匈牙利算法示例ppt

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图论课件--匈牙利算法与最优匹配算法(精选)共34页PPT

图论课件--匈牙利算法与最优匹配算法（精选）
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪29、勇猛、大胆和坚定的 Nhomakorabea心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
34

匈牙利算法

匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。

美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。

此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry的工作之上创建起来的。

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

二分图：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

图一就是一个二分图。

匈牙利算法：匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。

匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

Hall定理：二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y; X={X1, X2, X3,X4, .........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn}, G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。

（1≤k≤m)匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

图一中红线为就是一组匹配。

未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

如图一中的a 3、b1。

设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

匈牙利算法示例ppt

(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。
•
非标准型的指派问题：
匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式， 1、人数和事数不相等的指派问题：人少事情多，虚拟 “人”，做各事的费用系数为0；人多事情少，虚拟 “事”，各人做的费用系数为0。 2、对于求极大化的问题，只要系数矩阵变换为B＝（mcij）nn，仍可利用匈牙利算法进行求解。 3、一个人可以做几件事情的指派问题：可以将该人化作相同的几个“人”来接受指派，费用一样。 4、某事一定不能由某人做的指派问题，费用系数为“ M” 然后用匈牙利法来求解。
2 0 2 4 5
-0 -0 -0 -0 -0
第二步：进行试指派，以寻求最优解。在 (bij) 中找尽可能多的独立 0 元素，若能找出 n 个独立 0元素，就以这 n个独立 0元素对应解矩阵 (xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：
0 0 1 0 0
或
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B，乙-C，丙--E，丁-D,戊-A；（2）甲-B，乙-D，丙-E,丁-C，戊-A。所需时间为minz=7+6+9+6+4=32

二分图匹配(匈牙利算法)

设G=(V,{R})是一个无向图。

如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。

则称图G为二分图。

v给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

v选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)v如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

最大匹配在实际中有广泛的用处，求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。

但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。

因此，需要寻求一种更加高效的算法。

匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M 的一条增广路径。

由增广路径的定义可以推出下述三个结论：v 1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

v 2. P经过取反操作（即非M中的边变为M中的边，原来M中的边去掉）可以得到一个更大的匹配M’。

v 3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

从而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法：v(1)置M为空v(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替Mv(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止根据该算法，我选用dfs (深度优先搜索)实现。

程序清单如下：int match[i] //存储集合m中的节点i在集合n中的匹配节点,初值为-1。

int n,m,match[100]; //二分图的两个集合分别含有n和m个元素。

bool visit[100],map[100][100]; //map存储邻接矩阵。

bool dfs(int k){int t;for(int i = 0; i < m; i++)if(map[k][i] && !visit[i]){visit[i] = true;t = match[i];match[i] = k; //路径取反操作。

最大匹配之匈牙利算法模板。。

最大匹配之匈牙利算法模板。

要学习匈牙利算法先要懂得二部图的各种概念。

下面给出由o( _ )o MiYu 总结的普通性概念，这些概念很重要，一定要懂。

二分图的基本概念: ( 意思就是全部的点分成了2个集合 x, y. 每个集合中的顶点互相间没有边 ) 一个无向图 G = V, E , 假如存在两个集合X, Y, 使得X Y=V, X Y= , 并且每一条边e={x, y} 有x X,y Y, 则称G为一个二分图(bipartite graph). 常用来表示一个二分图. 若对X中任一x 及Y中任一y 恰有一边e E, 使e = {x, y}, 则称G为彻低二分图(complete bipartite graph). 二分图的性质： ( 交叉轨和增广路的概念很重要 ) 定理：无向图G为二分图的充分须要条件是，G起码有两个顶点,且其全部回路的长度均为偶数. 匹配：设G=为二分图，假如M&be;E，并且M中没有任何两边有公共端点。

M= 时称M为空匹配. 盖点: 若M是二分图的一个匹配, 将M中的边多所关联的顶点称为盖点, 其余则为未盖点. 交叉轨: 若一条路径上属于M的边和不属于M 的边交替浮现, 则称该路径为交叉轨. 增广路径: 若路径 P 是一条起始点和尽头都是未盖点的交叉轨, 那么 P 称为 M 的增广路径. 最大匹配: G的全部匹配中边数最多的匹配称为最大匹配. 性质1 : 一条关于M的增广路径的长度必为奇数, 且路上的第一条边和最后一条边都不属于M.性质2 : 对于一条关于M的增广路径 P, 将M 中属于P的边删去, 将P中不属于M 的边添加到M中,所得到的边集合计为 M P, 则 M P 比 M 多一条匹配边.性质3 : M 为 G 的一个最大匹配当且仅当不存在关于M的增广路径.hall 定理 : 对于二分图 G = ( X, Y, E ) , 存在一个匹配M, 使得 X 的全部顶点关于M饱和的充要条件是: 对 X 的任一子集A , 对A邻接的点集为P (A), 恒有 : | P[A] | = | A |其中性质 2 和性质 3 和 hall 定理的充分性证实就是匈牙利算法的基础 .. 二分图的最小顶点笼罩 ==== 最大匹配 DAG图的最小路径笼罩数 == 节点数最大匹配数二分图的最大自立集数 = 节点数最大匹配数在二分图中求最少的点，让每条边都起码和其中的一第1页共2页。

匈牙利算法

第22页
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
第23页
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
第24页
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
第49页
➢从只有一个0元素的列开始，给这个0 元素加圈，记
72 0 2 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
第50页
然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø。
72Ø 2 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
第11页
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 (cij)= 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 13 11 2
6 0 10 11
057 4
0 13 7 0 606 9
014 2 42
053 2
010 0
第12页
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
➢从只有一个0元素的行（或列）开始，给这个0元素加圈，记，然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。
第34页
对没有的行，打
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
第35页
对已打行中所有含0元素的列打
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
第36页
再对打列中含0元素的行打 52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365

指派问题的匈牙利法ppt

判断就是否为最优解:圈起得零得个数就是否等于n。
确定调整行与列
在没有圈起得零所在行上打“√”; 在打“√”行中所有零所在得列打“√”; 在打“√”列中含有圈起零得行上打“√”, 反复执行2)与3)两步,直到不能打“√”为止; 用直线划去打“√”得列与不打“√”得行,没有
划去得行构成调整得行,划去得列构成调整列。
调整可行解得方法
在调整行中寻找最小得元素,将它作为调整量;
将调整行各元素减去调整量,对调整列中各元素加上调整量。
再次执行“圈零”与“划零”得操作,并循环以上得步骤,直到圈起得零数等于n为止。
匈牙利法解例3、3
时间矩阵
2 10 3 7
15
4
14
8
13 14 16 11
4
7
13
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
求解过程如下:
第一步,变换系数矩阵:
6 7 11 2 2
(cij
)
4 3
5 1
9 10
8 4 4 1
5 9 8 2 2
4 5 9 0 0 1 5 4 2 0 9 3 3 7 6 0
4 5 4 0 0 1 0 4 2 0 4 3 3 7 1 0
0元素,就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中得元素为1, 其余为0,这就得到最优解。找独立0元素,常用得步骤为:
(1)从只有一个0元素得行(列)开始,给这个0元素加圈, 记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)得其它0元素,记作Ø ; 这表示这列所代表得任务已指派完,不必再考虑别人了。

ppt19 匈牙利算法与最优匹配算法

y4
y5
(c) y2为M非饱和点，加上y2和边x3y2生长树H。此时，置M=MΔE(P)=｛x1y1, x2y3, x3y2｝
x1 y2 x2 x3 x4 x5
x3
y1
y2
y3 G=(X, Y)
y4
y5 10
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
15
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
定义2 设G=(X, Y), 若对任意的x ∈X, y ∈Y,有：
l ( x ) l ( y ) w ( xy )
称 l 是赋权完全偶图G的可行顶点标号。对于任意的赋权完全偶图G，均存在G的可行顶点标号。事实上，设：
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
2) 若 T N (S ) 令y ∈N(S) – T, 则在树H中存在点x与y邻接。因为H的所有点，除u外，均在M下配对。所以，或者x = u，或者x与H的某 xy M 一顶点配对，但无论哪种情况，都有
w ( M *)
eM *

w(e)
vV ( G )

l (v )
又设M是G的任一完美匹配，则：
w( M )
eM
w(e)
l (v )
vV ( G )
所以，w (M*)≥w (M)。即M*是G的最优匹配。
18
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
w ( xy ), 若 x X , l ( x ) max yY l ( y ) 0, 若 y Y .

指派问题与匈牙利算法

5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
7 0 C ′＝ 8 4
0 19 2 8 17 0 7 11 0 0 10 2
0 9 2 8 7 0 7 1 0 0 0 2
1 1 最优解：最优解： X＝ 1 1
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。总分为：＝＋＋＋＝总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2011年5月9日星期一 Page 6 of 12
用匈牙利法求解：
10 3 22 0 8 17 C ′＝ 13 12 16 9 5 15 7 0 C ′＝ 8 4
5 0 5 7
则与
′ m w = ∑∑cij xij in
i j
m z = ∑∑cij xij ax
i j
的最优解相同。
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2011年5月9日星期一 Page 5 of 12
【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的例得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
2011年5月9日星期一 Page 4 of 12
求最大值的指派问题匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0 设C=(cij)m×m 对应的模型是求最大值将其变换为求最小值令

匈牙利算法示例

0 0 0 1 1 0 0 0
15
3 ◎ 2 2
3 ◎ Ø 5 1 ◎ 4 4 6 ◎ Ø 4
得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：
练习：
费工作用人员
A
7
B
5
C
9
D
8
E
11
甲
乙
丙丁戊
9
8 7 4
12
5 3 6
7
4 6 7
11
6 9 5
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
4 2
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
Ø 0 0 13 7 ◎ 6 0 6 9 ◎ ◎ 0 5 3 2 ◎ Ø 0 0 1 0 Ø
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
任务
人员
例一：
任务
人员
A 2
10 9 7
B 15
4 14 8
C 13
14 16 11
D 4
15 13 9
甲
乙丙丁
2 10 9 7
15 13 4 4 14 15 14 16 13 8 11 9
2 4
9
7
0 13 11 2 6 0 10 11 0 5 7 4 0 1 4 2
2 2 4 4 ◎ 0

匈牙利算法详解

大意：已知两个图和两个图中的点和边的连接情况，求两个图中最多能连接的边的数目。

（每个点最多只能连接一条边）分析：算法总体可以采用类似于探索的方法，例如下面的这个图。

CADBE如这个有向图，共有5个结点A、B、C、D、E，A、B作为第一张图，C、D、E作为第二张图。

第一次DFS时先看A连接的点（顺序查找）是否已经有爹了，发现没有，那么爹变成了A，同时A的匹配找到了。

再找B的匹配，发现C已经有爹了即A，那么就试探A的下一个连接点发现没有爹且能与B相连，那么B的匹配也找到了，依次类推直到推到最后。

代码：function dfs(x:longint):boolean;vari:longint;beginif use[x] then exit(false);{如果出现某个点访问过返回false。

}use[x]:=true;{同时标记为已访问过。

}for i:=1 to m dobeginif (b[x,i]) and ((link[i]=0) or (dfs(link[i]))) then{如果要连的点还没爹可以连，或者是它的爹的所连的点还有剩余就可以继续（前提是必须可以相连）。

}beginlink[i]:=x;{修改爹。

}exit(true);end;end;exit(false);end;procedure XYL;vari:longint;beginfor i:=1 to n do{先进行查找。

}beginfillchar(use,sizeof(use),false);{初始化每个点都未访问过以便遍历图。

}if dfs(i) then inc(ans);{返回true说明可以匹配。

}end;writeln(ans);end;。

匈牙利算法（二分图）

匈⽛利算法（⼆分图）---------------------------------------------------------------------题材⼤多来⾃⽹络，本篇由神犇整理基本概念—⼆分图⼆分图：是图论中的⼀种特殊模型。

若能将⽆向图G=(V,E)的顶点V划分为两个交集为空的顶点集，并且任意边的两个端点都分属于两个集合，则称图G为⼀个为⼆分图。

匹配：⼀个匹配即⼀个包含若⼲条边的集合，且其中任意两条边没有公共端点。

如下图，图3的红边即为图2的⼀个匹配。

1 最⼤匹配在G的⼀个⼦图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同⼀个顶点，则称M是⼀个匹配。

选择这样的边数最⼤的⼦集称为图的最⼤匹配问题,最⼤匹配的边数称为最⼤匹配数.如果⼀个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

如果在左右两边加上源汇点后，图G等价于⼀个⽹络流，最⼤匹配问题可以转为最⼤流的问题。

解决此问的匈⽛利算法的本质就是寻找最⼤流的增⼴路径。

上图中的最⼤匹配如下图红边所⽰：2 最优匹配最优匹配⼜称为带权最⼤匹配，是指在带有权值边的⼆分图中，求⼀个匹配使得匹配边上的权值和最⼤。

⼀般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是⼀个完备匹配，即每个顶点都被匹配。

如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。

⼀般使⽤KM算法解决该问题。

3 最⼩覆盖⼆分图的最⼩覆盖分为最⼩顶点覆盖和最⼩路径覆盖：①最⼩顶点覆盖是指最少的顶点数使得⼆分图G中的每条边都⾄少与其中⼀个点相关联，⼆分图的最⼩顶点覆盖数=⼆分图的最⼤匹配数；②最⼩路径覆盖也称为最⼩边覆盖，是指⽤尽量少的不相交简单路径覆盖⼆分图中的所有顶点。

⼆分图的最⼩路径覆盖数=|V|-⼆分图的最⼤匹配数；4 最⼤独⽴集最⼤独⽴集是指寻找⼀个点集，使得其中任意两点在图中⽆对应边。

对于⼀般图来说，最⼤独⽴集是⼀个NP完全问题，对于⼆分图来说最⼤独⽴集=|V|-⼆分图的最⼤匹配数。

匈牙利算法示例ppt

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B，乙-C，丙--E，丁-D,戊-A；（2）甲-B，乙-D，丙-E,丁-C，戊-A。所需时间为minz=7+6+9+6+4=32
3 匈牙利法的改进
实际上很多效率矩阵用上述匈牙利法进行求解时必须经要经历第（3）和第（4），但在这些效率矩阵中有很大部分用改进后的匈牙利法就不需要经历第（3）和第（4）步即可求解。
12 7 9 7 9
8
9
6
6
6
7 17 12 14 9
15 14 6 6 10
4 10 7 10 9
Min
4
7
66
6
从上面可以看到列中最小个数之和为7，而行中最小个数之和为9,。即应该先从系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
8 0 3 1 3 0
4
2
0 0 0 0
3 10 6 8 3 3 11 7 0 0 0 0
或
4
Ø
2 7
◎
3
Ø
5
◎Ø
◎ 11
7 3
Ø ◎ Ø
1 4 3
它具有n个独立0元素，这就得到了最优解，相应的解矩阵为
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
或
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
7 ◎ 2 Ø 2
7 ◎ 2 Ø 24ຫໍສະໝຸດ Ø3 8◎

《运筹学匈牙利法》课件

总结
匈牙利算法的优缺点和适用范围
匈牙利算法具有较高的精度和效率，但受数据结构限制，应用对象有一定局限性。
匈牙利算法的进一步研究方向
运筹学在日常生活中的重要性和应用前景
未来可继续深入探究匈牙利算法和其他优化算法在实际问题中的应用，完善算法理论和算法应用。
随着科技的不断发展，运筹学在日常生活中的应用前景越来越广泛，对提高效率和优化资源分配具有重要意义。
的权值之和达到最大。
解决方案
匈牙利算法
匈牙利算法是解决二分图匹配问题最经典的算法之一，在求解最大权匹配和最小路径覆盖问题方面都有广泛应用。
拓展匈牙利算法
拓展匈牙利算法是一种扩展了匈牙利算法的新算法，可以有效解决复杂数据结构中的匹配问题。
Байду номын сангаас
应用案例分析
将匈牙利算法应用于实际问题的案例分析，深入了解如何应用该算法求解实际问题，加深理解和应用。
匈牙利法的目的和意义
匈牙利法可以帮助我们有效解决二分图匹配问题，例如任务分配、稳定婚姻问题等。
问题解析
1
最小路径覆盖问题
指在一个有向无环图（DAG）里选出尽
最大权匹配问题
2
可能少的路径，这些路径覆盖了DAG图上的每个点恰好一次。
是一类用二分图描述的优化问题，给定
一个二分图，找到一个匹配使得匹配边
《运筹学匈牙利法》PPT 课件
运筹学匈牙利法是一种优化算法，用于解决二分图匹配问题。本课件将介绍匈牙利法的背景、意义、解析以及应用案例分析。
背景介绍
运筹学在实际生活中的应用匈牙利法的提出背景
运筹学的方法广泛应用于物流、交通、能源、金融等领域，帮助优化资源分配，提高效率。

匈牙利算法 ppt课件

第1页
指派问题（分配问题） (Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成英、日、德、俄四种文字所需时间如下，问应该如何分配工作，使所需总时间最少？
第2页
任务 E
J
98004 06365
第25页
然后划去所在的列的其他0元素，记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第26页
➢从只有一个0元素的列开始，给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第27页
然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
第13页
➢若还有没有划圈的0元素，且同行（或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的0元素加圈，然后划掉同行同列的其他0元素，可反复进行，直到所有的0元素都被圈出和划掉为止。
第4页
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)

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C
D E F Nhomakorabea匈牙利算法
１
２３
A
B C
１
２３４ 5
A
B C D E F
１２
A B
３
４ 5
C
D E
４
5
D
E F
F
(1)找到某一匹配M (2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
分配问题及其数学模型
有甲、乙、丙、丁、戊五位工人被指派去完成A、B 、 C 、 D 、 E五项任务，每个人完成任务所需的工时各不相同，见表。求应如何指派人员才能使得所用工时最少？

二分图

设G=(V,{R})是一个无向图。图的顶点集V可分割为两个互不相交的子集X和Y（子集内部没有边），图任何一条边的两个端点都分属不同的子集。则称图G为二分图。用n个顶点X={1,2,3,4,5}表示n个工作，用m个顶点 Y={A,B,C,D,E,F}表示m个工人。
A
B
C
D
E
F
{A,B,C,D,E,F}
2 0 2 4 5
-0 -0 -0 -0 -0
第二步：进行试指派，以寻求最优解。在 (bij) 中找尽可能多的独立 0 元素，若能找出 n 个独立 0元素，就以这 n个独立 0元素对应解矩阵 (xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：
B C A B
C D E F
A
D
E
F
1
A B
2
C
3 D
4 E
5
F A
1 B
2 C
3 D
4
5
E
F
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
匈牙利算法

１
A
B
增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图 G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属２ M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在 P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。３由增广路的定义可以推出下述三个结论： 1）P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后４一条边都不属于M。 2）P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。 3）M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M 5 的增广路径。
7 ◎ 2 Ø 2 4 3 Ø Ø ◎ Ø 8 3 5 ◎ 11 8 4 ◎ Ø ◎ 4 1 4 3
上面矩阵有5个独立0元素，这就得到相应的最优解。
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
1
2
3
4
5
{1,2,3,4,5}
二分图匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。在工作分配的问题中，我们给出一个可行的分配方案，就是一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题如果这个匹配是最优的（可以填补的工作岗位最多），就是最大匹配。
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
5 2 ◎ 0 9 0 Ø
0 ◎ 3 10 8 6
2 Ø 0 2 0 Ø 0 ◎ 0 Ø 5 7 2 ◎ 0 Ø 0 4 3 6 5
5 2 ◎ 0 9 0 Ø √
0 2 0 ◎ Ø 2 3 Ø 0 0 0 Ø ◎ 10 5 7 2 √ 8 ◎ 0 0 Ø 4 6 3 6 5 √
第四步；在没有被直线覆盖的部分中找出最小元素。然后在行打√行每个元素减去这一最小元素，而在打√ 列的每个元素都加上这一最小元素，以保证原来0元素不变。这样得到新系数矩阵。若得到n个独立的0 元素，则已得到最优解，否则回到第三步。
(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。
5 2 ◎ 9 Ø
◎
3 10 8 6
2 Ø 2 Ø Ø ◎ 5 7 2 ◎ Ø 4 3 6 5
第三步；作最少的直线覆盖所有0元素，以确定该系数矩阵中能找到最多的独立元素数。
（1）对没有◎的行打√ （2）在已经打√的行中所含有的0 元素打√号（3）在已经打√号的列中含◎元素的行打√； √ （4）重复（2）（3）直到得不出打√的行列为止（5）对没有打√的行画一横线，有打√的列画一纵线，这就覆盖所有0元素的最少直线数。令这一直线数为l。若l<n,说明必须再换当前的系数矩阵，才能找到n个独立的0元素，为此转到第四步；若 l=n，而m<n，应回到（2）（4）另行试探。
12 8 (cij ) 7 15 4
-7 -6 -7 -6 -4
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
2 0 2 4 5
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
•
非标准型的指派问题：
匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式， 1、人数和事数不相等的指派问题：人少事情多，虚拟 “人”，做各事的费用系数为0；人多事情少，虚拟 “事”，各人做的费用系数为0。 2、对于求极大化的问题，只要系数矩阵变换为B＝（mcij）nn，仍可利用匈牙利算法进行求解。 3、一个人可以做几件事情的指派问题：可以将该人化作相同的几个“人”来接受指派，费用一样。 4、某事一定不能由某人做的指派问题，费用系数为“ M” 然后用匈牙利法来求解。

8
匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理. 定理1 设C=(Cij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解. 定理2 效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.

9
匈牙利法的解题步骤：

第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为 (bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
7 9 7 9 9 6 6 6 17 12 14 9 14 6 6 10 10 7 10 9
匈牙利算法
经典问题——工作分配
一个公司有n个工作岗位空缺，每个岗位空缺需要有一定资格的人来填补。现在有m个人申请这n个工作。由于每个人工作能力不同，所以不同的人能胜任不同的工作。现在已知每个人所能胜任的若干工作，求这m个人最多可以填补几个工作岗位。每个人只能做一份工作，每个工作岗位也只需要一个人
0 0 1 0 0
或
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
解矩阵得到2个最优指派方案；（1）甲-B，乙-C，丙--E，丁-D,戊-A；（2）甲-B，乙-D，丙-E,丁-C，戊-A。所需时间为minz=7+6+9+6+4=32
xi1 xi 2 xij xin 1 i=1,2, …,n s.t x1 j x2 j xij xnj 1 j=1,2, …,n xij 0,1 i 1,2,, n; j 1,2,, n
j i
min Z cij xij
5 2 ◎ 0 9 0 Ø
+2
√ ×
0 Ø 2 0 0 Ø ◎ 10 5 7 2 √ -2 8 ◎ 0 0 4 Ø 6 3 6 5 √ -2 0 2 ◎ 3 Ø 0
7 4 Ø 11 ◎
◎ 2 Ø 2 3 ◎ Ø Ø 8 3 5 ◎ 8 Ø ◎ 4 4 1 4 3
时任间务人员
A 12 8 7 15 4
B 7 9 17 14 10
C 9 6 12 6 7
D 7 6 14 6 10
E 9 6 9 10 9
甲乙丙丁戊
设有n个工作，要由 n个人来承担，每个工作只能由一个人承担，且每个人只能承担一个工作。cij表示第i个人做第j件事的费用,求总费用最低的指派方案。
15
请各位老师和同学批评指导！

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匈牙利算法

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二分图匹配(匈牙利算法)

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匈牙利算法

指派问题的匈牙利法ppt

ppt19 匈牙利算法与最优匹配算法

指派问题与匈牙利算法

匈牙利算法示例

匈牙利算法详解

匈牙利算法（二分图）

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