题解析
1
最小路径覆盖问题
指在一个有向无环图（DAG）里选出尽
最大权匹配问题
2
可能少的路径，这些路径覆盖了DAG图 上的每个点恰好一次。
是一类用二分图描述的优化问题，给定
一个二分图，找到一个匹配使得匹配边
《运筹学匈牙利法》PPT 课件
运筹学匈牙利法是一种优化算法，用于解决二分图匹配问题。本课件将介绍 匈牙利法的背景、意义、解析以及应用案例分析。
背景介绍
运筹学在实际生活中的应用 匈牙利法的提出背景
运筹学的方法广泛应用于物流、 交通、能源、金融等领域，帮助 优化资源分配，提高效率。
基于匈牙利算法的物流运输调度问题研究
基于匈牙利算法的物流运输调度问题研究张国辉;党世杰【摘要】物流运输调度问题是一类求解难度较高的运输问题，在制定合理的调度方案时，实现物流运输成本最低以及物流企业利润最大是调度方案决策者迫切需要解决的问题。
分析了物流运输调度问题的特点，建立了以物流运输成本最小为目标函数的物流运输调度模型，并使用匈牙利算法求解该模型，得到物流运输成本最低的调度方案，验证了模型的可行性和算法的有效性。
%In this paper, we analyzed the characteristics of the logistics transportation scheduling problem, built the logistics transportation scheduling model with cost minimization as the objective function, and at the end, used the Hungarian algorithm to solve it to obtain the scheduling plan with the minimal logistics transportation cost, thus demonstrating the feasibility and validity of the model.【期刊名称】《物流技术》【年(卷),期】2016(035)001【总页数】3页(P117-119)【关键词】匈牙利算法;物流运输调度;MATLAB【作者】张国辉;党世杰【作者单位】郑州航空工业管理学院管理科学与工程学院，河南郑州 450015;郑州航空工业管理学院管理科学与工程学院，河南郑州 450015【正文语种】中文【中图分类】F252;F224物流运输成本不仅影响企业服务水平，还决定企业运作成本。
据了解，发达国家的物流成本平均占成品最终成本的10%-15%，而我国的此项比重高达30%-40%。
匈牙利解法
任务二 运输路线的优化技术
• 四、节约里程法 • 配送路线是指各送货车辆向各个客户送货时所要经过的路 线。配送路线合理与否对配送速度、成本、效益影响很大， 采用科学的、合理的方法来优化配送路线，是配送管理中 非常重要的工作。
任务二 运输路线的优化技术
• 2、配送路线优化的方法 • （1）VSP网络图的原理 • 在有很多配送去向的情况下，使用多少辆车，各 辆车按照什么路线运行才能使整个运行距离最短， 或使配送费用最低，这是配送路线优化的问题。 解决这一问题的最有代表性的方法是VSP （Vehicle Scheduing Program）网络图。VSP 可称为车辆安排程序方法。 •
• 解：①作一个没有对流的流向图，用“去线破圈”的方法， 去一线破一圈，有几个圈去掉几条线，把有圈的交通图， 化为不成圈的交通图。一般是去掉长度最长的交通线，比 如，去掉Ａ1Ｂ4（7km），破A1B1B2A3B4圈，在去掉 A3B3线（4km），破B2A2B3A3圈，这样，原来有圈的 交通图，变成了不成圈的交通图。
任务一
运输方式的选择
• (二)考虑竞争因素的方法 • 运输方法的选择如直接涉及到竞争优势，则应采用考虑竞 争因素的方法。当买方通过供应渠道从若干个供应商处购 商品时，物流服务和价格就会影响到买方对供应商的选择。 反之，供应商也可以通过供应渠道运输方式的选择控制物 流服务的这些要素，影响买方的惠顾。 •
任务二 运输路线的优化技术
• ②用于求检验数的方法——位势法 • ③用霍撒克法则检验 检验数Aij=Cij-（Ui+Vj）>=0，否 则要进行调整。 • 新方案是否是最优方案，还需要对它进行检验。经计算， 该新方案的所有检验数都是非负的，说明这个方案已经是 最优调运方案了。
Lingo 求解运输问题
开始endinit结束对集合的属性结束对集合的属性数组定义初值因为求解算法一般是迭代算法所以用户如果能给出一个比较好的迭代初值对提高算法的计算效果是有益的因为求解算法一般是迭代算法所以用户如果能给出一个比较好的迭代初值对提高算法的计算效果是有益的
LINGO简介
（Linear Interactive General Optimizer）
j=1
8
6
xij=bj （j=1,2,……,8)
i=1
xij0
（ i=1,2,……,6 ；j=1,2,……,8)
使用LINGO软件，编制程序如下：
data: model: capacity=60 55 51 43 41 52; !6发点8收点运输问题; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; sets: cost=6 2 6 7 4 2 9 5 warehouses/wh1..wh6/: capacity; 49538582 vendors/v1..v8/: demand; 52197433 links(warehouses,vendors): cost, volume; 76739271 endsets 23957265 !目标函数; 5 5 2 2 8 1 4 3; min=@sum(links: cost*volume); enddata end !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据;
setname [/member_list/] [: attribute_list]; 其中setname为定义的集合名，member_list为元素列表， attribute_list为属性列表。元素列表可以采用显式列举法(即直 接将所有元素全部列出,元素之间用逗号或空格分开),也可以采 用隐式列举法，隐式列举法可以有几种不同格式。
LINGO简介
（Linear Interactive General Optimizer）
j=1
8
6
xij=bj （j=1,2,……,8)
i=1
xij0
（ i=1,2,……,6 ；j=1,2,……,8)
使用LINGO软件，编制程序如下：
data: model: capacity=60 55 51 43 41 52; !6发点8收点运输问题; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; sets: cost=6 2 6 7 4 2 9 5 warehouses/wh1..wh6/: capacity; 49538582 vendors/v1..v8/: demand; 52197433 links(warehouses,vendors): cost, volume; 76739271 endsets 23957265 !目标函数; 5 5 2 2 8 1 4 3; min=@sum(links: cost*volume); enddata end !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据;
setname [/member_list/] [: attribute_list]; 其中setname为定义的集合名，member_list为元素列表， attribute_list为属性列表。元素列表可以采用显式列举法(即直 接将所有元素全部列出,元素之间用逗号或空格分开),也可以采 用隐式列举法，隐式列举法可以有几种不同格式。
基于改进匈牙利算法的航路网络延误优化
收稿日期：２０１８ ０９ ０６；修回日期：２０１８ １１ ０５ 基金项目：国家自然科学基金与中国民用航空局联合基金资助项目（Ｕ１６３３１２４）；国家自然科学基金资助项目（４１５０１４３０） 作者简介：王莉莉（１９７３ ），女，陕西兴平人，教授，博士，主要研究方向为空中交通管理、空域规划（ｗｈｃｘｙｔｊ＠ｆｏｘｍａｉｌ．ｃｏｍ）；王航臣（１９９４ ），男，河北临城人，硕士研究生，主要研究方向为空中交通流量管理．基于改进匈牙利算法的航路网络延误优化王莉莉，王航臣（中国民航大学天津市空管运行规划与安全技术重点实验室，天津３００３００）摘 要：针对我国航路网络流量分配依靠管制员经验，缺乏量化模型协助决策这一问题，对航路网络的延误优化模型及其求解算法展开研究。
首先，建立了目标函数为总航行时间最小、带容量约束的流量指派模型；其次，针对经典匈牙利算法只适用于中小型运算的问题，在效率矩阵的计算上作出加圈的零元素个数最大概率与效率矩阵的阶数相等的改进；再次，根据航路运行效率随时间和流量变化的特点，使用Ｍ／Ｍ／Ｃ排队论模型构建了航路的费用函数，用变化的费用替代效率矩阵中不变的效率值，使效率矩阵随时间和流量变化；最后，以中南空管局与西南空管局２０１６年１１月部分空域的实际运行数据作为算例验证该模型与算法。
结果表明，在通行能力优化方面，算法能将进场通行能力提升８．３７２％，离场通行能力提升８．９９９％；在延误优化方面，能降低每架航空器平均延误；在算法性能方面，具有比经典匈牙利算法迭代次数少、求解时间短的优点，更适用于实际的管制运行。
关键词：航空运输；延误优化；匈牙利算法；航路网络；指派问题；费用函数中图分类号：Ｖ３５５．１；ＴＰ３９１．９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１ ３６９５（２０２０）０３ ０２６ ０７５９ ０４ｄｏｉ：１０．１９７３４／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ ３６９５．２０１８．０９．０６３６Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｅｎ ｒｏｕｔｅｎｅｔｗｏｒｋｄｅｌａｙｂａｓｅｄｏｎｉｍｐｒｏｖｅｄＨｕｎｇａｒｉａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍＷａｎｇＬｉｌｉ，ＷａｎｇＨａｎｇｃｈｅｎ（ＣｈｉｎａＴｉａｎｊｉｎＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＡＴＣＯｐｅｒａｔｉｏｎＰｌａｎｎｉｎｇ＆ＳａｆｅｔｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＣｉｖｉｌＡｖｉａｔｉｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００３００，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｕｅｔｏｃｏｐｅｗｉｔｈｒｅｌｙｉｎｇｏｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓｂａｄｌｙａｎｄｌａｃｋｉｎｇｏｆｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｍｏｄｅｌｓｔｏａｓｓｉｓｔｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍａｋｉｎｇｉｎａｉｒｔｒａｆｆｉｃｆｌｏｗｍａｎａｇｅｍｅｎｔ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｄｅｌａｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｎｄｉｔｓｓｏｌｖｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｒｏｕｔｅｎｅｔｗｏｒｋ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｉｔｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｔｒａｆｆｉｃｆｌｏｗａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｍｏｄｅｌｗｉｔｈｔｈｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｍｉｎｉｍｕｍｆｌｉｇｈｔｔｉｍｅａｎｄｃａｐａｃｉｔｙｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｓｅｃｏｎｄ ｌｙ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈａｔｃｌａｓｓｉｃａｌＨｕｎｇａｒｉａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｗａｓｏｎｌｙｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒｓｍａｌｌａｎｄｍｅｄｉｕｍ ｓｉｚｅｄｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ，ｉｔｍａｄｅｔｈｅｉｍｐｒｏｖｅ ｍｅｎｔｏｆｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｍａｔｒｉｘｂｙｍａｋｉｎｇｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｚｅｒｏｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎｔｈｅｃｉｒｄｅｅｑｕａｌｔｏｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｍａｔｒｉｘ．Ｎｅｘｔ，ｉｔｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｔｈｅｃｏｓｔｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｎ ｒｏｕｔｅｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅＭ／Ｍ／Ｃｑｕｅｕｉｎｇｔｈｅｏｒｙｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｒｅｐｌａｃｅｄｔｈｅｃｏｎｓｔａｎｔｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｖａｌｕｅｉｎｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｍａｔｒｉｘｗｉｔｈａｖａｒｉａｂｌｅｃｏｓｔ，ｍａｄｅｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｍａｔｒｉｘｃｈａｎｇｅｗｉｔｈｔｉｍｅａｎｄｆｌｏｗ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｉｔｔｏｏｋｐａｒｔａｉｒｓｐａｃｅｓｏｆＣｈｉｎａａｎｄｔｈｅａｃｔｕａｌｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌｄａｔａｏｆ２０１６ａｓｅｘａ ｍｐｌｅｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｉｎｃｒｅａｓｅｔｈｅａｃｃｅｓｓｃａｐａｃｉｔｙｂｙ８．３７２％ａｎｄｔｈｅｄｅｐａｒｔｕｒｅｃａｐａｃｉｔｙｂｙ８．９９９％；Ｉｎｔｅｒｍｓｏｆｄｅｌａｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ｉｔｃａｎｒｅｄｕｃｅｔｈｅａｖｅｒａｇｅｄｅｌａｙｏｆｅａｃｈａｉｒｃｒａｆｔ．Ｉｎｔｅｒｍｓｏｆａｌｇｏｒｉｔｈｍｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ，ｉｔｈａｓｌｅｓｓｉｔｅ ｒａｔｉｏｎｓａｎｄｌｅｓｓｓｏｌｕｔｉｏｎｔｉｍｅｔｈａｎｔｈｅｃｌａｓｓｉｃａｌＨｕｎｇａｒｉａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄｉｓｍｏｒｅｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒａｃｔｕａｌｃｏｎｔｒｏｌｏｐｅｒａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｉｒｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ；ｄｅｌａｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；Ｈｕｎｇａｒｉａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｅｎ ｒｏｕｔｅｎｅｔｗｏｒｋ；ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｐｒｏｂｌｅｍ；ｃｏｓｔｆｕｎｃｔｉｏｎ０ 引言航路网络作为空中交通系统的运行载体，其运行效率的高低直接决定了系统的运行效率［１］。
基于匈牙利算法的运输问题改进算法
基于匈牙利算法的运输问题改进算法张雨晨;王竹芳【摘要】基于运输问题的模型和特点,提出了一种与匈牙利算法结合的改进算法,匈牙利算法作为一种较成熟的基本算法,在计算运输问题时省去大量求解检验数的计算.改进算法将运输问题分解成多个指派问题,利用匈牙利算法求解分解后的指派问题,最后将所有指派问题的结果求和得到最优解.给出了一个改进算法的案例,详细的介绍了改进算法的计算过程,证明了改进算法的有效性.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2019(038)004【总页数】5页(P78-82)【关键词】匈牙利算法;运输问题;改进算法【作者】张雨晨;王竹芳【作者单位】沈阳工业大学管理学院,沈阳110870;沈阳工业大学管理学院,沈阳110870【正文语种】中文【中图分类】F224.320 引言当前求解运输问题最行之有效的方法就是表上作业法，表上作业法判断运输问题是否求得最优解的方法就是求解检验数，当产地和销地较多时，就需要大量的计算来求解检验数。
当有m个产地n个销地时，以位势法为例，初始解就需要计算（m×n）-（m+n-1）个检验数，若求得的检验数存在小于零的情况，则需要进行调整，当需要调整k次时，总的求解检验数的计算量为k×{（m×n）-（m+n-1）}次[1]，大量的计算过程导致了在多产地多销地的问题上表上作业法的复杂性较高，甚至存在找不到闭回路无法继续计算的情况。
匈牙利算法作为一种较成熟的方法，已经多次的应用在运输问题的求解上，但大多只是使用了匈牙利算法的思想与原本的运输问题方法相结合。
夏少刚[2，3]在求解运输问题的一种新算法中，提出了在表上作业法应用匈牙利算法的思想，成功地将指派问题的标号算法应用于运输问题中，对单位运价表进行行列变换，得到一个每行每列均有0元素的矩阵，然后根据产量和销量对行列进行分配，最后按照最小调整差的方法进行调整。
林建、郭强[4，5]提出了将运输问题转换成网络最短路的算法，该算法打破了传统运输问题的表上作业法，可以同时解决平衡和不平衡运输问题，适用性更广。
利用改进匈牙利算法求解旅行商问题
利用改进匈牙利算法求解旅行商问题
梁喻;陈明明;刘凡
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2024(24)14
【摘要】针对传统的匈牙利算法在求解旅行商问题(travelling salesman problem,TSP)时会导致多回路闭合的问题,提出了破环机制,设计了破环匈牙利算法。
通过采用分配问题的描述方法对旅行商问题进行建模,并建立二者之间的转换关系,
论证了TSP可行解的充分必要条件是对应分配问题的可行解与辅助边结合后仅包
含一个环路,对6个标准旅行商进行测试和对比分析,验证算法的有效性。
实验结果表明:在不同的数据集中,改进匈牙利算法能有效求出TSP问题的解。
【总页数】8页(P5920-5927)
【作者】梁喻;陈明明;刘凡
【作者单位】兰州交通大学交通运输学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9
【相关文献】
1.利用改进的随机松弛法求解旅行商问题
2.改进遗传算法求解旅行商问题
3.基于改进的乌鸦搜索算法求解旅行商问题
4.基于DE算法的改进ACO算法求解旅行商问题
5.求解旅行商问题的改进k-opt遗传算法
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
匈牙利方法在运输问题初始优化解上的推广
匈牙利方法在运输问题初始优化解上的推广
岳贵新
【期刊名称】《沈阳理工大学学报》
【年(卷),期】2001(020)003
【摘要】介绍了一种将求解指派问题的匈牙利法推广到求解一般运输问题的方法,并建立了确定运输问题初始方案的广义匈牙利法.
【总页数】5页(P70-74)
【作者】岳贵新
【作者单位】辽宁省交通高等专科学校基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O244
【相关文献】
1.运输问题的简便解法——匈牙利法的推广使用 [J], 刘赐臣;孟令宝;刘克靖;
2.运输问题的简便解法——匈牙利法的推广使用 [J], 刘赐臣;孟令宝;刘克靖
3.运输问题中一种有效降低初始目标函数值的方法 [J], 朱凯;叶祥企;李佳
4.寻找运输问题初始可行解的启发式方法 [J], 廖宇波
5.寻找运输问题初始可行解的启发式方法 [J], 廖宇波
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用改进的匈牙利算法求解运输问题李雪娇，于洪珍中国矿业大学信电学院，江苏徐州 (221008)Email ：liaohuchushan@摘 要：本文提出用改进的匈牙利算法求解运输问题。
此算法不但可以直接求取最优解，而且在运量受限制的运输问题中有很好的应用。
关键词：改进，匈牙利算法，运输问题，最优解0. 引言在现实生活中，我们常常会遇到许多运输问题。
运输问题的求解多采用表上作业法。
在此方法中，我们需要先利用最小元素法或西北角法求出一组基本可行解，再对此解检验其最优性。
若此解非最优解，则又要进行解的改进。
这一过程比较麻烦，尤其对一些结构不太大的模型，编程时往往过于繁琐。
同时，经典运输问题在实际应用中有很大的局限性, 对一些运输量受限制或运输能力受限制的运输问题，我们无法用表上作业法直接求取。
在此，我们采用改进的匈牙利算法处理这类运输问题。
为了便于描述，设物资供应量12[...]m A a a a =，物资需求量12[...]n B b b b =，从到i A j B 的单物的物资运价，最小运输量 (假设m )。
i j C i j L n >1. 匈牙利算法[1][4]匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行和列，使得每行和每列中至少有一个零元素。
经过一定的变换，得到不同行、不同列只有一个零元素。
从而得到一个与这些零元素相匹配的完全分配方案。
这种方法总是在有限步内收敛于一个最优解。
该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优解的分配。
求解步骤如下：第一步：使指派问题的系数矩阵经变换后，在各行各列中都出现零元素，即从系数矩阵的每行（或列）元素中减去该行（或列）的最小元素。
第二步：寻求找n 个独立的零元素，以得到最优解：（1）从只有一个0元素的行（或列）开始，对这个0元素加圈，记为θ。
然后划去此元素所在列（或行）的其他0元素，记作∅。
反复进行，直到所有的0元素被划完。
（2）若仍有没有划圈的0元素，则从剩有0元素最少的行开始，比较这行0元素所在各列中0元素的数目，选择0元素少的那列的0元素加圈θ，然后划掉同行同列的其他0元素，反复进行直到所有的0元素被划掉或圈出。
（3）若元素的数目m 等于矩阵的阶数，那么指派问题的最优解已得到。
若m ，则转入下一步。
n n <第三步：作最少的直线覆盖所有0元素，以确定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数：若l ，必须再变换当前的系数矩阵，才能找到个独立的0元素，为此转第四步；若l ，而，应回到第二步（2），另行试探。
n <n n =m n <第四步：在没有被直线覆盖的部分中找到最小元素。
然后在打√行各元素都减去这个最小元素，而在打列的各元素都加上这个最小元素，这样得到一个新的矩阵。
重复第二步到第三步。
√2. 改进的匈牙利算法2.1 算法思想以最小运输量为分配目标，每次分配都为当前已分配的最优解，因此，当完成所有运输任务后，得到的是一个全局最优解。
同时，由于匈牙利算法解决的指派问题具有0-1整形和运输问题的双重特点。
因此，改进的匈牙利算法可以解决有运量限制或存在相互排斥条件的运输问题。
由于在匈牙利算法中，效益矩阵的任何行或列加上或减去一个常数后不会改变最优解的分配，所以运用匈牙利算法可以使得初始可行解对应的目标函数值显著减小,使之更为逼近最优解，从而减少迭代次数、减少计算量。
2.2 具体实现步骤1. 将不平衡指派转化为平衡指派问题设置一些虚拟的行或列向量，以0元素填充，使得矩阵变为一个C m m ×的方阵。
2. 找出Α,向量中的最小值，记录下该最小值所在的向量及坐标。
将此最小值和L 中的最小非零值比较，得出三者中的最小。
若L 中的非零值较小且L 较大时，只需记录此非零值及其对应的行和列。
Βi j L 3. 若最小值在或A B 向量中，直接对矩阵C 运用匈牙利算法求得最优指派矩阵()M i 。
若在中，则将最小值在中对应的行和列删除，再用匈牙利算法求得一最优分配矩阵L i j L C ()M i ，在()M i 矩阵中添加第i 行和第j 列，使得ij M 处为1，其余添加元素为0。
将向量、A B 中已分配部分减去该最小值，除去含零向量中的零元素，得到一组新的向量、A B 。
将的最小非零值置零。
L 4. 将缩减的矩阵中恢复成m 矩阵。
对已缩减掉的元素用0填充。
若最小值在中，则将第行、n ×L i j 列的元素置1，其它元素不变。
5. 重置矩阵C 。
假设该最小值为行（或列）的第个元素，则删除C 中第k 行（或第列），得到一个新的效益矩阵C 。
k k 6. 重复1~5，直到、A B 中的元素全为0。
7. 将矩阵()M i 经加权后得矩阵。
则矩阵即为最优分配方案。
()d i S S 3. 算例分析3.1 问题某公司经销甲产品。
它下设三个加工厂。
每日的产量分别为：A 1为7吨， 为4吨，为9吨。
该公司把这些产品分别运往四个销售点。
各销售点每日销售为：A 2A 3B 1为3吨，B 2为6吨，B 3为5吨，B 4为6吨。
要求A 1厂的产品至少分配2吨给B 3。
已知从各工厂到销售点的单位产品的运价如表1下：问该公司如何调运产品，在满足各销点的需要量的前提下，使总运费为最少。
表13.2 求解过程 第一步：添加（假设）个虚拟的加工厂，并赋予加工厂到销售点完成这些虚拟运输的费用为0。
此时，问题转化为产地和销售点数目相等的指派问题。
m n −m n >3113101928741050000C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦第二步：列出描述生产量和销售量的向量及约束矩阵，比较得出最小值。
13L [749]A = [3656]B =(1)min(,)d A B = 132L =第三步；用匈牙利算法求解，得出运输量都为的分配方案，矩阵中的表示第个生产商运输货物到第13L (1)M 1ij m =i j 个销售点。
完成第一次分配以后，重新计算各生产点的货物量和销售点的需求量,得到新的向量、A B 。
10010(1)10000100C M 6θ4⎡⎤⎡⎤⎢⎥θ5∅3⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥6θ8∅⎢⎥⎢⎥⎣⎦∅∅∅θ⎣⎦[527]A = [1436]B =3113101928741050000C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦第四步：从上面的分配可以看出，B 1销售点的需求量得到满足。
将B 1（最小值所在的位置）从B 删除。
重新组合、A B 得到新的矩阵。
C 10010(2)10000100C M 6θ4⎡⎤⎡⎤⎢⎥θ5∅3⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥6θ8∅⎢⎥⎢⎥⎣⎦∅∅∅θ⎣⎦[416]A =[0326]B =[326]B =第五步：重复步骤1~4，实现剩余量的再分配：1）.循环三：113103*********(3)00014105110100C C M θθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢=⇒=∅⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢∅⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎦[35]A =[215]B =113104105C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在此分配过程中，我们得到第二次分配方案。
此时，A (3)M 2产品全部销售完，还有、A A 13、B 2、B 3、B 4尚待分配，重新组合后得到上面的矩阵C 。
2）.循环四：对矩阵设置虚拟的行，然后用匈牙利算法直接求取。
C (3)1d = 113575001041057(4)00000000100C C M θθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢=⇒=∅⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢∅∅⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎦[24]A =[15]B = 在此过程中，B 3的需求量得到满足，B 3不再参与分配。
3）.循环五、六、七的结果如下：(4)1d = 000111101(5)00004510100C C M θθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦[13]A =[4]B =00001005(6)0000500001C C M θθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∅⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦0001(7)00000000M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦执行完以上三次循环后，、A B 矩阵全都为空。
此时，分配完成。
第六步：利用系数加权，我们求得分配结果为S ，S 得到最优运输方案。
01000100010000131000100011000010000010001000100010000000001005230000100003001000100000603S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=×+×+×+×⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+×+×=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦随着产品的不断分配，生产点和销售点的生产和需求不断被满足，反映在矩阵C不断变小，从而在若干步长内收敛完全，完成整个运输过程。
4 结论本文主要研究了运输量受约束的运输问题，并提出了改进的匈牙利算法求得最优解，给出了算法实例，说明了改进的匈牙利算法应用于运输问题的求解时可以实现对运输量限制的最优分配，具有较强的可行性。
在结构不大的运输问题中或产量和销量中有许多相等量的大结构中，可以实现算法的快速收敛。
参考文献[1]《运筹学》教材编写组. 《运筹学》（第三版）,北京清华大学出版社 2005[2] 朱德通编. 《运筹学》, 上海人民出版社 2000[3] 胡运全主编郭耀煌副主编.《运筹学教程》（第二版） , 北京清华大学出版社 2003[4]焦吉成《对匈牙利算法的改进及其应用实例》山东冶金第22卷第二期 2000.4Use the Improved Hungry Algorithm to SolveTransportation ProblemLi Xuejiao，Yu HongzhenThe School of Information and Electrical Engineering of China University of Mining andTechnology, Xuzhou (221008)AbstractDeveloped Hungry algorithm was given to solve the transportation problem in this paper. Using this algorithm you can get the optimal solution directly,and while ,it can make good use in transport problems with quantity limits .Keywords:Improved Hungry Algorithm Transportation problem Optimal solution作者简介：李雪娇，20岁，女，汉族，山东省临沂市郯城县。