应用一次函数的性质灵活决策

一次函数的一种性质及应用一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数），教科书给出一种性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减少。

但是没有给出它经过坐标象限的性质，出现这类型的例题，一般要作出它的图象。

在这里我们推出它的性质及应用这种性质。

给出y=kx（k≠0）正比例函数的图象如下。

得出：（1）当k＞0时，直线y=kx必须过一、三象限；（2）当k＜0时，直线y=kx必须过二、四象限。

因为直线y=kx+b与直线y=kx是平行的，所以它们经过同样的象限。

而且当b＞0时，直线y=kx+b，经过在y的正半轴上的点（o，b），所以它必过一二象限，当b＜0时，直线y=kx+b经过y的负半轴上的点（o，b），所以它必经过三四象限。

我们可以总结出y=kx+b这样的性质：（1）当k＞0时，直线y=kx+b必须过一三象限。

（2）当k＜0时，直线y=kx+b必经过二四象限。

（3）当b＞0时，直线y=kx+b必经过一二象限。

（4）当b＜0时，直线y=kx+b必经过三四象限。

应用它灵活判别直线y=kx+b经过的象限，和已知直线y=kx+b经过的象限，判别k、b的符号及其它相关系的问题，又是中考热点。

下面试举几例。

例1：一次函数y=3-2x不经过的象限是（）。

（A）第一，（B）第二，（C）第三，（D）第四。

解：∵k=-2＜0，∴直线必经过二四象限。

2∵b=3＞0∴直线必经过一二象限。

∴直线y=3-2x经过一二四象限，即不经过第三象，故选（C）。

例2：函数y=ax+b的图象，经过一二四象限，则（）。

（A）a＞0，b＞0，（B）a＞0，b＜0，（C）a＜0，b＞0，（D）a＜0，b＜0。

解：∵直线经过二四象限。

∴a＜0。

2∵直线经过一二象限。

∴b＞0。

故选（C）。

例3：已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）。

（A）一二三象限，（B）一三四象限，（C）一二四象限，（D）二三四象限。

初二数学一次函数试题答案及解析1.儿童受伤，小红爸爸的公司急需用车，但又不准备买车，公司准备和一个个体车主或一家出租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费为y1元，出租车公司收费y2元，观察图象可知，当x_________时，选用个体车主较合算．【答案】＞1800．【解析】根据图象可以得到当x＞1800千米时，y1＜y2，则选用个体车较合算．故答案是＞1800．【考点】一次函数的应用．2.与直线y=2x+1关于x轴对称的直线是（）A．y="-2x+1"B．y=-2x-1C．D．【答案】B．【解析】∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=-f（x），∴直线y=2x+1关于x对称的直线方程为：-y=2x+1，即y=-2x-1．故选B．【考点】一次函数图象与几何变换．3.对于函数y=﹣5x+1，下列结论：①它的图象必经过点（﹣1，5）②它的图象经过第一、二、三象限③当x＞1时，y＜0④y的值随x值的增大而增大，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B．【解析】∵当x=-1时，y=-5×（-1）+1=-6≠5，∴此点不在一次函数的图象上，故①错误；∵k=-5＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，故②错误；∵x=1时，y=-5×1+1=-4，又k=-5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜-4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有：③ 故选B ．【考点】一次函数的性质．4. A 城有肥料300吨，B 城有肥料200吨，现要把这些肥料全部运往甲，乙两乡，从A 城往甲，乙两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B 城往甲，乙两乡运肥料的费用分别为每吨25元和15元．现甲乡需要肥料260吨，乙乡需要肥料240吨．设从A 城运往甲乡的肥料为x 吨． （1）请你填空完成下表中的每一空：（3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？【答案】（1）填空见下表；（2）y==-15x+13100；(3) A 城运往甲乡的化肥为260吨，A 城运往乙乡的化肥为40吨，B 城运往甲乡的化肥为20吨，B 城运往乙乡的化肥为200吨，使总运费最少，最少为9200元【解析】（1）根据A 城运往甲乡的化肥为x 吨，则可得A 城运往乙乡的化肥为（300-x ）吨，B 城运往甲乡的化肥为（260-x ）吨，B 城运往乙乡的化肥为[240-（300-x ）]吨； （2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y 与x 大的函数关系； （2）x 可取60至260之间的任何数，利用函数增减性求出即可． 试题解析：（1）填表如下：（2）根据题意得出：y=20x+25（300-x ）+25（260-x ）+15[240-（300-x ）]=-15x+13100； （3）因为y=-15x+13100，y 随x 的增大而减小，根据题意可得：，解得：60≤x≤260，所以当x=260时，y最小，此时y=9200元．此时的方案为：A城运往甲乡的化肥为260吨，A城运往乙乡的化肥为40吨，B城运往甲乡的化肥为20吨，B城运往乙乡的化肥为200吨，使总运费最少，最少为9200元【考点】1.一次函数的应用；2.一元一次不等式组的应用．5.两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图14-1，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上向左平移，使点C从F点向E点移动，如图14-2所示.（1）求证：四边形ABED是矩形；请说明怎样移动Rt△ABC，使得四边形ABED是正方形？（2）求证：四边形ACFD是平行四边形；说明如何移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形？（3）若Rt△ABC向左移动的速度是1cm/s，设移动时间为t秒，四边形ABFD的面积为Scm.求s随t变化的函数关系式．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）S=3t2+24．【解析】（1）四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，推出AD∥BE，AB∥DE，∠ABE=90°，根据矩形的判定得出即可；根据正方形的判定得出即可；（2）根据平移得出AD∥CF，AC∥DF，根据平行四边形的判定得出即可；根据菱形的判定得出即可；（3）根据平行四边形的性质得出AD=CF，求出BF，根据梯形的面积公式求出即可．试题解析：（1）证明：∵Rt△ABC从Rt△DEF位置平移得出图2，∴AD∥BE，AB∥DE，∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形；当Rt△ABC向左平移6cm时，四边形ABED是正方形；（2）证明：∵四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的，∴AD∥CF，AC∥DF，∴四边形ACFD为平行四边形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==10cm，即当Rt△ABC向左平移10cm时，四边形ACFD为菱形；（3）解：分为以上图形中的三种情况，∵由（2）知：四边形ACFD为平行四边形，∴AD=CF=1s×tcm/s=tcm，∴BF=（8+t）cm，∵四边形ABFD的面积为Scm2，∴三种情况的四边形ABFD的面积S=（AD+BF）×AB=•（t+8+t）•6，S=3t2+24，即三种情况S随t变化的函数关系式都是S=3t2+24．【考点】几何变换综合题．6.甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，按原路原速返回，追上小明后（米）与行走的时间为x（分两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离为y1（米）与行走的时间为x（分钟）钟）之间的函数关系；折线BCDEA表示小亮与甲地的距离为y2之间的函数关系.请根据图像解答下列问题：（1）小明步行的速度是米/分钟，小亮骑自行车的速度米/分钟；（2）图中点F坐标是（，）、点E坐标是（，）；（3）求y1、y2与x之间的函数关系式；（4）请直接写出小亮从乙地出发再回到乙地过程中，经过几分钟与小明相距300米？【答案】(1)50，200；（2）8，400；32，1600；（3）y1=50x，y2=﹣200x+2000；（4）经过6.8分钟，9.2分钟，25.5分钟时与小明相距300米．【解析】（1）根据图象可知小明步行的速度是2000÷40=50米/分钟，小亮骑自行车的速度2000÷10=200米/分钟；（2）（3）分别设小明、小亮与甲地的距离为y1（米）、y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x，y2=k2x+b，由待定系数法根据图象就可以求出解析式；再进一步求得交点的坐标，得出点F、E的坐标即可；（4）分追击问题与相遇的过程中小亮与小明相距300米探讨得出答案即可．试题解析：（1）小明步行的速度是2000÷40=50米/分钟，小亮骑自行车的速度2000÷10=200米/分钟；（2）设小明与甲地的距离为y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x，代入点（40，2000）得：2000=40k1，解得k1=50，所以y1=50x，设小亮与甲地的距离为y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y2=k2x+b，则代入点（0，2000）和（10，0）得，所以yBC=﹣200x+2000，由图可知24分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷（200﹣50）=8分钟，也就是32分钟时为0，则y1=50x=1600，则点E坐标为（32，1600）；由题意得，解得，所以图中点F坐标是（8，400）；（3）由（2）可知y1=50x，yBC=﹣200x+2000（0≤x≤10），设S与x之间的函数关系式为：S=kx+b，由题意，，解得：，∴S=﹣150x+4800，即yED=﹣150x+4800（24≤x≤32）；（4）当0≤x≤10时，（2000﹣300）÷（50+200）=6.8（分钟）当8≤x≤10，300÷（50+200）+8=9.2（分钟）当24≤x≤32，则50x﹣（﹣150x+4800）=300，解得x=25.5（分钟）答：小亮从乙地出发再回到乙地过程中，经过6.8分钟，9.2分钟，25.5分钟时与小明相距300米．【考点】一次函数的应用．7.如图，函数y=ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是（）A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2【答案】B【解析】先把点（1，2）代入y=ax﹣1，求出a的值，然后解不等式ax﹣1＞2即可．【考点】一次函数与一元一次不等式．8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的速度相同B．甲先到达终点C．乙用的时间短D．乙比甲跑的路程多【答案】B．【解析】结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，故选B．【考点】函数的图象．9.一次函数的大致图象是（）【答案】A.【解析】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b ＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．本题中因为a的取值不明确，故应分两种情况讨论，找出符合任一条件的选项即可．当a＞0时，直线经过一，三，四象限，选项A正确；当a＜0时，直线经过一，二，四象限，A、B、C、D均不符合此条件．故选A.【考点】一次函数的图象性质.10.某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：方案1：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用y1与包装盒数x满足如图的函数关系。

（三）教学重难点
1、教学重点：一次函数性质的运用 2、教学难点：由图象探索出一次函数性质的过程
教法学法分析
自主探索 动手操作 合作交流
创设情景 发现问题
动手操作 多媒体辅助教学
探究性质
归纳类比法
灵活运用 解决问题
S(海里) 50 40
30 20
10
位于东海海域的钓鱼岛是中国领土不可分割
的一部分，有一天，我边防局接到情报，一艘 日本籍可疑船只闯入钓鱼岛海域非法作业，我 边防局迅速命令离海港10海里处巡逻的快艇进 行拦截并带回母港，图中的函数图象表示巡逻 艇离海港距离S（海里）与时间t(分)之间的关 系。问：距离S随时间t发生怎样的变化？
y增大 x增大
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
y=3x-2
X增大
x01234
y
-2
1
4
7
10
y相应在增大
y = x + 2
y = x + 2
（增的大图2）而象当从_减_k左_小＜_到_0，时右下这，__时y降_随_函_x数．的
y减少
x增大
K的 b的符 符号 号
走上成功的讲台
第一组：已知函数y=ax+x-3,当a取何值时，y随x的增
大而减小？并画出它的草图。
第二组：已知点(2,m),(-3,n)都在直线y= 1.8x +1上，
试比较m和n的大小。
第三组：已知点（x1 ,y 1）和（x2 ,y2 ）都在直线
y= 2.1 x-1 上，若x1 <x2 ,则y1 ___y2
课外作业：
1、教科书P45页，练习1，2题 2、探讨如何去求直线AB,BC的解析式？ 3、线段AB,BC的倾斜程度不一样，探索直 线的倾斜程度由谁决定？ （选做）

初中数学一次函数解题的几种常规思路初中数学一次函数是初中阶段数学中的重要知识点，它在很多问题中都有着广泛的应用。

解题时，我们需要灵活运用一些常规思路来解决问题。

下面我将介绍一些初中数学一次函数解题的几种常规思路。

第一种思路是利用函数的基本性质。

一次函数的一般式是y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。

在解题时，我们可以利用这些基本性质来解决问题。

给定一次函数y=2x+3，要求这条直线在x轴上的截距，我们可以直接利用函数的一般式中b的值来求解，即b=3。

这种思路是很常见的，通过对函数的一般式进行分析，可以得到很多有用的信息。

第二种思路是尝试通过图像理解题目。

一次函数的图像是一条直线，我们可以通过观察图像来理解问题。

给定一次函数y=3x-2，要求这条直线在y轴上的截距，我们可以通过观察直线在y轴上与x轴的交点来求解。

这种思路同样是很常见的，在解题时可以通过观察图像来帮助我们理解问题，找到解题的关键点。

第四种思路是通过联立方程解题。

一次函数可以用来描述两个变量之间的关系，因此在解题时可以经常遇到联立方程的情况。

给定两条直线y=2x+1和y=3x-2，要求这两条直线的交点坐标，我们可以通过联立方程的方法来解题。

将两条直线的函数表达式相等，得到一个方程组，通过解方程组可以求出这两条直线的交点坐标。

这种思路在解题时可以更加全面的考虑问题，通过联立方程可以解决更为复杂的问题。

以上就是初中数学一次函数解题的几种常规思路，通过利用函数的基本性质、图像、代数运算和联立方程等方法，我们可以更好地解决问题。

在解题时，我们可以根据题目的具体情况选择合适的方法来解决问题。

需要注意的是，在解题过程中要理清思路，注意逻辑，将问题分解成小部分来解决，使得解题过程更加简单和清晰。

希望通过这些常规思路的介绍，可以帮助大家更好地理解和掌握初中数学一次函数的解题方法。