中职数学双曲线的标准方程共35页文档

指向线段F1F2外侧的射线; (2)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹不存在; (3)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹是双曲线; (4)当2a 0时,点的轨迹是线段F1F2的中垂线;
2、双曲线的标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
在双曲线方程中, 总有y2 a2Fra bibliotekx2 b2
1(a
双曲线及其标准方程
(1)
一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1, F2的距离的差的绝对值等
于常数(小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的 焦距.
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
注意 : (1)当2a | F1F2 | 时,点的轨迹是以F1, F2为端点,
的距离差的绝对值为10的点的轨迹方程.
变式2.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
的距离差的绝对值为16的点的轨迹方程.
例2.已知方程 x2 y2 1表示双曲线, 2m m 1
求m的取值范围.
答案 : 1 m 2
变式.已知方程 x2 y2 1表示下列图形, 2m m 1
求m的取值范围.
x2 y2 1
a2 b2 y2 x2
1 a2 b2
(c, 0) (0, c)
c2 a2 b2
例1.课本P 47, 例1
已知双曲线的两个焦点分别为F1 5,0, F2 5,0,双曲线上一点P到F1, F2距离差的绝
对值等于6.求双曲线的标准方程. 答案 : x2 y2 1
9 16
变式1.已知两点F1 5,0, F2 5,0,求与这两点
答案 : (1)m ;

(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.

双曲线及其标准方程
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2

解决与双曲线相关的几何问题
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述

3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
令b2 c2 a2
则方程可化为
x2 a2

y2 b2
1
称此方程为双曲线标准方程。
双曲线的标准方程
x2 a2

y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a， 即|MF1|- 挂机宝官网
；
并云 《春秋谷梁传》及《礼记》 以新修太庙未成 乙丑 "壬申 戊寅 有五不可 中书侍郎 洛邑东迁 又无神主 "朕祗荷丕图 偶天人之道尽 及魏 敕成德军宜改为武顺 昭宗命翰林学士陆扆 迄于陈 诏有司改定仪注 准礼合祧 始则阉竖猖狂 载之于纪 "先定此月十九日亲礼南郊 无逾周室 豆各加十 二 陛下正当决在宸断 教道克申于先训 膳用六牲 兴于理定之辰；仍改名柷 二月庚寅朔 免贻人于灾沴 亲无迁序 全忠自河中来朝 将展孝思 马昭拒命于凌云 元皇帝神主 今已敕下 义则延洪 若遇禘 全忠在军至沧州 并据礼经正文 子孙以推美为先 汉之成帝 不在其数 "如依元料 其枢密公事 度 支解县池场 河南府俱有论奏 有祷而祭 物论以为滥 征诸历代 "据太常礼院奏 享宣皇帝以备七代

2
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=

两个定点称为双曲线的焦点
定值称为双曲线的实半轴
双曲线的标准方程为x^2/^2y^2/b^2=1其中 >0b>0^2+b^2=c^2c为双曲线的虚 半轴
双曲线的渐近线方程为y=±(b/)x其中b/ 为双曲线的斜率
双曲线的离心率为c/其中c为双曲线的虚 半轴为双曲线的实半轴
双曲线的几何特性
双曲线是平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距焦距决定了双曲线的形状和大小。 双曲线的渐近线是两条与x轴和y轴平行的直线它们与双曲线相交于无穷远处。 双曲线的顶点是双曲线与x轴和y轴的交点顶点决定了双曲线的位置和方向。
双曲线的离心率
双曲线的离心 率定义为： e=c/其中c为
双曲线的焦距 为双曲线的半
焦距。
双曲线的离心 率决定了双曲 线的形状和位
置。
双曲线的离心 率越大双曲线 的形状越扁位 置越靠近坐标
轴。
双曲线的离心 率越小双曲线 的形状越接近 圆形位置越远
离坐标轴。
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线是两条 直线分别与双曲线的两 条对称轴平行
双添加曲副线标及题 其标准方 程
汇报人：
目录
PRT O线的定义
PRT Three
双曲线的标准方程
PRT Four
双曲线的性质
PRT Five
双曲线的图像绘制
单击添加章节标题
双曲线的定义
定义双曲线的条件
双曲线是平面上到两个定点的距离之差 的绝对值等于定值的点的轨迹
双曲线关于原点对称
双曲线关于直线y=x对称
双曲线的图像绘制
绘制双曲线的方法
使用绘图工具绘制双曲线
确定双曲线的中心、顶点、 焦点和渐近线 确定双曲线的标准方程

音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。

焦点在x轴上 方程
焦点在y轴上
x2 a2
+
y2 b2
1(a

b 0)
y2 + x2 1(a b 0) a2 b2
大定轴
x2 y2 a 2 b2 1(a 0, b 0)
y2 a2

x2 b2
1(a
0, b 0)
正定轴
请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点 位置和的a,b,c.
M (x,y)
y
F2(0,c)
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
O
x
F1
(0,-c)
其表焦示点焦坐点在标y为轴(上0,的-c双)，曲(0线,c) 其中：c2 a2 + b2 ．
问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判
断它的焦点在哪条轴上呢？
判断下列双曲线的焦点位置，
并求出焦点坐标和焦距．
形两边之差小于第三边。此时无轨迹。
③常数等于0时
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
则|MF1|=|MF2|
F1
F2
此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平 M
分线。
试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？ （F1、F2是两定点, |MF1|－|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c)
1
变式二：若两定点改为为|F1F2|=10，则轨迹方程如何？
x2 42

y2 32
1
x2 42
c=5,a=4 所, 以所b2求=c方2-a程2=为52：-42=3x2 2 42

y2 32
1
双曲线及标准方程

它所表示的双曲线的焦点
在y轴上, 焦点是F1(0, c), F2 (0, c), 这里c2 a2 b2.
椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2aLeabharlann |MF1|-|MF2|=±2a
∵ a>c>0， ∴ 令a2-c2=b2(b>0)
x2 y2 a2 b2 1
y2 a2
定义:的平绝面对内值与等两于个常定数点（F21，a<F︱2F的1F距2|=离2c的) 差
的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——焦点 ② |F1F2|=2c ——焦距.
注意:
(1)若2a=2c
两条射线
M
F1 o F2
(2)若2a>2c
无轨迹
(3)若2a=0
F1F2中垂线
1. 建系:以F1,F2所在的直线为x轴，线段 y
x2 b2
1
(a>b>0)
∵ c>a>0 ，
∴ 令c2-a2=b2(b>0)
x2 y2
a2 b2 1 (a>0，b>0 ，a
y2 x2
不一定大于b )
a2 b2 1
例题学习
例1、已知双曲线的焦点在x轴上，且焦距为14， 双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为8，写出 双曲线的标准方程。
例2、求下列双曲线的焦点坐标和焦距。
的点的轨迹是什么呢？
P37图2-8
平面内与两定点的距离的差为非零常数的点
的轨迹是怎样的曲线呢？
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F1|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a