基于匈牙利算法的指派问题优化分析

指派问题实例研究报告指派问题是一种在组织或团队中分配资源或任务的决策问题。

指派问题的目标是在给定的约束条件下，找到最佳的分配策略，以最大化整体效益或满足特定的目标。

以下是一个指派问题实例的研究报告：标题：某医院护士调班指派问题研究报告一、背景介绍某医院的护士人员经常需要调整工作班次，以适应不同的工作需要和员工的个人需求。

然而，手动调整班次非常耗时且容易出错。

为解决这个问题，研究团队决定使用指派问题的方法来自动化调班过程，提高整体效率和员工满意度。

二、问题描述该医院有10个护士，每天有3个班次，分别为早班、中班和晚班。

每个班次需要不同数量的护士进行工作，早班需要4个护士，中班需要3个护士，晚班需要3个护士。

护士们的个人需求不同，包括对班次的偏好和工作时长的限制。

研究团队的目标是找到一种最佳的调班指派策略，使得整体的工作需求得到满足，同时最大限度地满足护士的个人需求。

三、问题建模研究团队将这个指派问题建模为一个二部图匹配问题，其中：- 每个护士是一个节点，表示第一部分。

- 每个班次是一个节点，表示第二部分。

- 然后建立起两部分节点之间的边。

根据班次的需求量和护士的个人需求进行边的权重赋值。

四、算法实现研究团队选择使用匈牙利算法来解决这个指派问题。

该算法能够在多项式时间内找到最大匹配，以满足所有的需求。

该算法的具体实现过程如下：1. 初始化所有边的权重。

2. 选取一条边进行匹配。

3. 如果找到了一条可行路径，将匹配进行调整。

4. 如果找不到可行路径，将权重进行调整并回到第二步。

5. 重复前面几步，直到找到最优解或无法找到新的匹配。

五、结果分析通过实际测试和模拟实验，研究团队发现，使用匈牙利算法可以高效地解决护士调班指派问题。

该算法能够在合理的时间内找到最佳的调班方案，满足医院的工作需求，并且最大程度地满足护士的个人需求，提高员工满意度和工作效率。

六、结论本研究报告基于指派问题实例，研究了某医院护士调班指派问题。

指派问题的改进算法【摘要】匈牙利算法是解决指派问题的常用方法。

该算法将效率矩阵或系数矩阵作行列缩减处理后，往往要进行多次迭代，且常出现经过一次迭代之后并不能增加可指派零位的情况，解题效率并不是很高。

因此，在实际的解题应用中，还有很多其他的方法，本文主要介绍改进的匈牙利算法、削高排除法和缩阵分析法等算法。

【关键词】指派问题；改进的匈牙利算法在生活中，我们经常遇到这样的问题，某单位需要完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。

又由于每个人的专长不同，各人完成任务所费的时间效率不尽相同。

于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高，即所需的时间或所消耗的资金等最小。

这类问题称为指派问题或分派问题（assignment problem）。

１指派问题的标准形式和数学模型例１、有一份说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。

现有甲、乙、丙、丁四个人，他们将说明书译成不同文字所需的时间如下表所示。

问应指派哪个人完成哪项工作，使所需的总时间最少?表1有n项任务，n个完成人，第i人完成第j项任务的代价为ｃij（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）。

为了求得总代价最小的指派方案，引入0-1型变量xij，并令xij=1，指派第ｉ人去完成第ｊ项任务0，不指派第ｉ人去完成第ｊ项任务数学模型为ｍｉｎＺ＝■■ｃijxijｓ．ｔ．■xij＝１，ｊ＝１，２，．．．，ｎ■xij＝１，ｉ＝１，２，．．．，ｎxij ＝０ｏｒ１可见指派问题是0-1型整数规划的特例。

不难发现，指派问题也是运输问题的特例，其产地和销地数都为n，各产地的产量和各销地的销量都为1。

２指派问题的求解方法——匈牙利算法２.1匈牙利算法匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

其基本思想是修改矩阵的行或列，使得每一行或每一列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。

指派问题匈牙利算法最大值
指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。

匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。

在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表
示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。

问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。

匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。

算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。

具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。

2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。

如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。

3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。

增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。

4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的
非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。

5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。

匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。

该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。

总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。

通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。

指派问题的最优解法指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。

指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题求解方法。

匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。

其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。

KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。

它首先将指派问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。

KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。

无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。

这两个算法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对于匈牙利算法来说具有更好的性能。

除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。

这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。

总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。

3.2 求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。

算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。

利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。

若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。

由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。

下面通过一例子来说明该算法。

例7 求解指派问题，其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。

有时问题会稍复杂一些。

例8 求解系数矩阵C 的指派问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下∨∨∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----- 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。

指派问题的求解方法嘿，咱今儿就来聊聊指派问题的求解方法。

你说这指派问题啊，就好像是给一群小伙伴分任务，得让每个人都能分到最合适的事儿，这可不容易嘞！咱先来说说啥是指派问题。

就好比有一堆工作，有几个人可以去做，每个人对不同工作的效率或者效果不一样。

那咱就得想办法，怎么把这些工作分配给这些人，才能让总的效果达到最好呀。

那咋求解呢？有一种方法叫匈牙利算法。

这就好比是一把神奇的钥匙，能打开指派问题的大门。

咱就把那些工作和人当成一个个小格子，通过一些计算和摆弄，找到最合适的搭配。

你想想啊，如果随便分，那可能就浪费了某些人的特长，或者让一些工作没被最合适的人去做，那不就亏大啦？用了这个匈牙利算法，就能一点点地把最合适的工作和人配对起来。

就像你去拼图，得找到每一块的正确位置，才能拼成一幅完整漂亮的图。

这匈牙利算法就是帮咱找到那些正确位置的好帮手呀！它能让那些工作和人都找到自己的“最佳搭档”。

还有啊，咱在生活中也经常会遇到类似的指派问题呢。

比如说，家里要打扫卫生，每个人擅长打扫的地方不一样，那怎么分配任务才能又快又好地打扫完呢？这不就是个小小的指派问题嘛。

或者说在公司里，有几个项目要分给不同的团队，哪个团队最适合哪个项目，这也得好好琢磨琢磨，才能让项目都顺利完成，取得好成果呀。

总之呢，指派问题的求解方法可重要啦，就像我们走路需要一双好鞋一样。

掌握了这些方法，咱就能在面对各种指派问题的时候，不慌不忙，轻松应对，找到那个最优解。

你说是不是很厉害呀？所以啊，可别小瞧了这指派问题的求解方法哦，说不定啥时候就能派上大用场呢！。

匈牙利算法求解教学任务指派问题思想，用增广路径求二分图最大匹配的算法，算法的核心是寻找增广路径，也可用于指派问题的求解。

针对多人执行多项工作的指派问题，张云华采用匈牙利算法的基本和步骤进行了研究。

目标分配问题作为指派问题的一种类型，谷稳综合匈牙利算法及其进化算法的特点，对机器人足球的目标分配问题进行了研究。

为避免匈牙利算法多次试分配导致处理速度慢的不足，周莉等人对寻找独立零的次序进行改进，得到匈牙利算法求解指派问题的一次性分配算法。

李延鹏等人提出利用虚拟工作代替并联环境，将具有并联环节的人员指派问题转化为典型的指派问题，提高了匈牙利算法的适用性。

谢博耶夫采用反圈法和对称差，对匈牙利算法进行了推广。

对于“人少任务多”型指派问题的解决，与“加边补零”法、“加边补最小值”法等传统解法不同，马晓娜通过差额法对匈牙利算法进行了改进。

3 基于匈牙利算法的任务指派优化模型问题描述教学课程的指派优化问题，需要综合考虑教学特长、学生满意度、课程内容等多因素，追求教学质量、满意度和教学精力等多目标的优化决策问题，任何一个参数的改变都可能影响最终的指派结果。

该类问题可描述为：假设有n名不同教研室的教师，N={N1，N2，...，Nn}，所有教师可以讲授课程共m门，M={M1，M2，...，Mm}。

已知n 名教师对m门课程的擅长程度矩阵G、n名教师的课时上限序列U和学员对教师满意度序列S，如何安排n名教師教授的课程，使得总体教学质量、教师精力和学生满意度最优化？指派优化模型由于该问题涉及因素较多，因此，采用解析方法或传统的匈牙利算法难以给出合适结果。

总体最优化的前提是教师擅长课程、精力和学生满意度满足基本要求，本文采用比值的方式求解三种因素的综合表现。

矩阵G元素值为百分比，Gij 值越高，表明第i名教师对第j门课程的擅长程度越好。

序列U 和S经过归一化处理后，也可表现为百分比形式，Ui值越高，表明第i名教师的教学任务越饱满；Si值越高，表明学生对第i名教师的满意度越高。

运筹学课程设计指派问题的匈牙利法专业：姓名：学号：1.算法思想：匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。

当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。

这种方法总是在有限步內收敛于一个最优解。

该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。

2.算法流程或步骤：1.将原始效益矩阵C的每行、每列各元素都依次减去该行、该列的最小元素，使每行、每列都至少出现一个0元素，以构成等价的效益矩阵C’。

2.圈0元素。

在C’中未被直线通过的含0元素最少的行（或列）中圈出一个0元素，通过这个0元素作一条竖（或横）线。

重复此步，若这样能圈出不同行不同列的n个0元素，转第四步，否则转第三步。

3.调整效益矩阵。

在C’中未被直线穿过的数集D中，找出最小的数d，D中所有数都减去d，C’中两条直线相交处的数都加的d。

去掉直线，组成新的等价效益矩阵仍叫C’，返回第二步。

X=0，这就是一种最优分配。

最低总4.令被圈0元素对应位置的X ij=1,其余ij耗费是C中使X=1的各位置上各元素的和。

ij算法流程图：3.算法源程序：#include<iostream.h>typedef struct matrix{float cost[101][101];int zeroelem[101][101];float costforout[101][101];int matrixsize;int personnumber;int jobnumber;}matrix;matrix sb;int result[501][2];void twozero(matrix &sb);void judge(matrix &sb,int result[501][2]);void refresh(matrix &sb);void circlezero(matrix &sb);matrix input();void output(int result[501][2],matrix sb);void zeroout(matrix &sb);matrix input(){matrix sb;int m;int pnumber,jnumber;int i,j;float k;char w;cout<<"指派问题的匈牙利解法:"<<endl;cout<<"求最大值，请输入1;求最小值，请输入0:"<<endl;cin>>m;while(m!=1&&m!=0){cout<<"请输入1或0:"<<endl;cin>>m;}cout<<"请输入人数(人数介于1和100之间):"<<endl;cin>>pnumber;while(pnumber<1||pnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>pnumber;}cout<<"请输入工作数(介于1和100之间):"<<endl;cin>>jnumber;while(jnumber<1||jnumber>100){cout<<"请输入合法数据:"<<endl;cin>>jnumber;}cout<<"请输入"<<pnumber<<"行"<<jnumber<<"列的矩阵,同一行内以空格间隔,不同行间以回车分隔,以$结束输入:\n";for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){cin>>sb.cost[i][j];sb.costforout[i][j]=sb.cost[i][j];}cin>>w;if(jnumber>pnumber)for(i=pnumber+1;i<=jnumber;i++)for(j=1;j<=jnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}else{if(pnumber>jnumber)for(i=1;i<=pnumber;i++)for(j=jnumber+1;j<=pnumber;j++){sb.cost[i][j]=0;sb.costforout[i][j]=0;}}sb.matrixsize=pnumber;if(pnumber<jnumber)sb.matrixsize=jnumber;sb.personnumber=pnumber;sb.jobnumber=jnumber;if(m==1){k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]>k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=k-sb.cost[i][j];}return sb;}void circlezero(matrix &sb){int i,j;float k;int p;for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][0]=0;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[0][j]=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0){sb.cost[i][0]++;sb.cost[0][j]++;sb.cost[0][0]++;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.cost[i][0]==1){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[0][j]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.cost[0][j]==1){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0)break;sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;if(sb.cost[i][0]>0)for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[i][p]==0&&sb.zeroelem[i][p]==0){sb.zeroelem[i][p]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][p]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}void 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st;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][0]>0)break;if(i<=sb.matrixsize){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){st=sb;if(sb.cost[i][j]==0&&sb.zeroelem[i][j]==0){sb.zeroelem[i][j]=1;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[i][q]==0&&sb.zeroelem[i][q]==0){sb.zeroelem[i][q]=2;sb.cost[i][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][j]==0&&sb.zeroelem[p][j]==0){sb.zeroelem[p][j]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][j]--;sb.cost[0][0]--;}k=sb.cost[0][0]+1;while(sb.cost[0][0]<k){k=sb.cost[0][0];for(p=i+1;p<=sb.matrixsize;p++){if(sb.cost[p][0]==1){for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(m=1;m<=sb.matrixsize;m++)if(sb.cost[m][q]=0&&sb.zeroelem[m][q]==0){sb.zeroelem[m][q]=2;sb.cost[m][0]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;}}}for(q=1;q<=sb.matrixsize;q++){if(sb.cost[0][q]==1){for(p=1;p<=sb.matrixsize;p++)if(sb.cost[p][q]==0&&sb.zeroelem[p][q]==0)break;sb.zeroelem[p][q]=1;sb.cost[p][q]--;sb.cost[0][q]--;sb.cost[0][0]--;for(n=1;n<=sb.matrixsize;n++)if(sb.cost[p][n]==0&&sb.zeroelem[p][n]==0){sb.zeroelem[p][n]=2;sb.cost[p][0]--;sb.cost[0][n]--;sb.cost[0][0]--;}}}}if(sb.cost[0][0]>0)twozero(sb);elsejudge(sb,result);}sb=st;}}}void judge(matrix &sb,int result[501][2]){int i,j;int m;int n;int k;m=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)m++;if(m==sb.matrixsize){k=1;for(n=1;n<=result[0][0];n++){for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1)break;if(i<=sb.personnumber&&j<=sb.jobnumber)if(j!=result[k][1])break;k++;}if(i==sb.matrixsize+1)break;elsek=n*sb.matrixsize+1;}if(n>result[0][0]){k=result[0][0]*sb.matrixsize+1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){result[k][0]=i;result[k++][1]=j;}result[0][0]++;}}else{refresh(sb);}}void refresh(matrix &sb){int i,j;float k;int p;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=1;break;}}while(k==0){k=1;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][0]==0){sb.zeroelem[i][0]=2;for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.zeroelem[i][j]==2){sb.zeroelem[0][j]=1;}}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==1){sb.zeroelem[0][j]=2;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.zeroelem[i][j]==1){sb.zeroelem[i][0]=0;k=0;}}}}p=0;k=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2){for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]!=2)if(p==0){k=sb.cost[i][j];p=1;}else{if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];}}}}for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){if(sb.zeroelem[i][0]==2)for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){if(sb.zeroelem[0][j]==2)for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]+k;}for(i=0;i<=sb.matrixsize;i++)for(j=0;j<=sb.matrixsize;j++)sb.zeroelem[i][j]=0;circlezero(sb);}void zeroout(matrix &sb){int i,j;float k;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){k=sb.cost[i][1];for(j=2;j<=sb.matrixsize;j++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}for(j=1;j<=sb.matrixsize;j++){k=sb.cost[1][j];for(i=2;i<=sb.matrixsize;i++)if(sb.cost[i][j]<k)k=sb.cost[i][j];for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++)sb.cost[i][j]=sb.cost[i][j]-k;}}void output(int result[501][2],matrix sb) {int k;int i;int j;int p;char w;float v;v=0;for(i=1;i<=sb.matrixsize;i++){v=v+sb.costforout[i][result[i][1]];}cout<<"最优解的目标函数值为"<<v;k=result[0][0];if(k>5){cout<<"解的个数超过了限制."<<endl;k=5;}for(i=1;i<=k;i++){cout<<"输入任意字符后输出第"<<i<<"种解."<<endl;cin>>w;p=(i-1)*sb.matrixsize+1;for(j=p;j<p+sb.matrixsize;j++)if(result[j][0]<=sb.personnumber&&result[j][1]<=sb.jobnumber)cout<<"第"<<result[j][0]<<"个人做第"<<result[j][1]<<"件工作."<<endl;}}void main(){result[0][0]=0;sb=input();zeroout(sb);circlezero(sb);output(result,sb);}4. 算例和结果：自己运算结果为：->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3302102512010321->⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡330110241200032034526635546967562543----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡可以看出：第1人做第4件工作；第2人做第1件工作；第3人做第3件工作；第4人做第2件工作。

指派问题匈牙利算法最大值
匈牙利算法(匈牙利算法,也被称为“插入-删除算法”或“排序算法”)是一种整数排序算法,在指派问题中可以将一个整数数组按照一定规则排序,使得所有指派中最大的元素出现的位置都不相同。

以下是匈牙利算法在解决指派问题的最大值问题的步骤:
1. 将数组分为两个部分,左半部分尽可能地小,右半部分尽可能地大。

2. 从右半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行
比较。

如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。

3. 接下来,从左边半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行比较。

如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。

4. 重复步骤2和步骤3,直到左半部分的最大值与右半部分的最大值相等。

5. 在最右半部分找到最大的元素,将它与左半部分的最大值交换。

6. 重复步骤1到步骤5,直到数组中的所有元素都被排序。

匈牙利算法的时间复杂度为O(nlogn),其中n为数组的长度。

在实际应用中,该算法通常用于小规模数据的排序,对于大规模数据的
排序则需要使用更高效的算法。

匈牙利法解决人数与任务数不等的指派问题于凯重庆科技学院经济管理学院物流专业重庆沙坪坝区摘要：本文将讨论运筹学中的指派问题，而且属于非标准指派问题，即人数与任务数不相等的指派问题，应当视为一个多目标决策问题，首先要求指派给个人任务数目两两之间相差不能超过1，其次要求所需总时间最少，并且给出了该类问题的求解方法。

关键词：运筹学指派问题匈牙利算法系数矩阵解矩阵引言：在日常的生产生活中常遇到这样的问题：有n项任务，有n个人员可以去承担这n 项任务，但由于每位人员的特点与专长不同，各对象完成各项任务所用的时间费用或效益不同；有因任务性质要求和管理上需要等原因，每项任务只能由一个人员承担来完成，这就涉及到应该指派哪个人员去完成哪项任务，才能使完成n项任务花费总时间最短，总费用最少，产生的总效益最佳。

我们把这类最优匹配问题称为指派问题或分配问题。

1.指派问题的解法——匈牙利法早在1955年库恩（，该方法是以匈牙利数学家康尼格（koning）提出的一个关于矩阵中0元素的定理为基础，因此得名匈牙利法（The Hungonrian Method of Assignment）1.1匈牙利解法的基本原理和解题思路直观的讲，求指派问题的最优方案就是要在n阶系数矩阵中找出n个分布于不用行不同列的元素使得他们的和最小。

而指派问题的最优解又有这样的性质：若从系数矩阵C（ij）的一行（列）各元素都减去该行（列）的最小元素，得到新矩阵CB（ij），那么以CB（ij）为系数矩阵求得的最优解和原系数矩阵C（ij）求得的最优解相同。

由于经过初等变换得到的新矩阵CB（ij）中每行（列）的最小元素均为“○”，因此求原指派问题C（ij）的最优方案就等于在新矩阵CB（ij）中找出n个分布于不同行不同列的“○”元素（简称为“独立○元素”），这些独立○元素就是CB（ij）的最优解，同时与其对应的原系数矩阵的最优解。

1.2匈牙利法的具体步骤第一步：使指派问题的系数矩阵经过变换在各行各列中都出现○元素。

匈牙利法解决人数与任务数不等的指派问题于凯重庆科技学院经济管理学院物流专业重庆沙坪坝区摘要：本文将讨论运筹学中的指派问题，而且属于非标准指派问题，即人数与任务数不相等的指派问题，应当视为一个多目标决策问题，首先要求指派给个人任务数目两两之间相差不能超过1，其次要求所需总时间最少，并且给出了该类问题的求解方法。

关键词：运筹学指派问题匈牙利算法系数矩阵解矩阵引言：在日常的生产生活中常遇到这样的问题：有n项任务，有n个人员可以去承担这n 项任务，但由于每位人员的特点与专长不同，各对象完成各项任务所用的时间费用或效益不同；有因任务性质要求和管理上需要等原因，每项任务只能由一个人员承担来完成，这就涉及到应该指派哪个人员去完成哪项任务，才能使完成n项任务花费总时间最短，总费用最少，产生的总效益最佳。

我们把这类最优匹配问题称为指派问题或分配问题。

1.指派问题的解法——匈牙利法早在1955年库恩（w.w.ku.hn）就提出了指派问题的解法，该方法是以匈牙利数学家康尼格（koning）提出的一个关于矩阵中0元素的定理为基础，因此得名匈牙利法（The Hungonrian Method of Assignment）1.1匈牙利解法的基本原理和解题思路直观的讲，求指派问题的最优方案就是要在n阶系数矩阵中找出n个分布于不用行不同列的元素使得他们的和最小。

而指派问题的最优解又有这样的性质：若从系数矩阵C（ij）的一行（列）各元素都减去该行（列）的最小元素，得到新矩阵CB（ij），那么以CB（ij）为系数矩阵求得的最优解和原系数矩阵C（ij）求得的最优解相同。

由于经过初等变换得到的新矩阵CB（ij）中每行（列）的最小元素均为“○”，因此求原指派问题C（ij）的最优方案就等于在新矩阵CB（ij）中找出n个分布于不同行不同列的“○”元素（简称为“独立○元素”），这些独立○元素就是CB（ij）的最优解，同时与其对应的原系数矩阵的最优解。

2023年运筹学指派问题的匈牙利法实验报告一、前言运筹学是一门涉及多学科交叉的学科，其主要研究通过数学模型和计算机技术来提高生产和管理效率的方法和技术。

其中，指派问题是运筹学中的重要研究方向之一。

针对指派问题，传统的解决方法是匈牙利法。

本文将基于匈牙利法，通过实验的方法来探讨2023年指派问题的发展。

二、指派问题1.定义指派问题是指在一个矩阵中指定每一行和每一列只选一个数，使得多个行和列没有相同的数，而且总和最小。

2.传统算法匈牙利算法是一种经典的用于解决指派问题的算法。

该算法基于图论的思想，用于寻找最大匹配问题中的最大流。

匈牙利算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，但是，该算法仍然被广泛应用于实际问题求解。

三、实验设计1.实验目的本实验旨在探究匈牙利算法在指派问题中的应用以及其发展趋势，同时，通过对比算法运行速度来评估其效率和实用性。

2.实验原材料本实验将采用Python语言来实现匈牙利算法，数据集选取为UCI Machine Learning Repository中的鸢尾花数据集。

3.实验步骤步骤1：导入数据集，并进行数据预处理。

步骤2：计算每个样本在所有类别中的得分，并选取得分最高的类别作为预测结果。

步骤3：使用匈牙利算法对预测结果进行优化，以求得更优的分类方案。

步骤4：对比优化前后的分类结果，评估算法的实用性和效率。

四、实验结果本实验的最终结果表明，匈牙利算法在指派问题中的应用具有很好的效果。

实验数据表明，经过匈牙利算法优化后，分类器的准确率有了显著提高，分类结果更加精确。

同时，通过对比算法运行时间，也发现该算法具有较高的运行速度和效率。

五、实验结论本实验通过大量数据实验表明，匈牙利算法在指派问题中的应用具有很高的效率和精度。

将算法运用到实际生产和管理中，可有效地提高生产效率和管理水平。

但是，由于算法的时间复杂度比较高，因此在实际运用过程中需要合理选择算法，并对算法进行优化，以确保其效率达到最大化。

匈牙利算法描述
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种用于解决指派问题的优化算法。

指派问题即在给定若干个任务和执行者之间，找到最佳的任务分配方案，使总体成本最小或总体效益最大。

匈牙利算法的基本思想是通过构建一个初始的匹配矩阵，然后通过一系列的步骤来逐步优化任务分配。

下面是匈牙利算法的主要步骤：
1.构建初始匹配矩阵：根据给定的任务和执行者之间的成本
或效益，构建一个初始的n × n 的匹配矩阵，其中n 表示
任务或执行者的数量。

2.执行最小化匹配：在初始匹配矩阵中，通过找到每一行和
每一列的最小值，并减去该最小值，使得每行和每列都至
少有一个零元素。

3.进行任务分配：在完成步骤2后，判断匹配矩阵中是否存
在完美匹配（即每一行和每一列都有且只有一个零元素）。

如果存在完美匹配，则结束算法，任务分配完成。

如果不
存在完美匹配，则进入下一步。

4.寻找零元素覆盖：在匹配矩阵中查找未被选择的零元素，
并尝试通过最少线覆盖来覆盖所有的零元素，以找到可能
的任务分配方案。

5.更新匹配矩阵：在覆盖了所有的零元素后，根据覆盖线的
位置来对匹配矩阵进行更新和调整，以准备下一次迭代。

6.重复步骤2至步骤5，直到找到合适的任务分配方案或达
到停止条件。

通过上述步骤，匈牙利算法能够找到最佳的任务分配方案，使得总体成本最小或总体效益最大。

该算法的时间复杂度为O(n^4)，其中n 表示任务或执行者的数量。

匈牙利算法在实际应用中广泛用于任务分配、资源调度、运输优化等问题。